Главная » Просмотр файлов » В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 15

Файл №1152751 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра) 15 страницаВ.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751) страница 152019-08-03СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Итак, мы доказали, что если решение хн хм..., х„системы (3.10) с определителем гх основной матрицьг (3.! 1), отличным от нуля, существует, то это реигение однозначно определяется формулами (3.14). Формулы (3.14) называются формулами Крамера з) . Еще раз подчеркнем, что формулы Крамера пока получены нами в предположении существования решения и доказывают его единственность.

Остается доказать существование решения системы (3.10). Для этого в силу теоремы Кронекера-Капелли достаточно доказать, что ранг основной матрицы (3.11) равен рангу расширенной матрицы ) ан айаг ... аш 6~ аг| ам ... аг„ Ьг (3.15) А~ = аь1 а г .. а„Ь„ но это очевидно, ибо в силу соотношения гх ф О, ранг основной матрицы равен и, а ранг содержащей и строк расширенной матрицы (3.15) больше числа и быть не может и потому равен рангу основной матрицы. Тем самым полностью доказано, что квадратная система линейных уравнений (3.10) с определителем основной матрицы, отличным от нуля, имеет, и притом единственное, решение, определяемое формулами Крамера (3.14).

') Чтобы убедиться в этом, достаточно записать разложение определителя сьг(6,) по элементам 1-го столбца. г) Габриель Крамер (1704 — !752) — швейцарский математик. ) Существует и другой способ доказательства существования решения системы (3 1О), заключающийся в проверке того, что числа хь хг,..., х определяемые формулами Крамера (3.!4), обращают в тождества все уравнения системы (3.10). (гл.

3 70 СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ Доказанное нами утверждение еще проще устанавливается матричным способом. Для того чтобы сделать это, заменим (как и в п. 1 Э 1) систему (3.10) эквивалентным ей матричным уравнением (3.16) АХ= В, где А — основная матрица системы (3.11), а Х и  — столбцы, Ь! Ьь я1 яз первый из которых подлежит определению, а второй задан. Так как определитель дг матрицы А отличен от нуля, то существует обратная матрица А ' (см. и. 7 э" 2 гл, 1). Предположим, что существует решение системы (3.10), т.е, существует столбец Х, обращающий в тождество матричное уравнение (3.16).

Помножая указанное тождество слева на обратную матрицу А ', будем иметь А '(АХ) = А 'В. (3.17) т)+2лт+Зхз+4к4 = 30, — т!+ 2жз — Злз+4лл = 10, лт — аз + к4 = 3, л! + лз + мз + л4 = 10 ') См. формулу (1А!) Нз и. 7 Э 2 гл. !. Учтем теперь, что в силу сочетательного свойства пооизведения трех матриц (см. п.2 э ! гл.1) и в силу соотношения А А = Е, где Е единичная матрица (см. п.7 э2 гл. 1), А '(АХ) = (А 'А)Х = ЕХ = = Х, так что мы получим из (3.17) Х=А 'В. (3.18) Развертывая равенство (3.18) и учитывая вид обратной матрицы '), мы и получим для элементов столбца Х формулы Крамера.

Итак, мы доказали, что если решение матричного уравнения (3.16) существует, то оно однозначно определяется соотношением (3.18), эквивалентным формулам Крамера. Легко проверить, что столбец Х, определяемый соотношением (3.18), в самом деле является решением матричного уравнения (3.16), т.е. при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. В самом деле, если столбец Х определяется равенством (3.18), то АХ = =. А(А 'В) = (АА ')В = ЕВ = В. Итак, если определитель сз матрицы А отличен от нуля (т.е.

если эта матрица является невырожденной), то суи4ествует, и притом единственное, решение матричного уравнения (3.16), определяемое соотношением (3.18), эквивалентным формулам Крамера. Пример. Найдем решение квадратной системы линейных урав- нений 7! ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИИ ЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ с отличным от нуля определителем основной матрицы 1 2 3 4 -1 2 -3 4 о 1 1 1 1 Поскольку 30 2 3 4 — 1 2 3 4 3 1 — 1 1 10 1 1 1 1 30 3 4 — 1 1Π— 3 4 0 3 — 1 1 1 1О 1 1 = — 4, Ьз= 1 2 30 4 — 1 2 10 4 0 1 3 1 1 1 1О 1 ! 2 3 30 — 1 2 — 3 1О 0 1 — 1 3 10 = — 12, ть4 = = — 16, то, в силу формул Крамера, единственное решение рассматриваемой системы имеет вид х! = 1, хз = 2, хз = 3, х4 = 4.

Основное значение формул Крамера состоит в том, что они дают явное выражение для решения квадратной системы линейных уравнений (с определителем, отличным от нуля) через коэффициенты уравнений и свободные члены. Практическое использование формул Крамера связано с довольно громоздкими вычислениями (для решения системы н уравнений с и неизвестными приходится вычислять (и + 1) определитель и-го порядка). К этому следует добавить, что если коэффициенты уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближенные значения каких либо измеряемых физических величин или округляются в процессе вычислений, то использование формул Крамера может привести к большим ошибкам и в ряде случаев является нецелесообразным.

В 34 гл.4 будет изложен метод регуляризации, принадлежащий А.Н. Тихонову и позволяющий находить решение линейной системы с точностью, соответствующей точности задания матрицы коэффициентов уравнений и столбца свободных членов, а в гл. б дается представление о так называемых итерационных методах решения линейных систем, позволяющих решать эти системы при помощи последовательных приближений неизвестных В заключении отметим, что в этом пункте мы исключили из рассмотрения случай обращения в нуль определителя 4х основной матрицы системы (3.10). Этот случай будет содержаться в общей теории систем т линейных уравнений с и неизвестными, излагаемой в следующем пункте.

2. Отыскание всех решений общей линейной системы. Рассмотрим теперь общую систему т линейных уравнений с н неизвестными (3.!). Предположим, что эта система совместна и что ранг ее основной и расширенной матриц равен числу г. Не ограничивая общности, мы можем предположить, что базисный минор основной матрицы (3.2) находится в левом верхнем углу этой матрицы (общий случай сводится (гл. 3 72 системы линеиных углвнении к этому случаю посредством перестановки в системе (3.1) уравнений и неизвестных).

Тогда первые т строк как основной матрицы (3.2), так и расширенной матрицы (3.8) являются базисными строками этих матриц '), и, по теореме 1.6 о базисном миноре, каждая из строк расширенной матрицы (3.8), начиная с (г+ 1)-й строки, является линейной комбинацией первых г строк этой матрицы. В терминах системы (3.!) это означает, что каждое из уравнений этой системы, начиная с (г+ 1)-го уравнения, является линейной комбинацией (т.е, следствием) первых г уравнений этой системы (т.е. всякое решение первгях 7 уравнений системгя (3.1) обращает в толсдества и все последующие уравнения этой системы). Таким образом, достаточно найти все решения лишь первых г уравнений системы (3.!). Рассмотрим первые г уравнений системы (3.1), записав их в виде амш1+ а12х2 + ...

+ аых„= Ь| — а1(,.ецх,-е1 — ... — ашл„, аз~ш1+ а22а2+ ... + аз,х, = Ь2 — а21, 1)т -71 — .. — аз,х, (3 19) а„|а1+ а„заз+ ... + а„,х,. = Ь,. — а,1, Рца,.71 — ... — а„„а„. Если мы придадим неизвестным л,..ьн..., х„совершенно произвольные значения с„жн..., с„, то система (3.19) превратится в квадратную систему г линейных уравнений для г неизвестных шн а2,... ..., л„, причем определителем основной матрицы этой системы является отличный от нуля базисный минор матрицы (3.2).

В силу результатов предыдущего пункта, эта система (3.19) имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера, т.е. для произвольно выбранных с,..ьн ..., с„существует единственная совокупность г чисел сн сз, ..., с„, обращающих в тождества все уравнения системы (3.19) и определяющихся формулами Крамера. Чтобы записать это единственное решение, до~озаримся обозначать символом М,(г(2) определитель, получающийся из базисного минора М матрицы (3.2) заменой его ьыго столбца столбцом из чисел йн г(2,... ..., 4,..., 7(„(с сохранением без изменения всех остальных столбцов М). Тогда, записывая решение системы (3.19) с помощью формул Крамера и пользуясь линейным свойством определителя, мы получим 1 с; = — М7(Ь, — ан,ьцс, 71 — ...

— ашс„) = М 1 = — '!М;(Ьг) — с,ч 1М (ац,ь0) — ... — с„М (аг„)! (3.20) 0=1,2,...,7). ') Так как ранги основной и расширенной матриц оба равны г, то базисный минор основной матрицы будет одновременно являться базисным минором и расширенной матрицы. 92) отыскание Решении линеинои системы Формулы (3.20) выражают значения неизвестных ху = с, (~ = 1, 2,... ..., Р) через коэффициенты при неизвестных, свободные члены и произвольно заданные параметры с,м!, ..., с„. Докажем, что формулы (3.20) содержат любое решение системгл (3.!). В самом деле, пусть сн со,..., со, с", 1, ..., с! — произвольное решение указанной системы. Тогда оно является решением и системы (3.19).

Но из системы (3.19) величины со, со, ..., со определяются через величины сое!,..., со однозначно и именно по формулам Крамера (3.20). Таким образом, при с,ч.~ — — соч!, ..., с„= со формулы (3.20) дают нам как раз рассматриваемое решение сн с,..., с„, с„н..., с„. Замечание. Если ранг г основной и расширенной матриц системы (3.1) равен числу неизвестных п, то в этом случае соотношения (3.20) переходят в формулы с,= ''' О=!,2,...,п), м,(ь,) х! — хг + хз — хл = 4, х! + хз + 2хз + Зхл = 8, 2х! +4хз+ 5хз+10хл = 20, 2х! — 4ха + хз — бх! = 4.

(3.21) Нетрудно убедиться в том, что ранг как основной, так и расширенной матрицы этой системы равен двум (т.е, эта система совместна), причем можно считать, что базисный минор М стоит в левом верхнем углу ! — ! основной матрицы, т.е. лт' = ! — — 2. Но тогда, отбрасывая два последних уравнения и задавая произвольно сз и с4, мы получим си- стему х! — хз =4 — сз+ с4, х! + хз = 8 — 2сз — Зол, из которой в силу формул Крамера получаем значения 3 ! х! = с! = 6 — — сз — с4, хз = са = 2 — — сз — 2сл. 2 ' 2 (3.22) Таким образом, четыре числа ( 3 1 6 — — сз — с4, 2 — —, сз — 2сл, с1, сл) 2 ' ' 2 (3.23) при произвольно заданных значениях сз и с! образуют решение системы (3.21), причем строка (3.23) содержит все решения этой системы.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
20,4 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее