В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Итак, мы доказали, что если решение хн хм..., х„системы (3.10) с определителем гх основной матрицьг (3.! 1), отличным от нуля, существует, то это реигение однозначно определяется формулами (3.14). Формулы (3.14) называются формулами Крамера з) . Еще раз подчеркнем, что формулы Крамера пока получены нами в предположении существования решения и доказывают его единственность.
Остается доказать существование решения системы (3.10). Для этого в силу теоремы Кронекера-Капелли достаточно доказать, что ранг основной матрицы (3.11) равен рангу расширенной матрицы ) ан айаг ... аш 6~ аг| ам ... аг„ Ьг (3.15) А~ = аь1 а г .. а„Ь„ но это очевидно, ибо в силу соотношения гх ф О, ранг основной матрицы равен и, а ранг содержащей и строк расширенной матрицы (3.15) больше числа и быть не может и потому равен рангу основной матрицы. Тем самым полностью доказано, что квадратная система линейных уравнений (3.10) с определителем основной матрицы, отличным от нуля, имеет, и притом единственное, решение, определяемое формулами Крамера (3.14).
') Чтобы убедиться в этом, достаточно записать разложение определителя сьг(6,) по элементам 1-го столбца. г) Габриель Крамер (1704 — !752) — швейцарский математик. ) Существует и другой способ доказательства существования решения системы (3 1О), заключающийся в проверке того, что числа хь хг,..., х определяемые формулами Крамера (3.!4), обращают в тождества все уравнения системы (3.10). (гл.
3 70 СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ Доказанное нами утверждение еще проще устанавливается матричным способом. Для того чтобы сделать это, заменим (как и в п. 1 Э 1) систему (3.10) эквивалентным ей матричным уравнением (3.16) АХ= В, где А — основная матрица системы (3.11), а Х и  — столбцы, Ь! Ьь я1 яз первый из которых подлежит определению, а второй задан. Так как определитель дг матрицы А отличен от нуля, то существует обратная матрица А ' (см. и. 7 э" 2 гл, 1). Предположим, что существует решение системы (3.10), т.е, существует столбец Х, обращающий в тождество матричное уравнение (3.16).
Помножая указанное тождество слева на обратную матрицу А ', будем иметь А '(АХ) = А 'В. (3.17) т)+2лт+Зхз+4к4 = 30, — т!+ 2жз — Злз+4лл = 10, лт — аз + к4 = 3, л! + лз + мз + л4 = 10 ') См. формулу (1А!) Нз и. 7 Э 2 гл. !. Учтем теперь, что в силу сочетательного свойства пооизведения трех матриц (см. п.2 э ! гл.1) и в силу соотношения А А = Е, где Е единичная матрица (см. п.7 э2 гл. 1), А '(АХ) = (А 'А)Х = ЕХ = = Х, так что мы получим из (3.17) Х=А 'В. (3.18) Развертывая равенство (3.18) и учитывая вид обратной матрицы '), мы и получим для элементов столбца Х формулы Крамера.
Итак, мы доказали, что если решение матричного уравнения (3.16) существует, то оно однозначно определяется соотношением (3.18), эквивалентным формулам Крамера. Легко проверить, что столбец Х, определяемый соотношением (3.18), в самом деле является решением матричного уравнения (3.16), т.е. при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. В самом деле, если столбец Х определяется равенством (3.18), то АХ = =. А(А 'В) = (АА ')В = ЕВ = В. Итак, если определитель сз матрицы А отличен от нуля (т.е.
если эта матрица является невырожденной), то суи4ествует, и притом единственное, решение матричного уравнения (3.16), определяемое соотношением (3.18), эквивалентным формулам Крамера. Пример. Найдем решение квадратной системы линейных урав- нений 7! ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИИ ЛИНЕИНОИ СИСТЕМЫ с отличным от нуля определителем основной матрицы 1 2 3 4 -1 2 -3 4 о 1 1 1 1 Поскольку 30 2 3 4 — 1 2 3 4 3 1 — 1 1 10 1 1 1 1 30 3 4 — 1 1Π— 3 4 0 3 — 1 1 1 1О 1 1 = — 4, Ьз= 1 2 30 4 — 1 2 10 4 0 1 3 1 1 1 1О 1 ! 2 3 30 — 1 2 — 3 1О 0 1 — 1 3 10 = — 12, ть4 = = — 16, то, в силу формул Крамера, единственное решение рассматриваемой системы имеет вид х! = 1, хз = 2, хз = 3, х4 = 4.
Основное значение формул Крамера состоит в том, что они дают явное выражение для решения квадратной системы линейных уравнений (с определителем, отличным от нуля) через коэффициенты уравнений и свободные члены. Практическое использование формул Крамера связано с довольно громоздкими вычислениями (для решения системы н уравнений с и неизвестными приходится вычислять (и + 1) определитель и-го порядка). К этому следует добавить, что если коэффициенты уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближенные значения каких либо измеряемых физических величин или округляются в процессе вычислений, то использование формул Крамера может привести к большим ошибкам и в ряде случаев является нецелесообразным.
В 34 гл.4 будет изложен метод регуляризации, принадлежащий А.Н. Тихонову и позволяющий находить решение линейной системы с точностью, соответствующей точности задания матрицы коэффициентов уравнений и столбца свободных членов, а в гл. б дается представление о так называемых итерационных методах решения линейных систем, позволяющих решать эти системы при помощи последовательных приближений неизвестных В заключении отметим, что в этом пункте мы исключили из рассмотрения случай обращения в нуль определителя 4х основной матрицы системы (3.10). Этот случай будет содержаться в общей теории систем т линейных уравнений с и неизвестными, излагаемой в следующем пункте.
2. Отыскание всех решений общей линейной системы. Рассмотрим теперь общую систему т линейных уравнений с н неизвестными (3.!). Предположим, что эта система совместна и что ранг ее основной и расширенной матриц равен числу г. Не ограничивая общности, мы можем предположить, что базисный минор основной матрицы (3.2) находится в левом верхнем углу этой матрицы (общий случай сводится (гл. 3 72 системы линеиных углвнении к этому случаю посредством перестановки в системе (3.1) уравнений и неизвестных).
Тогда первые т строк как основной матрицы (3.2), так и расширенной матрицы (3.8) являются базисными строками этих матриц '), и, по теореме 1.6 о базисном миноре, каждая из строк расширенной матрицы (3.8), начиная с (г+ 1)-й строки, является линейной комбинацией первых г строк этой матрицы. В терминах системы (3.!) это означает, что каждое из уравнений этой системы, начиная с (г+ 1)-го уравнения, является линейной комбинацией (т.е, следствием) первых г уравнений этой системы (т.е. всякое решение первгях 7 уравнений системгя (3.1) обращает в толсдества и все последующие уравнения этой системы). Таким образом, достаточно найти все решения лишь первых г уравнений системы (3.!). Рассмотрим первые г уравнений системы (3.1), записав их в виде амш1+ а12х2 + ...
+ аых„= Ь| — а1(,.ецх,-е1 — ... — ашл„, аз~ш1+ а22а2+ ... + аз,х, = Ь2 — а21, 1)т -71 — .. — аз,х, (3 19) а„|а1+ а„заз+ ... + а„,х,. = Ь,. — а,1, Рца,.71 — ... — а„„а„. Если мы придадим неизвестным л,..ьн..., х„совершенно произвольные значения с„жн..., с„, то система (3.19) превратится в квадратную систему г линейных уравнений для г неизвестных шн а2,... ..., л„, причем определителем основной матрицы этой системы является отличный от нуля базисный минор матрицы (3.2).
В силу результатов предыдущего пункта, эта система (3.19) имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера, т.е. для произвольно выбранных с,..ьн ..., с„существует единственная совокупность г чисел сн сз, ..., с„, обращающих в тождества все уравнения системы (3.19) и определяющихся формулами Крамера. Чтобы записать это единственное решение, до~озаримся обозначать символом М,(г(2) определитель, получающийся из базисного минора М матрицы (3.2) заменой его ьыго столбца столбцом из чисел йн г(2,... ..., 4,..., 7(„(с сохранением без изменения всех остальных столбцов М). Тогда, записывая решение системы (3.19) с помощью формул Крамера и пользуясь линейным свойством определителя, мы получим 1 с; = — М7(Ь, — ан,ьцс, 71 — ...
— ашс„) = М 1 = — '!М;(Ьг) — с,ч 1М (ац,ь0) — ... — с„М (аг„)! (3.20) 0=1,2,...,7). ') Так как ранги основной и расширенной матриц оба равны г, то базисный минор основной матрицы будет одновременно являться базисным минором и расширенной матрицы. 92) отыскание Решении линеинои системы Формулы (3.20) выражают значения неизвестных ху = с, (~ = 1, 2,... ..., Р) через коэффициенты при неизвестных, свободные члены и произвольно заданные параметры с,м!, ..., с„. Докажем, что формулы (3.20) содержат любое решение системгл (3.!). В самом деле, пусть сн со,..., со, с", 1, ..., с! — произвольное решение указанной системы. Тогда оно является решением и системы (3.19).
Но из системы (3.19) величины со, со, ..., со определяются через величины сое!,..., со однозначно и именно по формулам Крамера (3.20). Таким образом, при с,ч.~ — — соч!, ..., с„= со формулы (3.20) дают нам как раз рассматриваемое решение сн с,..., с„, с„н..., с„. Замечание. Если ранг г основной и расширенной матриц системы (3.1) равен числу неизвестных п, то в этом случае соотношения (3.20) переходят в формулы с,= ''' О=!,2,...,п), м,(ь,) х! — хг + хз — хл = 4, х! + хз + 2хз + Зхл = 8, 2х! +4хз+ 5хз+10хл = 20, 2х! — 4ха + хз — бх! = 4.
(3.21) Нетрудно убедиться в том, что ранг как основной, так и расширенной матрицы этой системы равен двум (т.е, эта система совместна), причем можно считать, что базисный минор М стоит в левом верхнем углу ! — ! основной матрицы, т.е. лт' = ! — — 2. Но тогда, отбрасывая два последних уравнения и задавая произвольно сз и с4, мы получим си- стему х! — хз =4 — сз+ с4, х! + хз = 8 — 2сз — Зол, из которой в силу формул Крамера получаем значения 3 ! х! = с! = 6 — — сз — с4, хз = са = 2 — — сз — 2сл. 2 ' 2 (3.22) Таким образом, четыре числа ( 3 1 6 — — сз — с4, 2 — —, сз — 2сл, с1, сл) 2 ' ' 2 (3.23) при произвольно заданных значениях сз и с! образуют решение системы (3.21), причем строка (3.23) содержит все решения этой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
