В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 19
Текст из файла (страница 19)
распространение изучаемых здесь результатов на бесконечномерные евклидовы пространства выходит за рамки этой книги и является предметом специального изучения. (Такие пространства изучаются в главах 1О и !1 выпуска «Основы математического анализа, часть В>.) 1. Понятие ортонормированпого базиса и его существование. В гл.2 было введено понятие базиса и-мерного линейного пространства. В линейном пространстве все базисы являлись равноправными, и у нас не было оснований предпочитать один базис другому.
В евклидовом пространстве существуют специальные, особо удобные базисы, называемые ортонормированнгнми базисами. Эти базисы играют ту же роль, что и декартов прямоугольный базис в аналитической геометрии. Перейдем к определению ортонормированного базиса. Определение.
Будем говорить, что и элементов ен ез,...,е„ п-мерного евклидова пространства Е образуют ортонормированиый базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна единице, т.е. если !'! при г=н, ~0 при гней. (4.10) (4.11) с« ~ е~ + с«Без + ... + с«„е„= О возможно, лишь когда г«1 = оз = ...
= а„= О. Докажем это. Пусть й — любой из номеров 1, 2,..., г«. Умножая равенство (4.11) скалярно на элемент еь и пользуясь аксиомами скалярного произведения и соотношениями (4.10), мы получим, что с«ь = О. Докажем теперь следующую основную теорему. Теорема 4.3. Во всяком и-мерном евклидовом пространстве Е существует ортонормированньш" базис. Доказательство. Согласно определению размерности в пространстве Е найдется п линейно независимых элементов 1н Гж ..., Г„.
Докажем, что можно построить и элементов ен ею.,., е„, линейно выражающихся через Тн Гж..., Г„и образующих ортонормированный базис (т.е. удовлетворяющих соотношениям (4.!0)). Проведем доказательство возможности построения таких элементов ен ез, ..., е„методом математической индукции. Для того чтобы установить корректность сформулированного определения, следует доказать, что входящие в это определение элементы ен ем ...,е„ образуют один из базисов рассматриваемого п-мерного пространства Е, а для этого, в силу теоремы 2.5, достаточно доказать, что эти элементы ен ез,...,е„ линейно независимы, т.е, что равен- ство (гл. 4 88 евклидовы пггэстРАнстВА Если имеется только один элемент ты то для построения элемента е~ с нормой, равной единице, достаточно нормировать элемент ты т.е. умножить этот элемент на число (АУ(Т1, Т1)1 ', обратное его норме ').
Мы получим при этом элемент е| = (АгГ(Т1, Х1)) '11 с нормой, равной единице. Считая, что ьв — целое число, меньшее п, предположим, что нам удалось построить т элементов еы ез,..., е , линейно выражающихся через Гы Гю..., Г, попарно ортогональных и имеющих нормы, равные единице. Докажем, что к этим элементам еы ею..., е можно присоединить еще один элемент е жы линейно выражающийся через Гы 1ш..., 1 аы ортогональный к каждому из элементов еы еа, ..., е и имеющий норму, равную единице.
Убедимся в том, что этот элемент еьы 1 имеет вид е .н = а эч (т" ь ~ — (ты.ы, е,.)е„,— — (т" жы е ~)е ~ — ... — (т" ьы е1)е11, (4.12) где гь .ь~ — некоторое вещественное число. В самом деле, элемент е ь~ линейно выражается через Гы 1ю... ..., Г ь~ (в силу того, что он линейно выражается через еы ез,... ..., е,„, 1 жы а каждый из элементов еы ез,..., е линейно выражается через ты 6ш ..., т ). Отсюда сразу же следует, что при сь е1 у'= О элемент е ы заведомо не является нулввьгм (ибо, в противном случае, являлась бы нулевым элементом некоторая линейная комбинация линейно независимых элементов Гы гш ..., т" +ы в которой, в силу (4.12), отличен от нуля коэффициент при 1 ь~).
Далее из того, что элементы еы ез,..., е попарно ортогональны и имеют нормы, равные единице, и из соотношения (4.12) сразу же вытекает, что скалярное произведение (е ьы еь) равно нулю для любого номера к, равного 1, 2, ..., т. Для завершения индукции остается доказать, что число а а1 можно выбрать так, что норма элемента (4.12) будет равна единице. Выше уже установлено, что при сь .ь~ ~ О элемент е ьы а, стало быть, и элемент, заключенный в (4.12) в квадратные скобки, не является нулевым. Стало быть, для того чтобы нормировать элемент, заключенный в квадратные скобки, следует взять число гь +1 обратным положительной норме этого, заключенного в квадратные скобки, элемента.
При этом норма е ь~ будет равна единице. Теорема доказана. Доказанная теорема приводит к следующему осуществляемому шаг за шагом алгоритму построения по данной системе п линейно независимых элементов Гы 1ю ..., 1„системы и попарно ортогональных ')Напомним, что среди линейно независимых элементов й, Гм..., т" ие может быть нулевого элемента, так что норма т1 болыпе нуля. й2) 89 БАзис еВклидОВА ИРОстРАнстВА ЭЛЕМЕНТОВ Е!, Е2,..., Еп, НОРМа КажДОГО ИЗ КОТОРЫХ Ранив ЕДИНИЦЕ: Г! е! = Аг(Г!, Г!) ез =, где из = Г2 — (Г2, е!)е!; 82 ДКЪ, 82) ез = — ††' — , где из = Гз — (Гз ез)ез — (Гз е!)е!'! Кз АА(И!.
Из) ' еп = ", где и„= Гп — (Г„, еп !)еп ! — ... — (Г„, е!)е!. Лк-, к-) Указанный алгоритм обычно называют процессом ортогонализаЦии линейно независимых элементов Г!, Г2,..., Гп. 3 а м е ч а н и е. Конечно, в каждом и-м!ерном евклидовом пространстве Е существует много ортонормированных базисов. Действительно, если, например, строить ортонормированиый базис процессом ортогонализации одних и тех же линейно независимых элементов Г!, Г2, ...
..., Гп, то, начиная процесс ортогонализацни с различных элементов ГА, мы придем к различным ортонормированным базисам. Ниже, в и. 2 9 7 гл. 7 будет рассмотрен вопрос о том, как связаны между собой различные ортонормированные базисы данного евклидова пространства Е. Примером ортонормированного базиса может служить декартов прямоугольный базис евклидова пространства всех свободных векторов или совокупность и элементов е! = (1, О, О,..., 0), е2 = (О, 1, О,..., 0), е„ = (О, О, О,..., 1) евклидова пространства Е" всех упорядоченных совокупностей и вещественных чисел со скалярным произведением (4.2).
2. Свойства ортонормироваиного базиса. Пусть е!, ез, ..., еп— произвольный ортонормированный базис а-мерного евклидова пространства Е, а х и у — два произвольных элемента этого пространства. Найдем выражение скалярного произведения (х, у) этих элементов ЧЕРЕЗ ИХ КООРДИНатЫ ОтНОСИтЕЛЬНО баЗИСа Е!, Е2,..., Еп. Обозначим координаты элементов х и у относительно базиса Е!, Е2,..., Еп СООтзстетВЕННО ЧЕРЕЗ (Л!, Л2, " , Мп) И (У! У2 " .
Уп ) т.е. предположим, что х = л!е! + Лзез + ... + Л„е„, у = у!е! + + УЕЕ2 + ... + УпЕп. ТОГДа (Х, у) = (Л!Е! + М2Е2 + ... + тпЕп, у!Е! + У2Е2 + ... + УпЕп). Из последнего равенства, в силу аксиом скалярного произведения и соотношений (4.10), получим / и п и и (х, у) = ( ~ анен 2 уьеь) = 2 ~ м2уь(е!, еь) = 2=! ь=! 2=! ь=! = Л!У! + Л2У2 + ° ° + Лпуп ° (гл. 4 евклидовы пРОстялнстВА Итак, окончательно, (х, у) = х1У1+ х2У2+ .
+ г Уп. (4.13) Таким образом, в ортонормированном базисе скалярное произведение двух любь!х элементов равно сумме произведений соответствующих координат этих элементов. Рассмотрим теперь в и-мерном евклидовом пространстве Е совершенно произвольный (вообще говоря, не ортонормированный) базис Г1, Г2,..., Г„ и найдем выражение скалярного произведения двух произвольных элементов х и у через координаты этих элементов относительно указанного базиса. Обозначим координаты элементов х и у относительно базиса 21, Г2,..., т"„ СООтВЕтСтВЕННО ЧЕРЕЗ (Х1,ла,...,лп) И (У1, У2,..., Уп), т. е.
предположим, что х = х121 + ю222 + + юпгп У = У!21 + У212 + + риги' Пользуясь аксиомами скалярного произведения, получим (х У) = (х11! + и222 + .. + апти У!!1 + У212 + + риги) = / л и п п = ~ ,'2 х,уг, ~', Уь!ь) = ~; ~; хгрь(Гп ~ь). 1=1 ь=1 1=1 ь=! п и (х у) = 2 2 а!ьх!У1п 1=1 Й=1 (4.!4) в котором матрица ~~а!ь~~ (1 = 1, 2,..., и; и = 1, 2,..., п) имеет элементы а1ь = (к Гь). Последнее утверждение приводит к следующему результату: для того чтобы в данном базисе Г1, 22,..., Г„евклидова пространства Е скалярное произведение двух любь1х элементов бь1ло равно сумме произведений соответствующих координат этих элементов, необходимо и достаточно, чтобы базис Г1, Г2,..., Г„был ортонормированным.
В самом деле, выражение (4.14) переходит в (4.13) тогда и только тогда, когда матрица ()а!ь)! с элементами а1ь = (Г1, Гь) является единичной, т.е. тогда и только тогда, когда выполнены соотношения ) 1 при 1=Й, (О при ь' ф !г, устанавливающие ортонормированность базиса Г1, Г2, ..., Г„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
