В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(6.10) !57 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ Из (6.10) очевидно, что условие (6.9) обеспечивает сходимость последовательности погрешностей 2ь к нулю со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем р. В случае, если матрица А является симметричной, будет симметричной и матрица гр — ТА, а поэтому в силу (6.6) условие (6.9) можно переписать в эквивалентном виде (6.! 1) р = пзах (! — ТЛ„! < 1 (здесь через (Л,7 обозначены собственные значения матрицы А).
Убедимся в том, что условие (6.11) является необходимым условием сходимости к нулю последовательности (ЯЕ7 при любом выборе нулевого приближения Хо. Предположим, что условие (6.11) не выполнено. Тогда существует собственное значение Л„удовлетворяющее неравенству ~1 — ТЛ,~ > 1. Обозначим через Хбй отвечающий этому собственному значению собственный вектор матрицы А и выберем нулевое приближение Хо так, чтобы Яо совпало с Х('1.
Тогда, последовательно записывая соотношение (6А) для номеров 1, 2, ..., к, мы получим, что 2ь = (1 — ТЛ,)" Ео. Из последнего соотношения в силу неравенства (! — ТЛ„( > 1 вытекает, что 5Яь)! не стремится к нулю при к -э сю. Теорема 6.1 доказана. Сразу же заметим, что для практических целей недостаточно установить только факт сходимости последовательности итераций. Центральной задачей численных методов является оценка скорости сходимости. Очень важно знать, как наилучшим способом распорядиться стационарным параметром т для того, чтобы получить наиболее быструю сходимость. Остановимся на этом вопросе подробнее.
Пусть задана е-точность, с которой нам требуется получить точное решение системы (6.!). Требуется найти итерацию Хя с таким номером й, для которого (6.12) Из (6.9) и (6.10) вытекает, что /!Еь/! < р" !!Уо/! и, стало быть, (6.!2) выполняется при р" < е, т.е. при Й >!п(!Ге)7'!п(1/р).
Отсюда видно, что для уменьшения числа итераций к, достаточных для достижения требуемой е-точности, следует выбрать параметр т так, чтобы получить минимум функции р = р(т) = ЕЯ вЂ” тА~Е. Считая матрицу А симметричной и положительно определенной, мы приходим к следующей задаче оптимизации: найти минимум функции ппп р(т) = пнп (/Š— ТА$~ = тш(гпах (! — ТЛ,!). Решение этой и несколько более общей задачи, предложенное А.А. Самарским, излагается в следующем пункте. Там будет доказано, что указанный минимум функции р = р(т) достигается для значения т = 27(т1 + тз), где ъ и та — соответственно минимальное и максимальное собственные значения матрицы А, причем минимальное 158 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ (гл. 6 значение функции р(т) равно 1 7~ 77« ти 71 1+ 7~ 7'7« Т + 71 2.
Общий неявный метод простой итерации. Снова обратимся к решению линейной системы (6.1), но на этот раз заменим итерационную последовательность (6.3) более общей итерационной последовательностью, определяемой соотношением (6.!3) т в котором В представляет собой некоторую «легко обратимую» квадратную матрицу а-го порядка, а т — стационарный параметр. Такой метод составления итерационной последовательности и называется неявным методом простой итерации.
Рассмотренный в предыдуцьем пункте явный метод простой итерации получается из неявного метода в частном случае В = В, где  — единичная матрица порядка а. Для того чтобы сформулировать в удобной для приложений форме условие сходимости общего неявного метода простой итерации, напомним некоторые понятия, введенные в предыдущей главе. Напомним, что матрица А называется положительно определенной, если (АХ, Х) > 0 для любого ненулевого вектора Х. В гл. 5 было доказано, что необходимым и достаточным условием положительной определенности симметричной матрицы А (или, что то же самое, самосопряженного линейного оператора А) является положительность всех собственных значений этой матрицы (этого оператора).
Если матрица А является аоложительно определенной, то мья договоримся писать неравенство А > О. Далее договоримся писать неравенство В > А (или А < В) в случае, если  — А > 0 (т.е. если матрица  — А является положительно определенной). Докажем следующую замечательную теорему ') . Теорема 6.2 (теорема А.А.
Самарского). Пусть матрица А является симметричной и вьшолнены условия А > О, В > 0 (симметричность матрицы В, вообще говоря, не предполагается). Тогда для того чтобы итерационная последовательность, определяемая соотношением (6.!3) ари любом выборе нулевого приближения Хо сходилась к точному решению Х системы АХ = Р', достаточно, чтобы были выполнены условия (6.!4) 2В>тА, тА>0 При дополнительном предаоложении о том, что матрица В является симметричной, условия (6.14) не только достаточны, но ') Эта теорема является частным случаем доказанного известным советским математиком А.А.
Самарским значительно более общего утверждения. (Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971.) !59 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ и необходимы для сходимости указанной итерационной последовательноапи при любом выборе нулевого приближения Хе. Доказательство. !) Достаточность. Прежде всего оценим погрешность 7ь = Хь — Х. Так как Х удовлетвовлетворяет уравнению АХ = В, а Хь соотношению (6.13), то для 75я получим соотношение (6.15) т Установим для погрешности 7ь так называемое основное энергетическое соотношение. Умножая (6.15) скалярно на вектор 2(Ле ь! — Яь) = 2т т получим равенство 2т (В '"~' '", '"~' '"1+2т (А7ь, '"е' — ' — ") =О. (6.16) Если воспользоваться обозначением С = 2 — тА и соотношением 7ь~.~ Е 7ь Яь~.~ — Д, .7мы — 7ь т Яь~.~ — Яь 75я =— 2 2 2 2 т то равенство (6.16) можно переписать в виде Далее заметим, что в силу симметрии матрицы А второе слагаемое в (6.17) равно (АЯь+н 7;,+~) — (АЯЫ 7ь).
Это приводит нас к основному энергетическому соотношению: Для доказательства достаточности условий (6.14) остается с помощью основного энергетического соотношения доказать сходимость к нулю последовательности (~)7Е~(). Из основного энергетического соотношения и из положительной определенности матрицы С = 2 — тА вытекает, что (АЛЕЛИ Яь+1) < (Алю Уь), т.е. вытекает невозрастание последовательности ((АЯЫ Яе)7.
Из условия А > 0 вытекает, кроме того, что оча последовательность ограничена снизу нулем, а поэтому сходизся. Но тогда из основного энергетического соотношения следует, что й (С7"" 7", 7мы ~") = О. (6.19) ь-~ос Х т т Напомним, что для положительно определенной матрицы С всегда найдется д > 0 такое, что (СХ, Х) > Б(Х, Х) для любого вектора Х или, что то же самое, ~~Х)~е < (1/б)(СХ, Х). Последнее неравенство позволяет заключить, что из равенства нулю указанного выше предела (6.19) следует, что !1гп ))ге+1 — гь(! = О. (6.20) 160 итвплционныв методы пвшения линвиных систем (гл. 6 Для завершения доказательства достаточности следует воспользоваться соотношением В '"+' '"+АЕь=О, т из которого, в силу существования для положительно определенной матрицы А ограниченной обратной матрицы А ', вытекает, что ль = — 4 — (дьч-1 — 2ь) ,В т Последнее равенство и соотношение (6.20) дают право заключить, что 1пп авала' = О. Достаточность доказана.
ь — ~сь Для доказательства необходимости условий (6.14) при дополнительном предположении о том, что матрица В симметрична, привлечем следующую лемму. Лемма. Пусгпь С вЂ” некоторая симметричная матрица, а В— симметричная положительно определенная матрица. Тогда матрица С является положительно определенной в том и только в том случае, когда являются положительными все собственные значения задачи СХ = ЛВХ. Для доказательства леммы заметим, что так как матрица В является симметричной и положительно определенной, то (в силу теоремы 5.24 из п.б ~5 гл. 5) существует самосопряженный положительно определенный оператор ВП~ такой, что для соответствующей ему матрицы ВПз справедливо равенство ВПз х ВПз = В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
