В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 21
Текст из файла (страница 21)
-1- лпрп. (4.!6) Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1' — 3' проверяется совершенно элементарно. Справедливость аксиомы 4' вытекает из соотношения (Х, Х) = У1У1 + Х2т2+ ... + МпЛп = 1Л1~ + ~1т2~ + ° + 1тп~ Стало быть, пространство А", со скалярным произведением (4.16) является комплексным евклидовым пространством. Пример 3.
В том же самом комплексном линейном пространстве А"„можно ввести скалярное произведение не соотношением (4.16), 95 кОмплекснОе евклидОВО ПРОстпанство а более общим соотношением ') и и (х, у) = 2 2 а!ах!да, (4. 17) «=! !«=! в котором ~йа,ь~й' -- произвольная матрица, состоящая из комплексных чисел аоы удовлетворяющих условию а;ь = аы, такая, что квадратичи и ная форма 2 2 а!ах!ха для всех комплексных х1, хю..., хи при«=! !«=! нимает вещественные неотрицательные значения и обращается в нуль лишь при условии )х!!а + !хт(а + ...
+ )х„(а = О. Предоставляем читателю проверку того, что так определенное скалярное произведение удовлетворяет аксиомам 1' — 4'. 2. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие нормы. Докажем, что для любых двух элементов х и у произвольного комплексного евклидова пространства справедливо неравенство Коши — Буняковского ) ((х, у)~ < (х,х)(у, у). (4.18) На основании аксиомы 4' для любого комплексного числа Л справедливо неравенство (4.19) (Лх — у, Лх — у) > О. Так как в силу аксиом 1'-3' и их логических следствий (Лх — у, Лх — у) = ЛЛ(х,х) — Л(х, у) — Л(у,х) + (у, у) = = !Л!Е(х, х) — Л(х, у) — Л (х, у) + (у, у), то неравенство (4.!9) принимает вид )Л/~(х, х) — Л(х, у) — Л (х, у) + (у, у) > О.
(4.20) Обозначим через р аргумент комплексного числа (х, у) и представим это число в тригонометричеекой форме ) (х, у) = !(х, у)!(соя !э -1- «я1п 7«). (4.21) Положим теперь комплексное число Л равным Л = 1(сов!р — 4з1п !р), (4.22) ')(4.17) переходит в (4.16), когда матрица !!а,ь!! является единичной. !) Поскольку (х, у) является, вообще говоря, комплексным числом, то нельзя записывать неравенство Коши †Буняковско в виде (4.6) з) Понятия аргумента к тригонометрической формы комплексного числа разбираются, например, в З 1 гл,7 выпуска «Основы математического анализа», часть !.
(гл. 4 96 евклидОВЫ пРостРАнстВА где 1 — произвольное веи1ественное число. Из соотношений (4.21) и (4.22) очевидно, что (Л! = !т(, Л(х, у) = Л (х, у) = т!(х, у)). Поэтому при выбранном нами Л неравенство (4.20) переходит в неравенство гэ(х, х) — 21/(х, у)/ + (у, у) > О, (4.23) справедливое при любом вещественном !. Необходимым и достаточным условием неотрицательности квадратного трехчлена, стоящего в левой части (4.23), является неположнтельность его дискримннанта, т.е. неравенство !(х, у)!~ — (х, х)(у, у) < О, эквивалентное неравенству (4.18). С помощью неравенства Коши-Буняковского (4.18) и рассуждений, полностью аналогичных доказательству теоремы 4.2, устанавливается, что всякое комплексное евклидова пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента х определить соотношением !!х(! = Аьь(х,х).
(4.24) В частности, во всяком комплексном евклидовом пространстве с нормой, определяемой соотношением (4.24), справедливо неравенство треугольника !)х+ у)! < ~~х~~ + ~~у~~ Замечание. Подчеркнем, что введенное для вещественного евклидова пространства понятие угла у между двумя произвольными элементами х и у теряет смысл для комплексного евклидова пространства (вследствне того, что скалярное произведение (х, у) является, вообще говоря, комплексным числом). 3.
Ортонормированный базис и его свойства. Элементы х и у произвольного комплексного евклидова пространства будем называть ортогональными, если скалярное произведение (х, у) этих элементов равно нулю. Ортонормированным базисом и-мерного комплексного евклидова пространства назовем совокупность его элементов еы ею ..., е„, удовлетворяющих соотношениям 11 при ь=к, (4.25) (т.е. попарно ортогональных и имеющих нормы, равные единице). Как и в п. 1 92, доказывается, что эти элементы линейно независимы и потому образуют базис.
В полной аналогии с доказательством теоремы 4.3 (т. е. с помощью процесса ортогонализации) устанавливается существование в произвольном п-мерном комплексном евклидовом пространстве ортонормированного базиса. Выразим скалярное произведение двух произвольных элементов х и у и-мерного комплексного евклидова пространства через их координаты ки хя,.,., х„ и уи ую ..., у„ относительно ортонормированного базиса еп ею.,., е„.
97 МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ Так как х = т!е! + хзез + ... + хпеп, У У!е! + Узез + ° + Уиеп то в силу аксиом 1' — 4' и соотношений (4.25) получим и п п п (х, у) = ( 2 хаен 2 уьеь) = 2 2 х!Яь(е!, еь) = и=! А=! ь=! ь=! = х! у! + хзуа + ... + хпуп. Выразим далее координаты х!, хш ..,, хп произвольного элемента х относительно ортонормированного базиса е!, еа,..., еп. Умножая разложение этого элемента по базису х = х!е! + хзез + ... ... + хпеп скалярно на еь и пользуясь соотношениями (4.25), получим (для любого (ч равного 1, 2,...,п) / и п (х, еь) = 1 2 хьеь, еь) = 2 х,(е„ еь) = хю ь=! *'=! ф 4.
Метод регуляризации для отыскания нормального решения линейной системы Снова возвратимся к рассмотрению общей линейной системы т уравнений с и неизвестными вида (3.1). Эту систему кратко запишем в матричной форме ') АХ=В. (4.26) Напомним, что в этой записи символ А обозначает матрицу А = ра!г~~ (1 = 1, 2, ..., т; у = 1, 2, ..., п), а символы Х и В обозначают столбцы (или векторы) вида ь! Ьэ х! хг первый из которых подлежит определению, а второй — задан.
') См. формулу (3.6) из предыдущей главы. 4 Лппейпап алгебра Итак, как и в случае вещественного евклидова пространства, координаты произвольного элемента х относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого элгмгита на соответствующие базисные элементы. В полной аналогии с доказательством теоремы 4.4 устанавливается, что всг комплексныг гвклидовы пространства одной и той жг размерности п изоморфны между собой. (гл.
4 98 евклидовы пжэстглнстВА Будем рассматривать случай, когда значения элементов матрицы А и столбца свободных членов В заданы нам лишь приближенно '). Тогда естественно говорить лишь о приближенных значениях искомого столбца Х. Изложенные в предыдущей главе и основанные на формулах Крамера алгоритмы вычисления столбца решений Х в этом случае могут приводить к большим погрешностям и теряют практический смысл -) . В этом параграфе мы изложим принадлежащий А.Н. Тихонову алгоритм, позволяющий находить так называемое нормальное (т.е.
наиболее близкое к началу координат) решение Х с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы А и столбца В з). Введем в рассмотрение так называемые сферические нормы столбцов В и Х и матрицы А, положив их равными !1В1! = 2' Ьз, 1!Х11 = /~~ хЯ, 11А11 = 2' 2' оз . (4 27) 1! г=! 1) э=! »=! у=! Заметим, что нормы столбцов В и Х определяются как обычные нормы векторов элементов пространств Е™ и соответственно Е". Норма матрицы А согласована с нормой и-мерного столбца Х в том смысле, что норма т-мерного столбца АХ, равного произведению матрицы А на столбец Х, удовлетворяет условию 4) 11А Х11 < 11 А 11 11Х11.
(4.28) Будем считать, что вместо точных значений элементов матрицы А = = 11а«11 и столбца правых частей В = 115! 11 нам заданы приближенные значениЯ А = 11аэ)11, В = 11Ьэ)11. ') Такая ситуация будет иметь место в случае, если эти значения получаются из физических измерений или если в процессе вычислений приходится округлять указанные значения до некоторого знака. ) Особенно это относится к случаю так называемых «плохо обусловленных» матриц (для которых «малые» изменения элементов матрицы базисного минора ведут к «большим» изменениям элементов обратной матрицы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
