В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Поэтому (Ах, х) = (Аях, х) + 1(Атх, х), ') Мы использовали прн этом определение нормы элемента в комплексном евклидовом пространстве. ')Символ !пз(Ах,х) обозначает мнимую часть комплексного числа (Ах, х). Равенство 1т(Ах, х) = 0 означает, что число (Ах, х) является вещественным. 95) линейные слмосопРяженные ОпеРлтОРы !27 причем, согласно теореме 5.15, для любого х числа (А их, х) и (Атх, х) — вещественные. Следовательно, эти числа соответственно равны действительной и мнимой частям комплексного числа (Ах, х): Ве (Ах, х) = (Анх, х), 1т (Ах, х) = (Атх, х).
Допустим, что А — самосопряженный оператор. По теореме 5.15 в этом случае (Ах, х) — вещественное число, и поэтому 1щ (Ах, х) = О. Необходимость условия теоремы доказана. Докажем достаточность условия теоремы. Пусть 1гп (Ах, х) = (Атх, х) = О. Отсюда следует, что !!Ат!! = О, т. е. А! = О. Поэтому А = Ан, где Ан — самосопряженный оператор. Теорема доказана. В следующих утверждениях вьисняются некоторые свойства собственных значений самосопряженных операторов.
Лемма. Любое собственное значение Л произвольного линейного самосопряженного оператора А в евклидовом пространстве равно скалярному произведению (Ах, х), где х — неко!парий вектор, удовлегпворяющий условию !1х1! = 1: Л = (Ах, х), ()х)! = 1. (5.59) Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как Л собственное значение оператора А, то су!цествует такой ненулевой вектор я, что Ая = Ля. (5.60) Полагая х = я//!я!! (очевидно, !!х!! = 1), перепишем (5.60) следующим образом: Ах = Лх, !!х!! = 1.
Отсюда получаем соотношения (Ах, х) = Л(х, х) = Л!!х!!з = Л, т. е. (5.59) имеет место. Лемма доказана. Следствие. Пусть А — самосопряженный оператор и Л любое собственное значение этого опера!пора. Пусгпь далее т = 1пГ (Ах, х), М = зпр (Ах, х).
!!х!!=! !!х!!=1 (5.61) Справедливы следующие неравенс~пва: пт-Л-М. (5.62) Замечание 1. Так как скалярное произведение (Ах, х) представляет собой непрерывную функцию от х, то на замкнутом множестве !!х!! = 1 эта функция ограничена и достигает своих точных граней тп и М. Замечание 2. Согласно теореме 5.16 собственные значения самосопряженного оператора вещественны. Поэтому неравенства (5.62) имеют смысл. Доказательство следствия. Так как любое собственное значение Л удовлетворяет соотношению (5.59), то, очевидно, каждое собственное значение заключено между точными гранями т (гл.
5 128 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ и М скалярного произведения (Ах, х). Поэтому неравенства (5.62) справедливы. Мы докажем, что числа т и М, определенные соотношениями (5.61) являются соответственно наименьшим и наибольшим собственными значениями самосопряженного оператора А. Предварительно убедимся в справедливости следующего утверждения. Теорема 5.19. Пусть А — самосопряженный оператор и, кроме того, (Ах, х) > О для любого х.
Тогда норма (1А~~ равна наибольшему собственному значению этого оператора Доказательство. Мы уже отмечали (см. утверждение предыдущего пункта), что йАй = впрг„~~, )(Ах, х)). Так как (Ах, х) > О, то ()Ай = впр~~„~~,(Ах, х). Согласно замечанию 1 этого пункта для некоторого хо, ()хой = 1, (Ахо, хо) = ))А)! = Л. Обращаясь к определению нормы и используя только что написанные равенства, получим соотношения ) (((А — Л1)хо!)з = ((Ахо)Р 2Л(Ахо хо) + Лз!)хо(Р = = 'йАй~ — 2()А() 'йАй+ йАй~ 1 = О.
Таким образом, (А — Л1)хо = О, или, иначе, Ахо = Лхо, т.е. Л = = 'йАй — собственное значение оператора А. То, что Л вЂ” наибольшее собственное значение, вытекает из только что установленного следствия из леммы этого пункта. Теорема доказана.
Докажем теперь, что числа т и М (см. (5.61)) являются наименьшим и наибольшим собственными значениями самосопряженного оператора А. Теорема 5.20. Пусть А — самосопряженньш' оператор, а т и М вЂ” точные грани (Ах, х) на множестве йх~~ = 1. Эти числа представляют собой наименьшее и наибольшее собственнгле значения оператора А. Дока за тел ь ство. Очевидно, достаточно доказать, что числа гп и М вЂ” собственные значения оператора А. Тогда из неравенств (5.62) сразу же следует, что т, и М являются соответственно наименьшим и наибольшим собственными значениями.
Докажем сначала, что М вЂ” собственное значение. Для этого рассмотрим самосопряженный оператор В = А — гп1, Так как (Вх, х) = (Ах, х) — т(х, х) > О, ') Так как собственных значений конечное число и они вещественны, то из них можно указать наибольшее. ') Мы также воспользовались равенством ЗАхв ) = )А ), которое следует из соотношений йАй = (Ахщ хз) < йАхо()) и зАз = зир1„1, йАх(). й5) !29 линейные ОАмосопРяженные Оперлторы то оператор В удовлетворяет условиям теоремы 5.19, и поэтому норма !!В!! этого оператора равна наибольшему собственнолеу значению.
С другой стороны, !!В!! = зпр (Вх, х) = зпр (Ах, х) — т = 1И вЂ” т. 1!я!!=! !!л!!=! Таким образом, (М вЂ” гп) — наибольшее собственное значение оператора В. Следовательно, существует такой ненулевой вектор хб, что Вхб = (М вЂ” т)хю. (5.63) Так как В = А — га, то Вхо = Ахо — т1хо = Ахб — тхо. Подставляя это выражение Вхб в левую часть равенства (5,63), получим после несложных преобразований соотношение Ахо = Мхо. Таким образом, М вЂ” собственное значение оператора А.
Убедимся теперь, что число т также является собственным значением оператора А. Рассмотрим самосопряженный оператор В = — А. Очевидно, что — гп = зпр!!щ! г(Вх,х). Согласно только что проведенному доказательству число -гп представляет собой собственное значение оператора В.
Так как В = — А, то гп будет являться собственным значением оператора А. Теорема доказана. В следующей теореме выясняется важное свойство собственных векторов самосопряженного оператора. Теорема 5.21. У каждого самосопряженного линейного оператора А, действующего в п-мерном евклидовом пространстве 1", существует и, линейно независимых попарно ортогональных и единичных собственных векторов. Доказательство.
Пусть Л! — максимальное собственное значение оператора А (Л! = впр!!„!! г(Ах, х)). Обозначим через е! собственный вектор, отвечающий Л! и удовлетворяющий условию ((е!(! = = 1 (возможность его выбора следует из доказательства лемлеы это~о пункта). Обозначим через И! (п, — 1)-мерное подпространство пространства Ъ', ортогональное к е!.
Очевидно, И! — инвариантное надпространство оператора А (т.е. если х е Иг, то и Ах е Иг, Действительно, пусть х с 1г, (т.с. (х, о,) = 0). Тогда ') (Ах, е,) = (х, Ае!) = Лг(х, е!) = О. Следовательно, Ах — элемент Ъ'г, и поэтому \г! инвариантное подпространство оператора А. Это дает нам право рассматривать оператор А в подпространстве И!. В этом подпространстве А будет представлять собой самосопряженный оператор. Следовательно, имеется ')Мы использовали свойство самосопряженности оператора (Ах, е,) = = (х, Ае,) и то обстоятельство, что ег — собственный вектор оператора; Ае~ = Л~еь 5 Ляпейнал алгебра (гл. 5 1Зо ЛИНЕННЫЕ ОПЕРЛТОРЫ максимальное собственное значение Л2 этого оператора, которое можно найти с помощью соотношения ') Л2 = гпах (Ах, х).
!)х=! !!, хтв| Кроме того, можно указать такой вектор ез, е2 !ем (!е2!! = 1, что Аез = Лзез. Обращаясь далее к (и — 2)-мерному подпространству (г2, ортогональному векторам е~ и е2, и повторяя проведенные выше рассуждения, мы построим собственный вектор ез, !!ез!! = 1, ортогональный е! и е2. Рассуждая и далее таким же образом, мы последовательно найдем и взаимно ортогональных собственных векторов еп ез, ..., е„, удовлетворяющих условию !!ег!! = 1, 1 = 1, 2, ..., и. Замечание 1.
Договоримся в дальнейшем нумеровать собственные значения самосопряженного оператора в порядке убывания с учетом повторяющихся, т.е. кратных собственных значений. При этом Л~ > Л2 > ... > Л„н отвечающие им собственные векторы еы ез, ... ..., е„можно считать взаимно ортогональными и удовлетворяющими условию !!е,!! = 1. Таким образом, (1 при 1= 25 )(О при 1 ф у. Замечание 2. Из рассуждений в доказательстве теоремы следует (Ах, х) соотношение Л э1 = шах ' . Это соотношение можно также хдее (Х, Х) я=е 2...., ж (Ах, х) записать в виде Л э1 = гпах — — -' — —, где Š— линейная оболочка хек (х, х) ' векторов еп ез,..., ет. Справедливость замечания вытекает из того, что (х, х) = !!х!!2, и поэтому (Ах,х) х х причем норма элемента х/)(х!! равна 1.
Пусть 2.'. — множество всех т-мерных подпространств пространства )г. Справедливо следующее важное минимакеное свойство собственных значений. Теорема 5.22. Пусть А — еамоеопряженный оператор и Лы Л2, ..., ˄— его еобственпьге значения, занумерованные в порядке, указанном в замечании 1. Тогда Л 21 = ппп гпах (Ах, х) (5.64) (Х,х) Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть Е линейная оболочка собственных векторов еп ез, ..., е оператора А (см. замечание 1). ') Символ е1 Еез обозначает ортогональность векторов е| и ез. й5) линейные слмосопряженные ОпеРлтОРы В силу замечания 2 (Ах, х) и!ах ' = Л й1. йе (х, х) Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться в справедливости соотношения шах ' > и!ах ' =Л р! (Ах, х) (Ах, х) х.!.кеп,„(х, х) х.~.к (х, х) (5.65) г(1ш Е + 11нп Е й! = (и — т) + (гп + 1) = и + 1 > и. Это означает, в силу теоремы 2.9, что пересечение подпространств Е~ и Е й! содержит ненулевой элемент.
Итак, существует элемент х ш-1-1 такой, что х1 Е, ~~х~( = 1, х Е Е э1, т. е. х = 2 сйей. й=1 Так как ~~х~~ = ! и базис е1, ею..., е э! — оРтоноРмиРованный, то в силу теоремы Пифагора (см. п.2 ~1 гл.4) ше! ))х!) = 2 1сй! = 1. й=! (5.66) шэ1 ш-1-1 Имеем далее Ах = А 2' сйей = '! сйАей. Поскольку ей собй=! й=! ственные векторы оператора А, то из последних соотношений получаем шь1 Ах = 2 сйЛйей.
Отсюда и из ортонормированности ей следует спрай=! ведливость соотношения / ш-1-1 ш-1-! ш-~1 (Ах, х) = ~ 2 сйЛйей, 2 срер) = 2' ~сй)~Лй. (5.67) й=! р=! й=! Мы занумеровали собственные значения в порядке убывания с учетом возможной их кратности. Поэтому Л э! < Лй, й = 1, 2,..., т. Отсюда и из соотношений (5.67) и (5.66) получаем шь1 ш-1-1 (Ах, х) = ~ )сй(~Лй > Л э! ~ (сй)~ = Л для любого Е Е з.ш. Перейдем к доказательству соотношения (5.65). Обозначим символом Ез ортогональное дополнение подпространства Е (см.
п.З ~ 2 гл.4), Из теоремы 2.10 следует, что размерность Ей равна и — пм Следовательно, (гл. 5 132 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ (см. п. 3 Э 2 гл. 4), а так как Аей = Лйеы то с помощью (5.68) получаем Ах = 2 ' Лй(х, ей)ей. й=! (5.69) Оператор Рй, определяемый соотношением Рйх = (х, ей)ей, (5.70) называется проектором на одномерное подпространство, порожденное вектором ей. Из свойств скалярного произведения сразу же следует, что Рй самосопряженный линейный оператор. Отметим следующие важные свойства проекторов: 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
