В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Очевидно, построенный оператор линейный и матрицей этого оператора является матрица А. Единственность оператора А, матрицей которого в базисе еи ез, ... ...,е„ является матрица А, следует из соотношений (5.13): с помощью этих соотношений единственным образом определяются значения оператора на базисных векторах. 3 а м е ч а н и е 3. Пусть А и  — квадратные матрицы порядка п, А и  — отвечающие им линейные операторы в заданном базисе (еь) пространства К Из доказательства теоремы 5.5 следует, что матрице А + ЛВ, где Л вЂ” некоторое число, отвечает линейный оператор А + ЛВ (напомним, что А, В и А+ ЛВ принадлежат Ь(Ъ', Ъ')).
Докажем следующую теорему. Теорема 5.6. Ранг линейного оператора А равен рангу матрицы А этого оператора: гапя А = гапя А. Доказательство. По определению гапцА = д1ш(1гпА), а ппА — линейная оболочка векторов 5ь: (5.15) (см. матричную форму записи оператора и определение пи А). Поэтому гапц А равен максимальному числу линейно независимых вектоРов 5ь. Так как вектоРы ен ез,..., е„, линейно независимы, то, согласно (5.15), максимальное число линейно независимых вектоРов 5ь совпадает с максимальным числом линейно независимых стРок (а', аз„,..., а"„) матрицы А, т.е. с рангом А. Теорема доказана. Г!усть А и  — произвольные квадратные матрицы, содержащие п строк и п столбцов. Из теорем 5.3-5.6 вытекают следующие следствия.
й2) млтяичнля злпись динкиных Опеялтогов Следствие 1. Ранг гапяАВ произведения А н В удовлетворяет соотношениям гапнАВ < гапнА, гапнАВ < гапдВ, гапнАВ > гапнА+ ганн  — п. Следствие 2. Обратный оператор А ' для оператора А существует только тогда, когда ранг матрицы А оператора А равен и (и = дйш )л).
Отметим, что в этом случае существует также и обратная матрица А ' для матрицы А. 2. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Пусть 1' — линейное пространство, А — линейный оператор из Ц$', )л), е!, ею ..., е„ и е!,ел,...,е„, — два базиса в )л и еь=)'и,',ел, !г=!,2,...,п (5.16) г=! — формулы перехода от базиса (е!) к базису (еь). Обозначим через В матрицу (и'): и=( '„). (5. 17) Отметим, что тапа У = п.
Пусть А = (ал) н А = (а„') (5.18) — матрицы оператора А в указанных базисах. Найдем связь между этими матрицами. Справедливо следующее утверждение. Теорема 5.7. Матрицьл А и А оператора А в базисах (еь) и (ел) соответственно связаны соотношением А=В 'АВ, где (л' ' — обратная матрииа ') для матрицы К опреде,генной равенством (5.17). Доказательство, Обращаясь к понятию матрицы линейного оператора, получим, согласно (5.18), Аеь = 2 ' авен л=! Аел = 2 ' аье!.
(5.19) и и и Аел=А~ ~ !лье;~, Ась=2 ал,2 иле. л=! г=! Поэтому справедливо равенство 2 и'„Аег = 2 (2'а'„и', е, а=! ') Так как ганя !l = и, то обратная матрица В ' матрицы В существует. Из определения линейного оператора, из формул (5.1б) и второй из формул (5.19) следуют соотношения (гл. 5 114 линейные Опеилтопы Подставляя в левую часть этого равенства выражение Ае, по первой из формул (5.19), найдем иьаз е = 2 2 аьиз еу. Так как (е,) — базис, то из последнего соотношения вытекают равенства и и "~'и~аз=")'а~и~, ~,й=1,2,...,и.
(5.20) Если обратиться к матрицам А, А и (I (см. (5.17) и (5.!8)), то соотношения (5.20) будут эквивалентны следующему матричному равенству: (7А = А(7. Умножая обе части этого равенства слева на матрицу (7 ', получим требуемое соотношение А = (/ ' А(7. Теорема доказана. Замечание !. Обратимся к формуле А = !7 'А(7. Умножая обе части этого матричного равенства слева на матрицу (/ и справа на (7 получим соотношение А = (УА(7 (5.21) представляющее собой другую форму связи между матрицами А и А линейного оператора А в разных базисах. 3 а м е ч а н и е 2. Пусть А и В квадратные матрицы порядка и, А и  — отвечающие им линейные операторы в заданном базисе (еь). Как уже отмечалось (см.
замечание 3 предыдущего пункта), матрице А+ ЛВ отвечает линейный оператор А+ ЛВ. Выясним вид матрицы этого оператора в базисе (еь). Пусть А и  — матрицы операторов А и В в базисе (еь). Тогда, согласно (5.21), имеем А=ПАВ ', В=(7В(7 (5.22) Матрица линейного оператора А + ЛВ в базисе (еь) имеет, согласно (5.21), следующий вид: В(А+ ЛВ)(У '. Используя распределительное свойство умножения матриц, перепишем последнюю формулу следующим образом (напомним, что эта формула представляет собой матрицу линейного оператора А+ ЛВ в базисе (еь): (7А(7 ' + Л((7В(7 ').
Обращаясь к соотношениям (5.22), видим, что матрица оператора А+ ЛВ в базисе (еь) записывается следующим образом: А+ ЛВ. В частности, если  — единичная матрица, В = 7, то В = 1 (см. замечание 2 предыдущего пункта и теорему 5.5) и поэтому матрица линейного оператора А+ Л1 в базисе (еь) имеет вид А+ ЛЕ Следствие из теоремы 5.7. г)е1,А = г)е!А. э2) СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ !15 В самом деле, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то из равенства А = (7 ' А(7 следует, что с1еФ А = деФ(7 ' деФ А с)еФ с!.
(5.23) Поскольку деФ (Т ' деФ (Т = 1, то из соотношения (5.23) получаем равен- ство деФ А = деФ А. Таким образом, определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. Поэтому можно ввести понятие определителя деФ А линейного оператора А, полагая деФ А = деФ А, (5.24) где А — матрица линейного оператора А в любом базисе. 3. Характеристический многочлен линейного оператора. Пусть А — линейный оператор, а 1 тождественный оператор из 7(Ф', Фс). Определение.
Многочлен относительно Л с)еФ(А — Л?) (5.25) называется характеристическим мпогочленом оператора А. Пусть в пространстве Фс задан базис (еь) и А = (а'„) — матрица оператора А в этом базисе. Тогда, согласно (5.24), характеристический многочлен (5.25) оператора А запишется следующим образом: а1 — Л а! 1 с)ВФ (А ЛТ) аз аз — Л ар аз (5.2б) Запишелс характеристический многочлен (5.25), обозначая через дь коэффициент при Л я с1еФ(А — Л1) = 2 дьЛ". и=о (5.27) !г А = а! + аз + ...
+ а,", Замечание 2. Уравнение деФ (А — Л1) = О (5.29) называется характеристическим уравнением оператора А. Замечание 1. Так как значение определителя деФ(А — Л1) не зависит от выбора базиса, то коэффициенты дь характеристического миогочлена в правой части (5.27) также не зависят от выбора базиса. Таким образом, козффиЧигпты дь характеристического многочлгна оператора А представляют собой инвариантьс — величины, значения которых не зависят от выбора базиса. В частности, коэффициент д„! равный, очевидно, а', + аз~+ ... ...
+ а„", является инвариантом. Этот инвариант называется следом оператора А и обозначается символом ФгА (от английского слова !гасе — след): (5.28) (гл. 5 линеиные Опенлтогы 8 3. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов Пусть Г| — подпространство п-мерного линейного пространства Ъ' и А — линейный оператор из й(Ъ', 1г).
Определение 1. Пространство Ъ'| называется инвариантным нодпространством оператора А, если для каждого х, принадлежа|цего 1'|, элемент Ах также принадлежит Ъ'ы Примерами инвариантных подпространств оператора А могут служить нег А и ни А. Определение 2. Число Л называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой вектор х такой, что Ах = Лх. (5.30) При этом вектор х называется собственным вектором оператора А, отвечающим сооственному значению Л. Справедливо следующее утверждение. Теорема 5.8. Для того чтобы число Л было собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристи |еского уравнения (5.29) оператора А. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть Л вЂ” собственное значение оператора А и х — собственный вектор, отвечающий этому Л (х ~ 0). Перепишем соотношение (5.30) в следующей форме: (А — Л1)х = О. Так как х — ненулевой вектор, то из последнего равенства следует, что кег (А — Л1) ф О, т. е. йп| (кег (А — Л1)) ) 1. (5.31) Поскольку, согласно теореме 5.1, йш (нп (А — Л1)) + йгп (йег (А — Л1)) = и, то из этого равенства и неравенства (5,31) получаем (5.32) й|и (цп (А — Л1) ) < и — 1. По определению, йш (нп (А — Л1)) равняется рангу оператора А — Л1. Поэтому из неравенства (5.32) следует: (5.33) гагш(А — Л1) < п. Таким образом, если Л вЂ” собственное значение, то ранг матрицы А — Л1 оператора А — Л1 меньше и, т.е, дет(А — Л1) = 0 и, следовательно, Л вЂ” корень характеристического уравнения.
Пусть теперь Л вЂ” корень характеристического уравнения (5.29). Тогда справедливо неравенство (5.32), а следовательно, и неравенство (5.31), из которого вытекает существование для числа Л такого ненулевого вектора х, что (А — Л1)х = О. Последнее соотношение йз) СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ !17 эквивалентно соотношению (5.30).
Поэтому Л вЂ” собственное значение. Теорема доказана. Следствие. Каждый линейнььй оператор имеет собственное знамение, Действительно, характеристическое уравнение всегда имеет корень (в силу основной теоремы алгебры) Справедлива следующая теорема. Теорема 5.9. Для того чтобы матрица А линейного оператора А в данном базисе (еь) была диагональной '), необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы еь были собственными векторами этого оператора. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть базисные векторы еь являются собственными векторами оператора А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
