В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 17
Текст из файла (страница 17)
4. Заключительные замечания о решении линейных систем. Развитые в предыдущих пунктах методы решения линейных систем упираются в необходимость вычисления ранга матрицы и нахождения ее базисного минора. После того, как базисный минор найден, решение сводится к технике вычисления определителей и к использованию формул Крамера.
Для вычисления ранга матрицы можно использовать следующее правило: при вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков; при этом, если уже найден отличный от нуля минор М порядка (с, то требуют в!лчисления лишь миноры порядка (к+ 1), окаймляющие ') этот минор М; в случае равенства нулю всех окаймляющих миноров порядка (к + 1) ранг матрицы равен к з) . Укажем и другое правило вычисления ранга матрицы. Заметим, что со строками (столбцами) матрицы можно производить три элементарные операции, не изменяющие ранга этой матрицы: 1) перестановку двух строк (или двух столбцов), 2) умножение строки (или столбца) на любой отличный от нуля множитель, 3) прибавление к одной строке (столбцу) произвольной линейной комбинации других строк (столбцов) з).
Будем говорить, что матрица ~йа! 'й, содержащая гп строк и и столбцов, имеет диагональнгяй вид, если равны нулю все ее элементы, отличные от а!!, азз, ..., а„„где г = пцп (гп, и). Ранг такой матрицы, очевидно, равен г. Убедимся в том, что посредством трех элементарных операций любую матрицу 79 ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИИ ЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ В самом деле, если все элементы матрицы (3.31) равны нулю, то эта матрица уже приведена к диагональному виду.
Если же у матрицы (3.31) есть отличные от нуля элементы, то путем перестановки двух строк и двух столбцов можно добиться того, чтобы был отличен от нуля элемент а|н Умножая после этого первую строку матрицы на а„|, мы превратим элемент ан в единицу. Вычитая далее из у-го столбца матрицы (при 7' = 2, 3,..., и) первый столбец, умноженный на аН, а затем вычитая из 1-й строки (при 1 = 2, 3, ..., п) первую строку, умноженную на ан, мы получим вместо (3.31) матрицу следующего вида: 1 О ... О О а.',,, ...
а~„ О Совершая уже описанные нами операции с матрицей, взятой в рамку, и продолжая действовать аналогичным способом, мы после конечного числа шагов получим матрицу диагонального вида. Изложенные в предыдущих пунктах методы решения линейных систем, использующие, в конечном итоге, аппарат формул Крамера, могут привести к большим погрешностям в случае, когда значения коэффициентов уравнений и свободных членов заданы приближенно или когда производится округление этих значений в процессе вычислений.
В первую очередь это относится к случаю, когда матрица, отвечающая основному определителю (или базисному минору), является плохо обусловленной (т. е, когда «малымэ изменениям элементов этой матрицы отвечают «большиеь изменения элементов обратной матрицы). Естественно, что в этом случае решение линейной системы будет неустойчивым (т.е. «малымэ изменениям значений коэффициентов уравнений и свободных членов будут отвечать «большиеь изменения решения). Отмеченные обстоятельства приводят к необходимости разработки как других (отличных от формул Крамера) теоретических алгоритмов отыскания решения, так и численных методов решения линейных систем.
В 94 гл.4 мы познакомимся с методом регуляризаг(ии А.Н, Тихонова отыскания так называемого нормального (т.е. наиболее близкого к началу координат) решения линейной системы. В гл.б будут изложены основные сведения о так называемых итерационных методах решения линейных систем, позволяющих решать эти системы при помощи последовательных приближений неизвестных. Глава 4 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Из курса аналитической геометрии читатель знаком с понятием скалярного произведения двух свободных векторов и с четырьмя основными свойствами указанного скалярного произведения. В настоящей главе изучаются линейные пространства любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем безразлично каким) определено правило, ставящее в соответствие любым двум элементам число, называемое скалярным произведением этих элементов.
При этом важно только, чтобы это правило обладало теми же четырьмя свойствами, что и правило составления скалярного произведения двух свободных векторов. Линейные пространства, в которых определено указанное правило, называются евклидовыми пространствами. В настоящей главе выясняются основные свойства произвольных евклидовых пространств. ф 1. Вещественное евклидово пространство и его простейшие свойства 1.
Определение вещественного евклидова пространства. Вещественное линейное пространство й называется веи1ествеппым евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования. 1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое екалярньгм произведением этих элементов и обозначаемое символом (х, у). 11 Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам.
1'. (х, у) = (у,х) (переместительное свойство или симметрия); 2'. (х~ + хз, у) = (хы у) + (хз, у) (распределительное свойство); 3'. (Лх, у) = Л(х, у) для любого вещественного Л; 4'. (х,х) > О, если х — ненулевой элемент; (х,х) = О, если х— нулевой элемент. Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения). 8! Вещкственное евклидОВО ппостплнстВО Если же природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указаны, то евклидово пространство называется конкретным. Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.
Пример !. Рассмотрим линейное пространство Вз всех свободных векторов. Скалярное произведение любых двух векторов определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (т.е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними).
В курсе аналитической геометрии была доказана справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1' — 4' '). Стало быть, пространство Вз с так определенным скалярным произведением является евклидовым пространством. П р и м е р 2. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство С (а, 6) всех функций л(1), определенных и непрерывных на сегменте и < ! < 6. Скалярное произведение двух таких функций х(1) и д(!) определим как интеграл (в пределах от а до 6) от произведения этих функций ь (!) д(1) !!. а (4.1) (х, у) = л!д! + лзда + ... + х д (4.2) Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиомы 1' очевидна; справедливость аксиом 2' и 3' легко проверяется достаточно вспомнить определение операций сложения элементов ') См.
выпуск «Аналитическая геометрия», гл 2, ГЗ2, п.З. ') См. выпуск «Основы математического анализа», часть 1, свойства 1' и 2' из и. ! 46 гл. 10. Элементарно проверяется справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1'-4'. В самом деле, справедливость аксиомы 1' очевидна; справедливость аксиом 2' и 3' вытекает из линейных свойств определенного интеграла; справедливость аксиомы 4' ь вытекает из того, что интеграл ) хв(1) г!1 от непрерывной неотрицательа ной функции хв(!) неотрицателен и обращается в нуль лишь тогда, когда эта функция тождественно равна нулю на сегменте а < 1 < 6 в) (т.е. является нулевым элементом рассматриваемого пространства). Таким образом, пространство С!а, Ь] с так определенным скалярным произведением представляет собой бесконечномерное евклидово пространство. П р и м е р 3. Следующий пример евклидова пространства дает и-ьиерное линейное пространство А" упорядоченных совокупностей и вещественных чисел, скалярное произведение двух любых элементов х = (мп ма,..., л„) и у = (дп дз,..., д„) ко'горого определяется ра- венством (гл.
4 82 евклидовы пгостплнствл и умножения их на числа: (х!, х2,..., х„) + (У!, У2, ..., Уп) = (х! + У!, х2 + У2,..., х„+ У„), Л(х!, х2,..., х„) = (Лх!, Лхз,..., Лх„); а!! а!2 ., а!„ ам аээ ... аэ (4.3) а„! а„! ... а„ Составим с помощью матрицы (4.3) однородный многочлен второго порядка относительно п переменных х!, х2,..., х„ 2 а!ях!хь. в=! я=! (4.4) Забегая вперед, отметим, что такой многочлен называется квадратичной формой (порождаемой матрицей (4.3)) ') . Квадратичная форма (4.4) называется положительно определенной, если она принимает строго положительные значения для всех значений переменных х!, х2,..., х„, одновременно не равных нулю ) . 2) Так как при х! = х2 = ... = х„= О квадратичная форма (4.4), очевидно, равна нулю, то можно сказать, что положительно определенная квадратичная форма обращается в нуль лишь при условии х! = = х2 = ... = х„= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
