Главная » Просмотр файлов » В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 21

Файл №1152751 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра) 21 страницаВ.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751) страница 212019-08-03СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

-1- лпрп. (4.!6) Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1' — 3' проверяется совершенно элементарно. Справедливость аксиомы 4' вытекает из соотношения (Х, Х) = У1У1 + Х2т2+ ... + МпЛп = 1Л1~ + ~1т2~ + ° + 1тп~ Стало быть, пространство А", со скалярным произведением (4.16) является комплексным евклидовым пространством. Пример 3.

В том же самом комплексном линейном пространстве А"„можно ввести скалярное произведение не соотношением (4.16), 95 кОмплекснОе евклидОВО ПРОстпанство а более общим соотношением ') и и (х, у) = 2 2 а!ах!да, (4. 17) «=! !«=! в котором ~йа,ь~й' -- произвольная матрица, состоящая из комплексных чисел аоы удовлетворяющих условию а;ь = аы, такая, что квадратичи и ная форма 2 2 а!ах!ха для всех комплексных х1, хю..., хи при«=! !«=! нимает вещественные неотрицательные значения и обращается в нуль лишь при условии )х!!а + !хт(а + ...

+ )х„(а = О. Предоставляем читателю проверку того, что так определенное скалярное произведение удовлетворяет аксиомам 1' — 4'. 2. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие нормы. Докажем, что для любых двух элементов х и у произвольного комплексного евклидова пространства справедливо неравенство Коши — Буняковского ) ((х, у)~ < (х,х)(у, у). (4.18) На основании аксиомы 4' для любого комплексного числа Л справедливо неравенство (4.19) (Лх — у, Лх — у) > О. Так как в силу аксиом 1'-3' и их логических следствий (Лх — у, Лх — у) = ЛЛ(х,х) — Л(х, у) — Л(у,х) + (у, у) = = !Л!Е(х, х) — Л(х, у) — Л (х, у) + (у, у), то неравенство (4.!9) принимает вид )Л/~(х, х) — Л(х, у) — Л (х, у) + (у, у) > О.

(4.20) Обозначим через р аргумент комплексного числа (х, у) и представим это число в тригонометричеекой форме ) (х, у) = !(х, у)!(соя !э -1- «я1п 7«). (4.21) Положим теперь комплексное число Л равным Л = 1(сов!р — 4з1п !р), (4.22) ')(4.17) переходит в (4.16), когда матрица !!а,ь!! является единичной. !) Поскольку (х, у) является, вообще говоря, комплексным числом, то нельзя записывать неравенство Коши †Буняковско в виде (4.6) з) Понятия аргумента к тригонометрической формы комплексного числа разбираются, например, в З 1 гл,7 выпуска «Основы математического анализа», часть !.

(гл. 4 96 евклидОВЫ пРостРАнстВА где 1 — произвольное веи1ественное число. Из соотношений (4.21) и (4.22) очевидно, что (Л! = !т(, Л(х, у) = Л (х, у) = т!(х, у)). Поэтому при выбранном нами Л неравенство (4.20) переходит в неравенство гэ(х, х) — 21/(х, у)/ + (у, у) > О, (4.23) справедливое при любом вещественном !. Необходимым и достаточным условием неотрицательности квадратного трехчлена, стоящего в левой части (4.23), является неположнтельность его дискримннанта, т.е. неравенство !(х, у)!~ — (х, х)(у, у) < О, эквивалентное неравенству (4.18). С помощью неравенства Коши-Буняковского (4.18) и рассуждений, полностью аналогичных доказательству теоремы 4.2, устанавливается, что всякое комплексное евклидова пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента х определить соотношением !!х(! = Аьь(х,х).

(4.24) В частности, во всяком комплексном евклидовом пространстве с нормой, определяемой соотношением (4.24), справедливо неравенство треугольника !)х+ у)! < ~~х~~ + ~~у~~ Замечание. Подчеркнем, что введенное для вещественного евклидова пространства понятие угла у между двумя произвольными элементами х и у теряет смысл для комплексного евклидова пространства (вследствне того, что скалярное произведение (х, у) является, вообще говоря, комплексным числом). 3.

Ортонормированный базис и его свойства. Элементы х и у произвольного комплексного евклидова пространства будем называть ортогональными, если скалярное произведение (х, у) этих элементов равно нулю. Ортонормированным базисом и-мерного комплексного евклидова пространства назовем совокупность его элементов еы ею ..., е„, удовлетворяющих соотношениям 11 при ь=к, (4.25) (т.е. попарно ортогональных и имеющих нормы, равные единице). Как и в п. 1 92, доказывается, что эти элементы линейно независимы и потому образуют базис.

В полной аналогии с доказательством теоремы 4.3 (т. е. с помощью процесса ортогонализации) устанавливается существование в произвольном п-мерном комплексном евклидовом пространстве ортонормированного базиса. Выразим скалярное произведение двух произвольных элементов х и у и-мерного комплексного евклидова пространства через их координаты ки хя,.,., х„ и уи ую ..., у„ относительно ортонормированного базиса еп ею.,., е„.

97 МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ Так как х = т!е! + хзез + ... + хпеп, У У!е! + Узез + ° + Уиеп то в силу аксиом 1' — 4' и соотношений (4.25) получим и п п п (х, у) = ( 2 хаен 2 уьеь) = 2 2 х!Яь(е!, еь) = и=! А=! ь=! ь=! = х! у! + хзуа + ... + хпуп. Выразим далее координаты х!, хш ..,, хп произвольного элемента х относительно ортонормированного базиса е!, еа,..., еп. Умножая разложение этого элемента по базису х = х!е! + хзез + ... ... + хпеп скалярно на еь и пользуясь соотношениями (4.25), получим (для любого (ч равного 1, 2,...,п) / и п (х, еь) = 1 2 хьеь, еь) = 2 х,(е„ еь) = хю ь=! *'=! ф 4.

Метод регуляризации для отыскания нормального решения линейной системы Снова возвратимся к рассмотрению общей линейной системы т уравнений с и неизвестными вида (3.1). Эту систему кратко запишем в матричной форме ') АХ=В. (4.26) Напомним, что в этой записи символ А обозначает матрицу А = ра!г~~ (1 = 1, 2, ..., т; у = 1, 2, ..., п), а символы Х и В обозначают столбцы (или векторы) вида ь! Ьэ х! хг первый из которых подлежит определению, а второй — задан.

') См. формулу (3.6) из предыдущей главы. 4 Лппейпап алгебра Итак, как и в случае вещественного евклидова пространства, координаты произвольного элемента х относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого элгмгита на соответствующие базисные элементы. В полной аналогии с доказательством теоремы 4.4 устанавливается, что всг комплексныг гвклидовы пространства одной и той жг размерности п изоморфны между собой. (гл.

4 98 евклидовы пжэстглнстВА Будем рассматривать случай, когда значения элементов матрицы А и столбца свободных членов В заданы нам лишь приближенно '). Тогда естественно говорить лишь о приближенных значениях искомого столбца Х. Изложенные в предыдущей главе и основанные на формулах Крамера алгоритмы вычисления столбца решений Х в этом случае могут приводить к большим погрешностям и теряют практический смысл -) . В этом параграфе мы изложим принадлежащий А.Н. Тихонову алгоритм, позволяющий находить так называемое нормальное (т.е.

наиболее близкое к началу координат) решение Х с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы А и столбца В з). Введем в рассмотрение так называемые сферические нормы столбцов В и Х и матрицы А, положив их равными !1В1! = 2' Ьз, 1!Х11 = /~~ хЯ, 11А11 = 2' 2' оз . (4 27) 1! г=! 1) э=! »=! у=! Заметим, что нормы столбцов В и Х определяются как обычные нормы векторов элементов пространств Е™ и соответственно Е". Норма матрицы А согласована с нормой и-мерного столбца Х в том смысле, что норма т-мерного столбца АХ, равного произведению матрицы А на столбец Х, удовлетворяет условию 4) 11А Х11 < 11 А 11 11Х11.

(4.28) Будем считать, что вместо точных значений элементов матрицы А = = 11а«11 и столбца правых частей В = 115! 11 нам заданы приближенные значениЯ А = 11аэ)11, В = 11Ьэ)11. ') Такая ситуация будет иметь место в случае, если эти значения получаются из физических измерений или если в процессе вычислений приходится округлять указанные значения до некоторого знака. ) Особенно это относится к случаю так называемых «плохо обусловленных» матриц (для которых «малые» изменения элементов матрицы базисного минора ведут к «большим» изменениям элементов обратной матрицы).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
20,4 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее