В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Отсюда следует, что А(Л~х~ + + Лзхв + ...+ Лрхр) = О. Так как А действует из 1'~ в пи А взаимно однозначно, то из последнего равенства получаем Л~х~ + Лзхз + ... + Лрхр: О. Но хи хщ..., хр — базис в Ь'и Поэтому Л~ = Лз = ... = Лр — — О. Выше указывалось, что не все Лн Лщ.,., Лр равны нулю. Следователь- ') Чтобы убедиться в этом, выберем в И такой базис еп еп ..., е„, что первые г векторов еи ез, ..., е, образуют базис в нег А, тогда линейная оболочка векторов е рн ...,е представляет собой р1 (см подробнее гл 4) ) По аналогии с линейными операторами, действуюятими взаимно однозначно из И в И, можно ввести понятие линейного оператора А, действующего взаимно однозначно из линейного пространства И в линейное пространство Иг.
Эти операторы характеризуются тем, что различным элементам х~ и хя пространства 1l отвечают различные элементы у~ =- Ах~ и у„ = Ах. пространства Иг. Таким свойством обладает рассматриваемый оператор А, действующий из пространства р) в пространство йп А. Действительно, если х~ Е К~, ха Е Ъ'и хя — х~ ф О, то хя — х~ Е Ъ), и поэтому Ахз ф Ах~ (Ах~ Е пи А, Ахя Е пи А, ибо если бы Ахт = Ахп то А(х — х~) = О, т.
е. хя — х~ Е йегА, что противоречило бы принадлежности ха — х~ Е 14 и условию хз — х~ Ф 0 ($'~ и кегА составляют прямую сумму и поэтому имеют общим лишь нулевой элемент). 511 ПОНЯТИЕ ЛИНЕИНОГО ОПЕРАТОРА но, предположение р > у ведет к противоречию. Таким образом, р = у. Теорема доказана. Имеет место также следующая теорема, в определенном отношении обратная теореме 5.1.
Теорема 5.2. Пусть р) и Ъв — два таких надпространства и-мерного пространства $', что ойгп )л1 + д1гп )лз = ойпт К Тогда существует такой линвйньш оператор А из ЦЪ', 1'), что 1'1 = 1псА и )га = 1сегА. Доказательство. Пусть д1пс)л1 = р, ойпт1з = у. Выберем в пространстве И базис ен ез, ..., е„так, чтобы элементы ержп ерша, ... ..., е„принадлежали )лз. Далее в пространстве 1ч выберем некоторый базис дн Кз," ° Кр Определим теперь значения линейного оператора А на базисных векторах ен еш..., е„пространства р" следующим образом: Ае~ = ан Аез = нш ..., Аер — — пр, Аерч.1 = О, Аер.,з = О,..., Ае„= О. Далее, если х = х1е~ + хает + ...+ хрер + хрт~ерт~ + ...+ х„е„, то Ах = х1м1+ хзмв + ... + хрмр.
Очевидно, оператор А линейный и обладает требуемыми свойствами. Теорема доказана. Введем понятие ранга линейного оператора А. Назовем рангом линейного оператора А число, обозначаемое символом гвпя А и равное гапяА = с1пп (ппА). Отметим следующее очевидное следствие из теоремы 5.1 и из замечания 2 этого пункта. Следствие из теоремы 5.1. Для того чтобы оператор А из Т,()л, И) имел обратный А ', необходимо и достаточно, чтобы ганя А = с1пп 1' = п.
Пусть А и В линейные операторы из Ц)', И). Справедлива следующая теорема. Теорема 5.3. Имеют место следующие соотношения: гапиАВ < гапаА, гапдАВ < гапеВ. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала первое из отмеченных соотношений. Очевидно, ппАВ С ппА '). Поэтому ойш(ппАВ) < < дпп (1пгА), т. е, гапкАВ < ганя А. Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующим очевидным включением з): 1согВ С нег АВ. Из этого включения следует, что с1пи (1сег В) < ейпт (1сег АВ). Из последнего неравенства, в свою очередь, следует неравенство с1пп И вЂ” с1пп(1сегАВ) < дпп И вЂ” с1пп(1сегВ), а из него, согласно тео- ') Символ С здесь и в дальнейшем обозначает включение, т е.
запись А С С В обозначает, что А является подмножеством В. з) Так как АВ и ВА различные, вообще говоря, операторы, то включение ппАВ С 1шВ может не иметь места, и поэтому для доказательства второго соотношения гапКАВ < гапКВ требуются специальные рассуждения. линеиные Оперлторы (гл. 5 реме 5.1, получаем йш (цп АВ)< д!гп (пи В), т.
е. гап8 АВ < гап8 В. Теорема доказана. Докажем еще одну теорему о рангах линейных операторов. Теорема 5.4. Пусть А и  — линейные операторы из Е()г, Ъ') и и — размерность К Тогда гап8АВ > гап8А+ гап8 — г!. Доказательство. Согласно теореме 5.1 йш (пп АВ) + йш (нег АВ) = и. Так как гап8АВ = йп! (пиАВ), то из (5.5) получаем гапдАВ = п — йгп(йегАВ). Поскольку, согласно теореме 5.1, йщ (йегА) + йщ (йегВ) = 2п — (гапаА+ гапйВ), (5.7) (5.6) то для доказательства теоремы достаточно установить неравенство йш (нег АВ) < йш ()сер А) + йга (кегВ). (5.8) Действительно, из этого неравенства и из соотношения (5.6) следует неравенство гана АВ > п — (йга ()гег А) + с1пп (нег В)), из которого, согласно (5.7), сразу же вытекает справедливость утверждения теоремы. Итак, перейдем к обоснованию неравенства (5.8). Пусть йш (йег В) = д. (5.9) Согласно теореме 5.3 йп! ()гегАВ) > д.
Поэтому справедливо соотношение йш (йег АВ) = р+ о, где р > О. (5.10) Из этих неравенств получим, что гап8АВ = гап8В. Аналогично дока- зывается соотношение гап8ВА = гап8В. Так как 1сегВ С 1сегАВ, то в подпространстве 1гегАВ можно выбрать базис х!,хз,...,хргз так, что элементы хрь!, ...,хрэя образуют базис в кегВ. При таком выборе х!,хз,...,хрья элементы Вх!, Вхз,..., Вхр линейно независимы (если линейная комбинация р !г р ~ ЛьВхь = О, то В'( ~ Льхь) = О, т.е. 2 Льхь с йегВ, а это ь=! ь=! ь=! может быть, в силу выбора х!, ха, ..,, хр, лишь при Ль = О, и = 1, 2,...
..., р). !1оэтому элементы Вх!, Вхз,.,., Вхр принадлежат нег А, т.е. р < йпт(!гегА). Из этого неравенства и соотношений (5.9) и (5.!О) вытекает требуемое неравенство (5.8). Теорема доказана. Следствие из теорем 5.3 и 5.4. Если гаг!8А = и (и — размерность И), то гап8 АВ = гап8 ВА = гапй В. Указанное следствие вытекает из неравенств гапдАВ < гана В (теорема 5.3), сапа АВ > гана В (теорема 5.4 при гаг!8А = и). 42) млтРичнля злпись лииеиных ОпеРлтОРОВ ф 2. Матричная запись линейных операторов х=2 х ей й=! (5.1 1) разложение х по данному базису.
Пусть А — линейный оператор из Е(1г, Ъ'). Тогда из (5.11) полу- чаем Ах = 'з х" Аей. й=! (5.12) Полагая Аей = 2 а'ейи 1=! (5.13) перепишем (5.12) в следующей форме: и и и / и Ах= 2 х" 2 азйе = 2 1 2 аэйх" е.. й=! у=! т=! й=! Таким образом, если у = Ах и элемент у имеет координаты у', уз,..., у", то уз = ') азйхй, у = 1, 2,..., и.
й=! Рассмотрим квадратную матрицу А с элементами а': А = (азй). Эта матрица называемся матрицей линейного оператора в заданном базисе е!, ез,..., еи. Наряду с ранее указанным способом записи линейного оператора используется при заданном базисе е!, ез, ..., еи матричная форма записи: у = Ах, причем, если х = (х', х'-', ..., хи), то у = (у', уз, ... ..., уи), где у', ! = 1, 2, ..., п, определяются с помощью соотношений (5.14), а элементы а' матрицы А вычисляются по формулам (5.!3). 3 а м е ч а н и е 1. Если оператор А нулевой, то все элементы матрицы А этого оператора равны нулю в любом базисе, т. е. А нулевая матрица.
Замечание 2. Если оператор А единичный, т.е. А = 1, то матрица этого оператора будет единичной в любом базисе. Иными словами, в этом случае А = Е, где Е единичная матрица. В дальнейшем единичную матрицу мы будем обозначать также символом Е 1. Матрицы линейных операторов в заданном базисе линейного пространства И. Фиксируем в линейном пространстве И базис е!, ез, ..., еи. Пусть х — произвольный элемент Ь' и (гл. 5 112 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ Мы выяснили, что каждому линейному оператору А из ВЯ, 'Р') при заданном базисе линейного пространства Р' отвечает матрица А этого оператора.
Естественно, возникает обратный вопрос — каждой ли данной матрице А при заданном базисе в Гг можно поставить в соответствие линейный оператор А, матрицей которого будет данная матрица. Важно также выяснить вопрос о единственности матрицы линейного оператора в заданном базисе. Справедливо следующее утверждение. Теорема 5.5. Пусть в линейном пространстве ~' задан базис еи ез, ..., е„, и пусть А = (а',,) — квадратная матрица, содержагцая и строк и и столбцов. Существует единственный линейный оператор А, матрицей которого в заданном базисе является матрица А. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Докажем сначала существование оператора А. Для этой цели определим значения Аеь этого оператора на базисных векторах еь с помощью соотношения (5.13), полагая в этом соотношении а„' равными соответствующим элементам заданной матрицы А. Значение оператора А на произвольном векторе х Е 1', разложение которого по базисным векторам еи ез,..., е„дается формулой (5.11), определим по формуле (5.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
