В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Вернемся к рассмотрению произвольного ортонормированного базиса е1,ез,...,еп п-мерного евклидова пространства Е. Выясним смысл координат произвольного элемента х относительно указанного базиса. Таким образом, в произвольном базисе Г1, Г2,..., Г„ скалярное произведение двух любых элементов х = х!т! + х222+ ... + х„Г„и у = = У! г! + У212 + ... + У„Г„определяется равенством БАзис евклидоВА пеостРАнстВА 9! Обозначим координаты элемента х относительно базиса е!, ез, ., еп через х!, хм ..., х„, т. е. предположим, что (4.15) х = х!е! + хает + ...
+ х„е„. Обозначим далее через )г любой из номеров 1, 2,..., п и умножнм обе части (4.15) скалярно на элемент еь. На основании аксиом скалярного произведения и соотношений (4.10) получим п и (х, еь) = 1 2 х,еи еь) = 2 х;(е,, еь) = хь. ю=! г=! Таким образом, координаты произвольного элемента относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого элемента на соответствующие базисные элементы.
Поскольку скалярное произведение произвольного элемента х на элемент е, имеюгций норму, равную единице, естественно назвать проекцией элемента х на элемент е, то можно сказать, что координаты произвольного элемента относительно ортонормированного базиса равны проекциям этого элемента на соответствующие базисные элементы.
Таким образом, произвольный ортонормированный базис обладает свойствами, вполне аналогичными свойствам декартова прямоугольного базиса. 3. Разложение и-мерного евклидова пространства на прямую сумму надпространства н его ортогонального дополнения. Пусть С вЂ” произвольное подпространство и-мерного евклидова пространства Е. Совокупность Е всех элементов у пространства Е, ортогональным каждому элементу х надпространства С, называется ортогональным дополнением подпространства С.
Заметим, что ортогональное дополнение Е само является подпространством Е (ибо из ортогональности каждого из элементов у! и уз элементу х, очевидно, вытекает, что и любая линейная комбинация элементов у! и уз ортогональна элементу х). Докажем, что всякое п-мерног евклидова пространство Е представляет собой прямую сумму своего произвольного надпространства С и его ортогонального дополнения Е Выберем в С произвольный ортонормнрованный базнг еы еа, ... ..., еь, В силу доказанного в п.
1 9 3 гл. 2, этот базис можно дополнить элементами гь.ь!, ..., т"„пространства Е до базиса во всем Е. Произведя процесс ортогонализации элементов е!,..., еь, Гьт!,..., т„, мы получим ортонормированный базис е!, ..., еь, еьч !,..., е„всего пространства Е. Разложив произвольный элемент х пространства Е по этому базису, т.е. представив его в виде х = х!е! + ... + хьеь + + хьь!еь.ь! + ...
+ х„е„, мы получим, что этот элемент х однозначно представим в виде х = х'+ х", где х' = х!е! + ... + хьеь — совершенно опРеделенный элемент С, а хи = хь ь!еьт! + ... + х„е„— совеР- шенно определенный элемент ортогонального дополнения Е(каждый элемент еьеы ..., е„ортогонален к любому из элементов е!, ..., еь, (гл. 4 92 евклидовы пгостРАнстВА а потому ортогонален любому элементу С; поэтому и линейная комбинация хьэ|еьэ~ + ... + л„е„ ортогональна любому элементу С, т.е. является совершенно определенным элементом Е).
4. Изоморфизм и-мерных евклидовых пространств. В этом пункте мы покажем, что различные евклидовы пространства одной и той же размерности и в смысле свойств, связанных со введенными в этих пространствах операциями, по существу не отличаются друг от друга. Поскольку в евклидовых пространствах введены лишь операции сложения элементов, умножения элементов на числа и скалярного перемножения элементов, то естественно сформулировать следующее определение. Определение.
Два евклидовых пространства Е и Е' называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам х и у пространства Е отвечают соответственно элементы х' и у' пространства Е", то элементу х + у отвечает элемент х' + у', элементу Лх (при любом вещественном Л) отвечает элемент Лх' и скалярное произведение (х, у) равно скалярному произведению (х', у'). Таким образом, евклидовы пространства Е и Е' изоморфны, если они изоморфны как линейные пространства ') и если этот изоморфизм сохраняет величину скалярного произведения соответствующих пар элементов.
Теорема 4.4. Все евклидовы пространства одной и той же размерности и изоморфны между собой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать, что любое п-мерное евклидова пространство Е' изоморфно евклидову пространству Е" упорядоченных совокупностей и вещественных чисел со скалярным произведением (4.2). Согласно теореме 4.3 в евклидовом пространстве Е' существует ортонормированный базис е',, е!, ..., е'„. Каждому элементу х' = л1е', + лзе' + ... + лпе'„пространства Е' поставим в соответствие и вещественных чисел л~, лз,..., х„, т.е. вполне определенный элемент х = (лп хз,..., а„) пространства Е".
Установленное соответствие будет взаимно однозначным. Кроме того, из теоремы 2.4 вытекает, что если элементам х' = (хн ла,...,л„) и у' = (уы рз,..., у„) пространства Е' ) отвечают соответственно ! з~ элементы х = (лн мэ,,,,, л„) и у = (уы уш ..., у„) пространства Е", то элементу х' + у' отвечает элемент х + у, а элементу Лх' отвечает элемент Лх. Остается доказать, что для соответствующих пар элементов х', у' и х, у сохраняется величина скалярного произведения.
В силу ортонормированности базиса еы е.',...,е'„ и формулы (4 13), (х', у') = л~р1 + хауз + ... + х„у„, С другой стороны, в силу ')См. п 4 42 гл.2 ') Координаты этих элементов берутся относительно базиса е',, е.,',..., е' . КОМПЛЕКСНОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО формулы (4.2), определяющей скалярное произведение в пространстве Е", (х, у) = л|у1+ лзуа + ... + л„у„. Теорема доказана.
Доказанная теорема позволяет утверждать, что если в каком-нибудь конкретном и-мерном евклидовом пространстве Е' доказана теорема, сформулированная в терминах операций сложения, умножения на числа и скалярного перемножения элементов, то эта теорема справедлива и в совершенно произвольном и;мерном евклидовом пространстве Е. ф 3. Комплексное евклидово пространство 1. Определение комплексного евклидова пространства. В конце и. 1 З 1 гл.2 мы уже указывали, что если в определении линейного пространства числа Л, р, ... брать не из множества вещественных чисел, а из множества всех комплексных чисел, то мы придем к понятию комплексного линейного пространства.
На базе комплексного линейного пространства строится комплексное евклидова пространство, играющее фундаментальную роль в теории несамосопряженных линейных преобразований. Для введения комплексного евклидова пространства следует ввести в комплексном линейном пространстве понятие скалярного произведения двух его элементов, подчиненное соответствующим четырем аксиомам. Определение. Комплексное линейное пространство гь называется комплексным евклидовым пространством, если выполнены следующие два требования.
1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам х и у этого пространства ставится в соответствие комплексное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (», у) 11. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам; 1'. (х, у) = (у, х) '); 2'. (х| + ха, у) = (хп у) + (ха, у); 3'. (Лх, у) = Л(х, у); 4'.
(х, х) представляет собой вещественное неотрицательное число, обращающееся в нуль лишь в случае, когда х -- нулевой элемент а) . ') Здесь и в дальнейшем символом н обозначается число. комплексяосопряженное с а э) Аксиома !' отличается от соответствующей аксиомы 1' вещественного евклидова пространства. Легко убедиться в том, что прн переходе к комплексному пространству невозможно сохранить без изменения все три аксиомы 1; 3' и 4' вещественного скалярного произведения. В самом деле, при наличии аксиом (х, у) =- (у,х) и (Лх, у) =- Л(х, у), мы получили бы, что (» Лу).= (Лу,х).=- Л(у,х) =- Л(х, у).
Но тогда оказалось бы, что (Лх, Лх) =. = Л'(х, х), и, стало быть, при Л = 1 мы получили бы, что (!х, зх) = †(х, х), а это противоречило бы аксиоме 4' о иеотрицательности (у, у) для любого элемента у. (гл. 4 94 евклидОВы пРОстплнстВА Логическими следствиями аксиом 1' — 3' являются следующие два соотношения: (х, Лу) = Л(х, у), (х, у1 + у2) = (х, у1) + (х, у2). В самом деле, из аксиом 1' и 3' заключаем, что (х, Лу) = (Лу,х) = Л (у,х) = Л(х, у), а из аксиом 1' и 2' получаем, что (Х, У1 + У2) = (У1 + У2, Х) = (У1, Х) + (У2, Х) = (Х, У1) + (Х, У2). Приведем примеры конкретных комплексных евклидовых пространств. Пример 1.
Рассмотрим совокупность С'(а, Ь) всех функций а = а(2), определенных для значений 2 из сегмента а < 2 < Ь и принимающих комплексные значения а(2) = х(2) + 1у(2) такие, что вещественные функции л(2) и р(2) являются непрерывными на этом сегменте, Операции сложения этих функций и умножения их на комплексные числа заимствуем из анализа. Скалярное произведение двух любых таз ких функций определим соотношением (21(2), а2(2)) = ~ 21(2) 22(2) г!2.
а Нетрудно убедиться в справедливости для так определенного скалярного произведения всех аксиом !' — 4; из чего следует, что рассматриваемая совокупность представляет собой комплексное евклидово пространство. П рим е р 2. Рассмотрим комплексное линейное пространство А„", элементами которого служат упорядоченные совокупности п комплексных чисел х1, х2,..., Х„с такими же определениями операций сложения элементов и умножения их на числа, как и в случае вещественного линейного пространства А". Скалярное произведение двух любых элементов х = (х1, х2, ..., Х„) н у = (у1, Д2,..., р„) определим соотношением (х, У) = х1п1 Ч- хьУ<~ -1- ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
