В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Нетрудно видеть, что такое представление является единственным. Мы докажем следующую теорему о симметричных билинейных формах (эта теорема служит аналогом теоремы 5.25 об эрмитовых формах). Теорема 5.33. Для того чтобы билинейная форма В(х, у), заданная на всевозможных векторах х и у вещественного евклидова пространства Ъ', была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы линейный оператор А, фигурирующий в представлении (5.113), бгял самосоиряженнгям.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если А — самосопряженный оператор, то, используя свойства скалярного произведения, получим В(х, у) = (Ах, у) = (х, Ау) = (Ау, х) = В(у, х). Таким образом, выполняется соотношение (5.114), т.е. билинейная форма В(х, у) = (Ах, у) симметричная. (гл. 5 148 ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ с$с! (А — Л1) = О самосопряженного оператора А. Фиксируем в Ъ' какой-либо базис (еь) и обозначим через а,ь элементы матрицы оператора А в этом базисе (отметим, что а ь— вещественные числа). Будем искать ненулевое решение слсдуюшсй системы линейных однородных уравнений относительно С!, ~а, ..., С„: 2 ать~а = Л~зч 1 = 1, 2, ..., и, ь=! (5.1 !6) где Л = о + ч,З. Так как определитель системы (5.1!6) равен дех(А — Л1) (напомним, что определитель матрипы линейного преобразования не зависит от выбора базиса и, согласно (5.115), этот определитель равен нулю), то система (5.116) однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение Сь = ха + 4ую 1с = 1, 2, ..., и..
Если же форма В(х, у) = (Ах, у) симметричная, то справедливы соотношения (Ах, у) = В(х, у) = В(у, х) = (Ау, х). Следовательно, оператор А самосопряженный. Теорема доказана. Введем понятие матрицы линейного оператора А. Пусть е!, е!,... ..., ен — какой-либо базис в и-мерном вещественном линейном пространстве Ь. Положим Аеь = 2 к' аье!. !=! Тогда, как и в комплексном случае, нетрудно показать, что если х = 2 лчеь, то для компонент вектора у = Ах справедливо представь=! ление у' = 2 а'„х".
ь=! Матрица А = (аь) называется матрицей линейного оператора А в базисе (еь). Аналогично тому, как это было сделано в 8 2 настоящей главы, можно доказать, что величина бег А не зависит от выбора базиса и, тем самым, корректно вводится определитель де!А оператора А. Характеристическим уравнением, отвечающим оператору А, называется уравнение г!ет(А — Л1) = О, а многочлен, стоящий в левой части этого уравнения, называется характеристическим многочлвном оператора А.
Докажем теперь теорему о корнях характеристического многочлена самосопряженного оператора в вещественном евклидовом пространстве. Теорема 5.34. Всг корни характеристического многочлена само- сопряженного линейного оператора А в евклидовом пространстве вещественны. Доказательство. Пусть Л = о + з,9 — корень характеристического уравнения (5.1! 5) й9) !49 линейные опеглтогы Подставляя это решение в правую и левую части системы (5.1!б), учитывая при этом, что Л = о + !д, и отделяя затем вещественную и мнимую части полученных соотношений, найдем, что наборы (хы хз,..., х ) и (ун уз,..., у„) вещественных чисел ') удовлетворяют следующей системе уравнений: а,ьхь =- ох, — ду,, ь=о (5.117) а,куй = ау, — ' дх,, У =- 1, 2,..., п.
ь=! Рассмотрим в данном базисе еы ем ..., е„векторы х и у с координатами хн хз, ..., х„и уы уз, ..., у„соответственно. Тогда соотношения (5.11?) можно переписать в виде Ах = ох — ду, Ау = ау+ фх. Умножнм первое из полученных соотношений скалярно на у, а второе на х. Очевидно, получим равенства (Ах, у) = о(х, у) — д(у, у), (х, Ау) = о(х, у) + р(х, х). (5.1 18) Так как оператор А самосопряженный, то (Ах, у) = (х, Ау). Поэтому путем вычитания соотношений (5.1!8) получим равенство )7[(х, х) + (у, у)) = О. Но (х,х) + (у, у) ~ О (если (х,х) + (у, у) = О, то хь = О и уь = О, к = 1, 2,..., и; следовательно, решение сь = хь + !ул было бы нулевыы, тогда как по построению это решение ненулевое).
Поэтому р = О, а так как д мнимая часть корня Л = о + Ц характеристического уравнения (5.115), то, очевидно, Л -- вещественное число. Теорема доказана. Как и в комплексном случае, для самосопряженного оператора справедливо утверждение о существовании ортонормированного базиса, состоящего нз собственных векторов этого оператора (аналог теоремы 5.21). Докажем это утверждение. Теорема 5.35.
У каждого самосопряжвнного линейного оператора А, действующего в и-мерном вещественном евклидовом пространстве ~', существует ортонормированный базис из собственных векторов. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Л ~ — вещественное собственное значение оператора А, а е! — единичный собственный вектор, отвечающий этому собственному значению ((~е1(~ = 1). Обозначим через 1:1 (и — 1)-мерное подпространство пространства $', ортогональное к ею Очевидно, 1ч — инвариантное подпространство пространства !г (т.е. если х е Уи то Ах е 1:1). Дей- ') Напомним, что не зсе этн числа равны нулю.
(гл. 5 150 линеЙные ОпеРлтОРы ствительно, пусть х Е 'РИ тогда (х, е|) = О. Поскольку оператор А самосопряженный и Л1 — собственное значение А, получим (Ах, е1) = =- (х, Ае1) = Л1(х, е1) = О. Следовательно, Ах е Ъ'и и поэтому Ъ'1 — инвариантное подпространство оператора А. Поэтому мы можем рассматривать оператор А в подпространстве $'~. Ясно, что в Рт оператор А будет самосопряженным.
По теореме 5.34 у оператора А, действующего в 11, имеется вещественное собственное значение Ла, которому отвечает собственный вектоР ез Е Ъ) опеРатоРа А, УдовлетвоРЯющий Условию 5ез5 = !. Обращаясь далее к (и — 2)-мерному подпространству Ъ~, ортогональному векторам е| и ею и повторяя только что описанные рассуждения, мы построим собственный вектор ез оператора А, ортогональный векторам е~ и ез и удовлетворяющий условию ~~ез~~ = 1. Рассуждая и дальше таким же образом, мы в результате найдем и взаимно ортогональиых собственных векторов ен ею..., е„оператора А, удовлетворяющих условию 5еь5 = 1, й = 1, 2,..., и. Очевидно, векторы (еь) образуют базис в К Теорема доказана.
3 а м е ч а н и е, Пусть еи ею..., е„— ортонормированный базис в а-мерном евклидовом пространстве 1', состоящий из собственных векторов самосопряженного оператора А, т. е. Аеь = Льею Тогда матрица оператора А в базисе (еь) является диагональной, причем диагональные элементы имеют вид а,„ = Лю ь Отметим, что если (еь) — произвольный ортонормированный базис в вещественном евклидовом пространстве Ъ', то матрица самосопряженного оператора А будет симметричной, т.е. А' = А. Верно и обратное утверждение, т.е. если в некотором ортонормированном базисе (еь) матрица оператора является симметричной, то оператор А— самосопряженный. Этим вещественный случай отличается от комплексного, поскольку в комплексном случае оператор А является самосопряженным тогда и только тогда, когда матрица А этого оператора в ортонормированном базисе является эрмитовой, т.е. элементы а' матрицы А удовлетворяют условию а'„= а," (черта означает комплексное сопряжение).
Указанное утверждение непосредственно следует из того, что если (и'„) — матрица оператора А, то матрица сопряженного оператора в вещественном случае равна (а~), а в комплексном случае — (ай), что легко проверяется прямым вычислением. 2. Ортогоиальные операторы. В комплексном евклидовом пространстве важную роль играют унитарные операторы, введенные в 2 7. Аналогом унитарных операторов в вещественном евклидовом пространстве являются ортогональные операторы.
Определение 1. Линейный оператор Р, действующий в вещественном евклидовом пространстве Ъ', называется ортогональным, если для любых х и у из Ъ' выполняется равенство (Рх, Ру) = (х, у). (5.119) !5! 99) линеиные опеглтогы Таким образом, ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение. Отсюда непосредственно следует, что если е!, еа,..., е„— ортонормированный базис евклидова пространства 1г, то Ре!, Реэ,... ..., Ре„ также является ортонормированным базисом. В дальнейшем условие (5.1!9) будем называть условием ортогональности оператора Р.
Справедливо следующее утверждение. Теорема 5.36. Для того чтоб!я линейный оператор Р бьгл ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор Р ' и было выполнено равенство Р" =Р (5. 120) где Р* — оператор, сопряженный к Р, а Р ' — оператор, обратный к Р. Доказательство. !) Необходимость. Пусть Р— ортогональный оператор, т.е. выполняется условие (5.119).
Применяя сопряженный оператор Р*, это условие можно записать в виде (Р'Рх, у) = = (х, у). Таким образом, для любых х и у выполняется равенство ((Р*Р— 1)х, у) = О. Фиксируя в этом равенстве любой элемент х, считая у произвольным, получим, что линейный оператор Р*Р— 1 действует по правилу (Р*Р— 1)х = О. Следовательно, Р*Р = 1; совершенно аналогично можно убедиться, что РР* = 1. Таким образом, операторы Р* и Р взаимно обратны, т. е. условие (5.120) выполнено. 2) Достаточность.
Пусть выполнено условие (5.120). Тогда, очевидно, РР" = Р*Р =1. Обращаясь к определению сопряженного оператора и используя только что написанные соотношения, получим для любых х и у равенства (Рх, Ру) = (х, Р*Ру) = (х, 1у) = (х, у). Мы видим, что условие (5.119) выполнено, следовательно, оператор Р ортогональный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
