Главная » Просмотр файлов » В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 16

Файл №1152751 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра) 16 страницаВ.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751) страница 162019-08-03СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

определяющие единственное решение системы (3.1). Таким образом, система (3,1) имеет единственное решение (т,е. является определенной) при условии, что ранг т основной и расширенной ее матриц равен числу неизвестных п (и меныпе числа уравнений т или равен ему). П р и м е р. Найдем все решения линейной системы (гл.

3 74 СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ 3. Свойства совокупности решений однородной системы. Рассмотрим теперь однородную систему т линейных уравнений с п неизвестными (3.7), предполагая, как и выше, что матрица (3.2) имеет ранг, равный г, и что базисный минор М расположен в левом верхнем углу этой матрицы. Поскольку на этот раз все Ь! равны нулю, вместо формул (3.20) мы получим следующие формулы: сз — — — — (сч!Му(аеп! !!) + ... + спМэ(аьпЯ (7' = 1, 2,..., 7), (3 24) ! выражающие значения неизвестных х, = су (~ = 1, 2,..., г) через коэффициенты при неизвестных и произвольно заданные значения с„ч!,..., с„. В силу доказанного в предыдущем пункте формулы (3.24) содержат любое решение однородной системы (3.7). Убедимся теперь в том, что совокупность всех решений однородной системь! (3.7) образует линейное п~!остранство.

Пусть Х! = (х!, ..., х ) и Хз = (х,,..., хп ) — два произволь- !!! О ! з! !з! ных решения однородной системы (3.7), а Л вЂ” любое вещественное число. В силу того, что каждое решение однородной системы (3.7) является элементом линейного пространства А" всех упорядоченных совокупностей п чисел, достаточно доказать, что каждая из двух совокупностей Х!+Хз = (х! +х!,..., х(0+х1,)) и ЛХ! = (Лх! 1,..., Лх~(!) также является решением однородной системы (3.7). Рассмотрим любое уравнение системы (3.7), например 1-е уравне- ние, и подставим в это уравнение на место неизвестных элементы ука- занных совокупностей. Учитывая, что Х! и Ха — решения однородной системы, будем иметь и и и а! ~х.

+х!. ] = 2 аих +2 аих. =О, у=! у=! з=! аи ~Лх~. ] = Л ~ а!ух! = О, з=! у=! а это и означает, что совокупности Х! + Хз и ЛХ! являются решени- ями однородной системы (3.7). Итак, совокупность всех решений однородной системы (3.7) обра- зует линейное пространство, которое мы обозначим символом 77. Найдем размерность этого пространства 77, и построим в нем базис. Докажем, что в предположении о том, что ранг матрицы однородной системы (3.7) равен т, линейное пространство 77 всех реи!ений од- нородной системы (3.7) изоморфно линейному пространству А" ' всех упорядоченных совокупностей (п — т) чисел ') .

') Пространство А введено в примере 3 п, ! Ез ! гл.2. 75 ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИИ ЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ М1 (а,(„2) ) "=-(- М М„(а,(„э2)) — —, О, 1,..., 0), (3.25) 7 М1 (а,„) М Поставим в соответствие каждому решению (с1,..., с„, с„„1,... , с„) однородной системы (3.7) элемент (с„э1,..., с„) пространства А(" "). Поскольку числа с„э1,..., с„, могут быть выбраны произвольно и при каждом выборе с помощью формул (3.24) однозначно определяют решение системы (3.7), то установленное нами соответствие является взаимно однозначным.

Далее заметим, что если элементы (с,э1, ..., с„) и (с,ь1, ..., с„) пространства А" ' отвечают элемен- (1) (1) (2) (2) там (с,,..., с,, с,,,..., с„) и (с,,..., с„, с, 1, ..., с„) про- (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) ст(2анства й, то из формул (3.24) сразу же следует, что элементу (с,, + с, н ..,, с„+ с„) отвечает элемент (с, + с,,..., с, + О (2) (1) (2 (1) (2) (1) + с,, с„ , + с, н ..., с„ + с„ ), а элементу (Лс, н ..., Лс„ ) при (2) (1) (2) 0) за) (1) 0) любом вещественном Л отвечает элемент (Лс(, ..., Лс(, Лс,)н ... ..., Лс„). Тем самым доказано, что установленное нами соответствие является изоморфизмом. Итак, линейное пространство й всех решений однородной системы (3.7) с и неизвестными и рангом основной матрицы, равным г, изоморфно пространству А" ' и, стало быть, имеет размерность п — г. Любая совокупность из (п — г) линейно независимых решений однородной системы (3,7) образует (в силу теоремы 2.5) базис в пространстве 77 всех решений и назь1вается фундаментальной совокупностью решений однородной системьг (3.7).

Для построения фундаментальной совокупности решений можно отправляться от любого базиса пространства А" '. Отвечающая этому базису совокупность решений системы (3.7), в силу изоморфизма, будет линейно независимой и поэтому будет являться фундаментальной совокупностью решений. Особо выделяют фундаментальную совокупность решений системы (3.7), отвечающую простейн1ему базису е1 = (1, О, О, ..., 0), е2 = = (О, 1, О,..., 0), ..., е„ „ = (О, О, О,..., 1) пространства А" " и называемую нормальной фундаментальной совокупностью решений однородной системы (3.7).

При сделанных выше предположениях о ранге и расположении базисного минора, в силу формул (3.24), нормальная фундаментальная совокупность решений однородной системы (3.7) имеет вид: (гл. 3 76 СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ По определению базиса любое решение Х однородной системы (3.7) представимо в виде (3.26) Х = С Х, +С Х,+...+С„„Х„,, где Сн Сз,..., С„„— некоторые постоянные.

Поскольку в формуле (3.26) содержится любое решение однородной системы (3.7), то эта формула дает общее решение рассматриваемой однородной системы. Пример. Рассмотрим однородную систему уравнений: х| — ха + хз — х4 = О, х1+хз+2хз+Зх4 =О, 2х~ + 4хз + 5хз + 1Ох4 = О, 2х! — 4ха+ хЗ вЂ” бх4 = О, (3.27) соответствующую неоднородной системе (3.21), разобранной в примере в конце предыдущего пункта. Там мы выяснили, что ранг т матрицы этой системы равен двум, и взяли в качестве базисного минор, стоящий в левом верхнем углу указанной матрицы. Повторяя рассуждения, проведенные в конце предыдущего пункта, мы получим вместо формул (3.22) соотношения 3 1 с1 = — — сз — с4, сз = — — сз — 2с4, 2 ' ' ' 2 Х~ =( — —,— —, 1,0), Хз=( — 1,— 2,0, 1).

2' 2' Общее решение однородной системы (3.27) имеет вид Х = С1 ( — —, — —, 1, 0) + Сз( — 1, — 2, О, 1), (3.28) 3 1 2' 2' где С! и Са — произвольные постоянные. В заключение этого пункта установим связь между решениями неоднородной линейной системы (3.1) и соответствующей ей однородной системы (3.7) '). Докажем следующие два утверждения. 1'. Сумма любого решения неоднородной системы (3.1) с любым решением соответствующей однородной системы (3.7) представляет собой решение системьг (3.1). В самом деле, если сн ..., с„— решение системы (3.1), а 4(н... ..., д„— решение соответствующей ей однородной системы (3.7), то, ') С теми же самыми коэффициентами прн неизвестных.

справедливые при произвольно выбранных сз и с4. С помощью этих соотношений (полагая сначала сз = 1, с4 = О, а затем сз = О, с4 = 1) мы получим нормальную фундаментальную совокупность двух решений системы (3.27): й2) 77 ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИИ ЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ подставив в любое (например, в !-е) уравнение системы (3.1) на место неизвестных числа с! + г(!, ..., с„+ оп, получим и и и агз(с + г(у) = ~ а!ус + ~ аОй = Ь;+0 = Ьо .1= ! т=! у=! что и требовалось доказать.

2'. Разность двух произвольных решений неоднородной систел!ы (3.!) является решением соответствующей однородной систел!ы (3.7). В самом деле, если сн..., с'„и с",, ..., с'„' — два произвольных решения системы (3.1), то, подставив в любое (например, в г-е) уравнение системы (3.7) на место неизвестных числа с! — с~!', ..., с'„— с'„', получим а;,~(с. — с;) = 2 ' або — 2 а!ус.

= Ь! — Ь, = О, у=! что и требовалось доказать. Из доказанных утверждений вытекает, что, найдя одно решение неоднородной системы (3.1) и складывая его с каждым решением соответствующей однородной системы (3.7), мы получим все решения неоднородной системы (3.1). Другими словами, сумма частного решения неоднородной систелгьс (3.1) и общего решения соответствующей однородной систел!ы (3.7) дает общее решение неоднородной системы (3,1). В качестве частного решения неоднородной системы (3.1) естественно взять то его решение ) Хо= !( ),", ( ) 0.0 ".

0 (329) 1, М ' ' М которое получится, если в формулах (3.20) положить равными нулю все числа с„ж!, ..., с„. Складывая это частное решение с общим решением (3,26) соответствующей однородной системы, мы получим следующее выражение для общего решения неоднородной системы (3.1): Х = Хо + С, Х! + Са Хз + ... + С„,Х„,.

(3.30) В этом выражении Хо обозначает частное решение (3.29), С!, Сю ... ..., С„„— произвольные постоянные, а Х!, Хв, ..., Х„, — элементы нормальной фундаментальной совокупности решений (3.25) соответствующей однородной системы. Так, для рассмотренной в конце предыдущего пункта неоднородной системы (3.2!) частное решение вида (3.29) равно Хс = (6, 2, О, 0). Складывая это частное решение с общим решением (3.28) соответ- ') При этом предполагается, как н выше, что ранги основной и расширенной матриц системы (3.1) равны т н что базисный минор находится в левом верхнем углу этих матриц.

(гл. 3 78 системы линеиных уРлвнении ан ... аы А= а 1 ... а (3.31) можно привести к диагональному виду (что и позволяет вычислить сс ранг). ') То есть содержащие внутри себя минор М. ") В самом деле, в указанном случае все строки (столбцы) матрицы принадлежат линейной оболочке ее Е строк (столбцов), на пересечении которых стоит минор М, а размерность указанной линейной оболочки равна й. ) Эти три операции не изменяют ранга матрицы вследствие того, что операции 1) и 2) не изменяют максимального числа линейно независимых строк (столбцов) матрицы, а операция 3) обладает тем свойством, что линейная оболочка всех строк (столбцов), имевшихся до проведения этой операции, совпадает с линейной оболочкой всех строк (столбцов), полученных после проведения этой операпии. ствующей однородной системы (3.27), мы получим следующее общее решение неоднородной системы (3.21): Х = (6, 2, О, 0) + С! (- †, — †,, 1, 0) + Сз(- 1, -2, О, 1). 3 1 2' 2' Здесь С! и Сз — произвольные постоянные.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
20,4 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее