Главная » Просмотр файлов » В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 22

Файл №1152751 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра) 22 страницаВ.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751) страница 222019-08-03СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

) См. Тихонов А. Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения О ДАН СССР. 1965. Т. 163, №3. С. 591 — 594. ') В самом деле, пользуясь определением произведения матрицы на столбец, соотношениями (4.27) и неравенством Коши — Буняковского для элементов евклидова пространства Е , будем иметь т г 1« тг 1 !АХ~ =~ ~~ а«»х»~ К~ ~~ а, 2 э!»~ =~ 2 а„~ л;= =!»=! =! »=! »=! = !!А) з1(Хй . 99 МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ Матрицу А (столбец В) будем называть б-приближением матрицы А (столбца В), если справедливо неравенство ш п / ла 'йА — А)( = 2 ~ (ац — аы)а < Б ~'й — Вй' = 2 (Ь! — Ь!)з < б г=! у=! !=! (4.29) Назовем нормальным решением совместной системы (4.26) то ее о х" а , норма йХ й которого является наименьшей сре- решение Х ди норм йХй всех решений Х этой системы.

Заметим, что у всякой совместной системы (4.26) (в том числе и у неопределенной) существует единственное нормальное решение. Введем в рассмотрение следующую функцию п переменных х!, х! хш ..., х„или одного столбца Х = х ~ Е" (х!,..., х„, А, В) = Е (Х, А, В) = йАХ вЂ” Вйз+ сгйХйз, (4.30) зависящую, как от параметров, от элементов матрицы А и столбца В, а также зависяпгую от некоторого числового параметра сг. В подробной записи эта функция выглядит так: т !' и ча и Е" (Х, А, В) = 2' ~ "> а; х — Ьг)~ + о 2 х-.

(4.30') г=! у=! у=! Фактически Е"(Х, А, В) является функцией от элементов Х евклидова пространства и-мерных столбцов Е". Такого рода функцию, аргументом которой служат элементы некоторого линейного пространства, принято называть функционалом ') . Легко убедиться в том, что при любом фиксированном о ) 0 неотрицательный функционал (4.30') достигает своего минимального (во всем пространстве Е") значения в единственной точке х! Х" = ... пространства Е". х В самом деле, дважды дифференцируя функцию (4.30'), получим (! прий=), = 22 асьанбы+2обы, где бы = ~ ~хь х! !О при йф!.

') Функционалы систематически изучаются в следующей главе. (гл. 4 евклидовы пРостРлнствл Следовательно, второй дифференциал функции )г имеет вид и и 1 и» и и й6$" = 'У' 2 ~ 2 а»йа»1! быйхййх!+о 2 ',У,быйхййх! = й=11=1 »=1 й=1»=1 т ! и 2 и агййхй) + о 2'(йхй)з. »=1 й=! й=1 — б <а<о(б), Те(й) (4.31) х! элемент Х" = ..., доставляющий минимум функционалу (4.30), х" удовлетворяет неравенству !~хи Х01~ < е (4.32) ') См., в частности, выпуск 1 «Основы математического анализа», часть 1, гл.!4, э7 ') См. там же. Из этого равенства вытекает оценка а~с' > о 2 (йхй)з, означаюй=1 щая, что функция ри является строго выпуклой вниз. Кроме того, с'" — е +сю при ~~Х~~ = 2 х~~ — й со.

Отсюда очевидным образом слей=! дует, что г'" имеет, и притом единственную, точку минимума Х" ') . Методы отыскания минимальных значений функционалов вида (4.30) хорошо разработаны з) . Докажем следующую фундаментальную теорему, сводящую вопрос о приближенном отыскании нормального решения системы (4.26) хр к отысканию того элемента Х = ..., на котором достигает своего х.".

минимального значения функционал (4.30). Теорема Тихонова. Пусть матрица А и столбец В удовлетворяют условиям, обеспечиеающим совместность системз» (4,26), ь Хо = ... нормальное решение этой системы, А б-приблио У жение матрицы А,  — б-приближение столбца В, е(б) и о(б)— какие-либо возрастающие функции б, стремящиеся к нулю при б — е 0+ 0 и такие, »то б" < е(б)о(б). Тогда для любого е > 0 найдется положительное число бо = бо(е, ()Х" (() такое, что при любом б < бо(е, !)Хо(!) и при любом о, удовлетворяющем условию 101 метОд Регулягизлции Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим в линейном пространстве Е и~ подмножество (1Уд) всех элементов УУ = ..., представимых в виде и УУ = АХ, где Х = ...

— произвольный элемент пространства Е". а Совершенно очевидно, что подмножество ((Уд) представляет собой линейное пространство и поэтому является подпространством Е Обозначим через (Ъд) ортогональное дополнение (1Уд) (до всего Е ) и разложим Е™ в прямую сумму подпространств (УУд) и (Ъсду '). Пусть  — обозначает проекцию столбца В на надпространство (УУд-у, так что В = Вд + ( — Вд), где ( — Вд) — элемент ()гд). Тогда, поскольку для любого элемента Х пространства Е" столбец АХ является элементом (1У-), мы получим следующее разложение: АХ вЂ” В = (АХ вЂ” Вд) + (Вд — В), в котором элементы (АХ вЂ” Вд) и (Вд — В) ортогональны друг другу и принадлежат соответственно (1Уд) й (Ъ'-). Пользуясь теоремой Пифагора (см. п.2 Я1), ыы получим (для любого элемента Х пространства Е™) !)АХ вЂ” В)! = ()АХ вЂ” Вд)! + )) — Вд)! .

(4.33) Из (4.33) следует, в частности, неравенство (4.34) 'я — Вд(( ( ()АХ вЂ” В)(, также справедливое для любого элемента Х пространства Е". Из (4.33) и (4.30) мы получим, что для любого Х из Е" Е (Х, А, В) = )( — ВдЦ~ + Г (Х, А, Вд), (4.35) т.е. функционалы, стоящие в левой и в правой частях (4.35), имеют общий элемент Х", доставляющий им минимум. Установим теперь для любого гх, удовлетворяющего условиям (4.31), следующее неравенство: Е"(Х", А, В„-) < ое(б)Сз+ ~~~Х"~~, (4.36) в котором через С обозначена величина С = 2(1+ !/Хо/!), а Хо— нормальное решение системы (4.26).

Так как столбец Х доставляет минимум функционалу, стоящему в правой части (4.35), то Е (Х", А, В-) ( Е (Хо, А, Вд-) = )(АХ" — ВЯ~+ о))Х )(~. (4.37) ') См. п.З 42 этой главы. (гл. 4 102 евклидовы пРОЕТРлнствл Пользуясь соотношением АХО = В и неравенством треугольника, получим ОАХ" — ВЛО < ОАХ вЂ” АХ О+ 'О — ВО + О — Вля. В правой части последнего неравенства воспользуемся соотношениями (4.28) и (4.29), а также неравенством (4.34), взятым при Х = Х". Получим О 4ХО В О < бОХОО, б+ ОВ АХОО (438) Еще раз учитывая, что АХО = В, и снова пользуясь неравенством треугольника и соотношениями (4.28) и (4.29), получим, что ))В АХО)! < )(В В()+))АХО АХО() < б+б))ХО)( (439) Из (4.38) и (4.39) следует, что (~АХ' — В;й < 2б(1+ ~~Х" ~~) = Сб, (4.40) где С = 2(! + ЦХО//).

Для завершения доказательства оценки (4.36) остается подставить (4.40) в (4.37) и воспользоваться неравенством (4.31). Поскольку из определения функционала В" сразу вытекает, что а~~Х" ~~з < б'"(Х", А, В-), то из доказанного нами неравенства (4.38) вытекает также следующее неравенство: !)Х")! < )(Х ()+ е1(б), (4.41) е(б ) п Я б~ < оя < а(б„), (4.31') такая, что для всех номеров п ~~Х"- — Хо!~ >,О, (4.42) Так как множество (Х ) ограничено, то в силу теоремы Больцано— Вейерштрасса из последовательности (Х ") можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Чтобы не менять обозначений, будем считать, что вся последовательность (Х ") сходится к некоторому 1 х столбцу Хо = ..., т.е.

~~Х'*" — Хо~~ — г 0 при п — е оо. Убедимся в том, что ))АХ"" — АХО() -о 0 при п -о со. (4.43) в котором е|(б) — э 0 при б — э О+ О. Из (4.41) вытекает, что при всех достаточно малых б множество (Х ) точек Х пространства Е" является ограниченным. Теперь уже нетрудно доказать теорему от противного.

Предположим, что для некоторого ео > 0 существует последовательность б„ -е — ~ 0 + 0 и отвечающая ей последовательность (а„) чисел а„, удовлетворяющих условию 103 метод пвгглягизлции В самом деле, пользуясь неравенством треугольника, оценками (4.28), (4.29), (4.36) и (4.40) и соотношением (4.31"), получим ~~АХ „АХо~~ < < )(АХ"" — АХ""()+ ))АХ"" — Вд)(+ ()В3 — АХ~)! < ( ))х" 1)+ ~/к (х . А. В-) +сБ„( < б„((/Х"" /! + С) + — >О при и — ~ оо. Из неравенства (4.43) вытекает, что АХо = АХ", т.е. предельный элемент Хо является решением системы (4.26), удовлетворяющим, в силу соотношения (4.41), неравенству ~~Хо(~ < ~(Хо~~. Так как по определению для нормального решения Хо справедливо обратное неравенство ((Х~(! < )(Х "(), то ((Х")! = )(Х~(), т.е.

Х = Хо, а это противоречит неравенству (4.42), справедливому для любого номера п. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. Глава 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В этой главе исследуются так называемые линейныв отображения линейных и евклидовых пространств, т.е. такие отображения, при которых образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента на число равен произведению этого числа на образ элемента.

При этом мы будем рассматривать комплексные линейные и евклидовы пространства. Результаты, относягциеся к вещественным пространствам, будут оговорены специально. ф 1. Понятие линейного оператора. Основные свойства 1. Определение линейного оператора. Пусть И и И' линейные пространства, размерности которых равны соответственно п и т. Мы будем называть оператором А, действующим из И в И', отображение вида А: 1л — т И', сопоставляющее каждому элементу х пространства И некоторый элемент у пространства И'.

При этом будем использовать обозначение у = А (х) или у = Ах. Определение. Оператор А, действующий из 1л в И', называется линейным, если для любых элементов х1 ц хз пространства И и любого комплексного числа Л выполняются соотношения: 1; А (х~ + хз) = Ах1 + Аха (свойство аддитивности оператора); 2'. А (Лх) = ЛАх (свойство однородности оператора). 3 а м е ч а н и е 1.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
20,4 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее