В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 16
Текст из файла (страница 16)
определяющие единственное решение системы (3.1). Таким образом, система (3,1) имеет единственное решение (т,е. является определенной) при условии, что ранг т основной и расширенной ее матриц равен числу неизвестных п (и меныпе числа уравнений т или равен ему). П р и м е р. Найдем все решения линейной системы (гл.
3 74 СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ 3. Свойства совокупности решений однородной системы. Рассмотрим теперь однородную систему т линейных уравнений с п неизвестными (3.7), предполагая, как и выше, что матрица (3.2) имеет ранг, равный г, и что базисный минор М расположен в левом верхнем углу этой матрицы. Поскольку на этот раз все Ь! равны нулю, вместо формул (3.20) мы получим следующие формулы: сз — — — — (сч!Му(аеп! !!) + ... + спМэ(аьпЯ (7' = 1, 2,..., 7), (3 24) ! выражающие значения неизвестных х, = су (~ = 1, 2,..., г) через коэффициенты при неизвестных и произвольно заданные значения с„ч!,..., с„. В силу доказанного в предыдущем пункте формулы (3.24) содержат любое решение однородной системы (3.7). Убедимся теперь в том, что совокупность всех решений однородной системь! (3.7) образует линейное п~!остранство.
Пусть Х! = (х!, ..., х ) и Хз = (х,,..., хп ) — два произволь- !!! О ! з! !з! ных решения однородной системы (3.7), а Л вЂ” любое вещественное число. В силу того, что каждое решение однородной системы (3.7) является элементом линейного пространства А" всех упорядоченных совокупностей п чисел, достаточно доказать, что каждая из двух совокупностей Х!+Хз = (х! +х!,..., х(0+х1,)) и ЛХ! = (Лх! 1,..., Лх~(!) также является решением однородной системы (3.7). Рассмотрим любое уравнение системы (3.7), например 1-е уравне- ние, и подставим в это уравнение на место неизвестных элементы ука- занных совокупностей. Учитывая, что Х! и Ха — решения однородной системы, будем иметь и и и а! ~х.
+х!. ] = 2 аих +2 аих. =О, у=! у=! з=! аи ~Лх~. ] = Л ~ а!ух! = О, з=! у=! а это и означает, что совокупности Х! + Хз и ЛХ! являются решени- ями однородной системы (3.7). Итак, совокупность всех решений однородной системы (3.7) обра- зует линейное пространство, которое мы обозначим символом 77. Найдем размерность этого пространства 77, и построим в нем базис. Докажем, что в предположении о том, что ранг матрицы однородной системы (3.7) равен т, линейное пространство 77 всех реи!ений од- нородной системы (3.7) изоморфно линейному пространству А" ' всех упорядоченных совокупностей (п — т) чисел ') .
') Пространство А введено в примере 3 п, ! Ез ! гл.2. 75 ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИИ ЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ М1 (а,(„2) ) "=-(- М М„(а,(„э2)) — —, О, 1,..., 0), (3.25) 7 М1 (а,„) М Поставим в соответствие каждому решению (с1,..., с„, с„„1,... , с„) однородной системы (3.7) элемент (с„э1,..., с„) пространства А(" "). Поскольку числа с„э1,..., с„, могут быть выбраны произвольно и при каждом выборе с помощью формул (3.24) однозначно определяют решение системы (3.7), то установленное нами соответствие является взаимно однозначным.
Далее заметим, что если элементы (с,э1, ..., с„) и (с,ь1, ..., с„) пространства А" ' отвечают элемен- (1) (1) (2) (2) там (с,,..., с,, с,,,..., с„) и (с,,..., с„, с, 1, ..., с„) про- (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) ст(2анства й, то из формул (3.24) сразу же следует, что элементу (с,, + с, н ..,, с„+ с„) отвечает элемент (с, + с,,..., с, + О (2) (1) (2 (1) (2) (1) + с,, с„ , + с, н ..., с„ + с„ ), а элементу (Лс, н ..., Лс„ ) при (2) (1) (2) 0) за) (1) 0) любом вещественном Л отвечает элемент (Лс(, ..., Лс(, Лс,)н ... ..., Лс„). Тем самым доказано, что установленное нами соответствие является изоморфизмом. Итак, линейное пространство й всех решений однородной системы (3.7) с и неизвестными и рангом основной матрицы, равным г, изоморфно пространству А" ' и, стало быть, имеет размерность п — г. Любая совокупность из (п — г) линейно независимых решений однородной системы (3,7) образует (в силу теоремы 2.5) базис в пространстве 77 всех решений и назь1вается фундаментальной совокупностью решений однородной системьг (3.7).
Для построения фундаментальной совокупности решений можно отправляться от любого базиса пространства А" '. Отвечающая этому базису совокупность решений системы (3.7), в силу изоморфизма, будет линейно независимой и поэтому будет являться фундаментальной совокупностью решений. Особо выделяют фундаментальную совокупность решений системы (3.7), отвечающую простейн1ему базису е1 = (1, О, О, ..., 0), е2 = = (О, 1, О,..., 0), ..., е„ „ = (О, О, О,..., 1) пространства А" " и называемую нормальной фундаментальной совокупностью решений однородной системы (3.7).
При сделанных выше предположениях о ранге и расположении базисного минора, в силу формул (3.24), нормальная фундаментальная совокупность решений однородной системы (3.7) имеет вид: (гл. 3 76 СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ По определению базиса любое решение Х однородной системы (3.7) представимо в виде (3.26) Х = С Х, +С Х,+...+С„„Х„,, где Сн Сз,..., С„„— некоторые постоянные.
Поскольку в формуле (3.26) содержится любое решение однородной системы (3.7), то эта формула дает общее решение рассматриваемой однородной системы. Пример. Рассмотрим однородную систему уравнений: х| — ха + хз — х4 = О, х1+хз+2хз+Зх4 =О, 2х~ + 4хз + 5хз + 1Ох4 = О, 2х! — 4ха+ хЗ вЂ” бх4 = О, (3.27) соответствующую неоднородной системе (3.21), разобранной в примере в конце предыдущего пункта. Там мы выяснили, что ранг т матрицы этой системы равен двум, и взяли в качестве базисного минор, стоящий в левом верхнем углу указанной матрицы. Повторяя рассуждения, проведенные в конце предыдущего пункта, мы получим вместо формул (3.22) соотношения 3 1 с1 = — — сз — с4, сз = — — сз — 2с4, 2 ' ' ' 2 Х~ =( — —,— —, 1,0), Хз=( — 1,— 2,0, 1).
2' 2' Общее решение однородной системы (3.27) имеет вид Х = С1 ( — —, — —, 1, 0) + Сз( — 1, — 2, О, 1), (3.28) 3 1 2' 2' где С! и Са — произвольные постоянные. В заключение этого пункта установим связь между решениями неоднородной линейной системы (3.1) и соответствующей ей однородной системы (3.7) '). Докажем следующие два утверждения. 1'. Сумма любого решения неоднородной системы (3.1) с любым решением соответствующей однородной системы (3.7) представляет собой решение системьг (3.1). В самом деле, если сн ..., с„— решение системы (3.1), а 4(н... ..., д„— решение соответствующей ей однородной системы (3.7), то, ') С теми же самыми коэффициентами прн неизвестных.
справедливые при произвольно выбранных сз и с4. С помощью этих соотношений (полагая сначала сз = 1, с4 = О, а затем сз = О, с4 = 1) мы получим нормальную фундаментальную совокупность двух решений системы (3.27): й2) 77 ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИИ ЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ подставив в любое (например, в !-е) уравнение системы (3.1) на место неизвестных числа с! + г(!, ..., с„+ оп, получим и и и агз(с + г(у) = ~ а!ус + ~ аОй = Ь;+0 = Ьо .1= ! т=! у=! что и требовалось доказать.
2'. Разность двух произвольных решений неоднородной систел!ы (3.!) является решением соответствующей однородной систел!ы (3.7). В самом деле, если сн..., с'„и с",, ..., с'„' — два произвольных решения системы (3.1), то, подставив в любое (например, в г-е) уравнение системы (3.7) на место неизвестных числа с! — с~!', ..., с'„— с'„', получим а;,~(с. — с;) = 2 ' або — 2 а!ус.
= Ь! — Ь, = О, у=! что и требовалось доказать. Из доказанных утверждений вытекает, что, найдя одно решение неоднородной системы (3.1) и складывая его с каждым решением соответствующей однородной системы (3.7), мы получим все решения неоднородной системы (3.1). Другими словами, сумма частного решения неоднородной систелгьс (3.1) и общего решения соответствующей однородной систел!ы (3.7) дает общее решение неоднородной системы (3,1). В качестве частного решения неоднородной системы (3.1) естественно взять то его решение ) Хо= !( ),", ( ) 0.0 ".
0 (329) 1, М ' ' М которое получится, если в формулах (3.20) положить равными нулю все числа с„ж!, ..., с„. Складывая это частное решение с общим решением (3,26) соответствующей однородной системы, мы получим следующее выражение для общего решения неоднородной системы (3.1): Х = Хо + С, Х! + Са Хз + ... + С„,Х„,.
(3.30) В этом выражении Хо обозначает частное решение (3.29), С!, Сю ... ..., С„„— произвольные постоянные, а Х!, Хв, ..., Х„, — элементы нормальной фундаментальной совокупности решений (3.25) соответствующей однородной системы. Так, для рассмотренной в конце предыдущего пункта неоднородной системы (3.2!) частное решение вида (3.29) равно Хс = (6, 2, О, 0). Складывая это частное решение с общим решением (3.28) соответ- ') При этом предполагается, как н выше, что ранги основной и расширенной матриц системы (3.1) равны т н что базисный минор находится в левом верхнем углу этих матриц.
(гл. 3 78 системы линеиных уРлвнении ан ... аы А= а 1 ... а (3.31) можно привести к диагональному виду (что и позволяет вычислить сс ранг). ') То есть содержащие внутри себя минор М. ") В самом деле, в указанном случае все строки (столбцы) матрицы принадлежат линейной оболочке ее Е строк (столбцов), на пересечении которых стоит минор М, а размерность указанной линейной оболочки равна й. ) Эти три операции не изменяют ранга матрицы вследствие того, что операции 1) и 2) не изменяют максимального числа линейно независимых строк (столбцов) матрицы, а операция 3) обладает тем свойством, что линейная оболочка всех строк (столбцов), имевшихся до проведения этой операции, совпадает с линейной оболочкой всех строк (столбцов), полученных после проведения этой операпии. ствующей однородной системы (3.27), мы получим следующее общее решение неоднородной системы (3.21): Х = (6, 2, О, 0) + С! (- †, — †,, 1, 0) + Сз(- 1, -2, О, 1). 3 1 2' 2' Здесь С! и Сз — произвольные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
