В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Каждый линейный оператор А имеет единственный сопряженный. Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, скалярное произведение (Ах, у) представляет собой полуторалинейную форму (см. гл. 4, 3 3, п. 1 и определение полуторалинейной формы). По теореме 5.11 существует единственный линейный оператор А* такой, что эта форма может быть представлена в виде (х, А*у).
Таким образом, (Ах, у) = х, А*у. Следовательно, оператор А* — сопряженный к оператору А. Единственность оператора А* следует из единственности представления полуторалинейного оператора в виде (5.44). Теорема доказана. В дальнейшем символ А' будет обозначать оператор, сопряженный к оператору А. Отметим следующие свойства сопряженных операторов: 4'. (А*)' = А, 5'. (АВ)' = В"А'.
1'. 1* =1, 2'. (А + В) ' = А" + В', 3'. (ЛА)* = ЛА*, Доказательства свойств 1' — 4' элементарны, и мы предоставляем их читателю. Приведем доказательство свойства 5'. Согласно определению произведения операторов справедливо соотношение 1. Понятие сопряженного оператора. Мы будем рассматривать линейные операторы в конечномерном евклидовом пространстве К Определение 1. Оператор А' из ДЯ, $') называется сопряженным к линейному оператору А, если для любых х и у из $' выполняется соотношение й5) линейные слмгюопРяженные ОпеРАтОРы (АВ)х = А(Вх).
С помощью этого равенства и определения сопряженного оператора получаем следующую цепочку соотношений: ((АВ)х, у) = (А(Вх), у) = (Вх, А*у) = = (х, В'(А*у)) = (х, (В*А')у). Таким образом, ((АВ)х, у) = (х, (В*А*)у). Иными словами, оператор В'А' является сопряженным к оператору АВ. Справедливость свойства 5' установлена. 3 а м е ч а н и е. Понятие сопряженного оператора для вещественного пространства вводится совершенно аналогично. Выводы этого пункта и свойства сопряженных операторов справедливы и для этого случая (при этом свойство 3' формулируется так; (ЛА)* =- ЛА*). 2.
Самосопряженные операторы. Основные свойства. Определение 2. Линейный оператор А из Д('Р', И) называется самосопряжгнным, если справедливо равенство А* = А. Самосопряженный оператор в вещественном пространстве определяется аналогично. Простейшим примером самосопряженного оператора является тождественный оператор 1 (см. свойство 1' сопряженных операторов в предыдущем пункте). С помощью самосопряженных операторов можно получить специальное представление произвольных линейных операторов. Именно, справедливо следующее утверждение. Теорема 5.13.
Пусть А — линейнгяй оператор, действующий в комплексном евклидовом пространстве К Тогда справедливо представление А = Ан + 1АЫ где Ан и Аг — самосопряжвнные операторы, называвмгяе соответственно действительной и мнимой частью оператора А. Доказательство. Согласно свойствам 2; 3' и 4' сопряженных операторов (см. предыдущий пункт этого параграфа) операторы Ан = = (А+ А*)/2 и Аг = (А — А')/21 — самосопряженные. Очевидно, А = Аи + 1Ат. Теорема доказана.
В следующей теореме выясняются условия самосопряженности произведения самосопряженных операторов. Мы будем говорить, что операторы А и В коммутируют, если АВ = ВА. Теорема 5.14. Для того чтобы произведение АВ самосопряженных операторов А и В было самосопряженным оператором, необходимо и достаточно, чтобгя они коммутировали. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как А и  — самосопряженные операторы, то, согласно свойству 5' сопряженных операторов (см. и. ! этого параграфа), справедливы соотношения (АВ)* = В'А* = ВА.
(5.52) (гл. 5 124 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ Следовательно, если АВ = ВА, то (АВ)' = АВ, т.е. оператор А — самосопряженный. Если же А — самосопряженный оператор, то АВ = (АВ)*, и тогда, на основании (5.52), АВ = ВА. Теорема доказана. В дальнейших теоремах устанавливается ряд важных свойств само- сопряженных операторов. Теорема 5.15. Если оператор А самосопряженный, гпо для любого х Е И скалярное произведение (Ах, х) — вещественное число. Доказательство. Справедливость утверждения теоремы вытекает из следующего свойства скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве (Ах,х) = (х, Ах) и определения самосопряженного оператора (Ах,х) = (х, Ах) '). Теорема 5.16. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Л вЂ” собственное значение самосопряженного оператора А. По определению собственного значения оператора А (см. определение 2 ~ 3 этой главы) существует ненулевой вектор х такой, что Ах = Лх. Из этого соотношения следует, что вещественное (в силу теоремы 5.!5) скалярное произведение (Ах, х) может быть представлено в виде ) (Ах, х) = Л(х, х) = Л!/х/!~. Так как !/х// и (Ах, х) вещественны, то, очевидно, и Л вЂ” вещественное число.
Теорема доказана. В следующей теореме выясняется свойство ортогональности собственных векторов самосопряженного оператора. Теорема 5.17. Если А — самосопряженный оператор, то собственнгче векторы, отвечающие различным собственным значениям этого оператора, ортогональньи Д о к а з а т ел ь с т в о. Пусть Л~ и Лз — различные собственные значения (Л| ~ Лз) самосопряженного оператора А, а х| и хэ соответственно отвечающие им собственные векторы. Тогда имеют место соотношения Ах1 = Л~хн Ахз = Лзхэ.
Поэтому скалярные произведения (Ахи хэ) и (хн Ахз) соответственно равны следующим выражениям з): (Ахи хз) = Л1(хи хз), (хн Ахэ) = Лэ(хи хз). Так как оператор А самосопряженный, то скалярные произведения (Ахи хз) и (хи Ахз) равны, и поэтому из последних соотношений ') Напомним, что если комплексное число равно своему сопряженному, то это число — вещественное з) Напомним, что символ Зх! обозначает норму элемента х. з) Так как собственные значения самосопряженного оператора вещественны, то (хи Ахз) = Лз (хи х„) = Лз (хи х„). Ц5) !25 линеиные слмосопняженные ОпендтОРЫ путем вычитания получаем равенство (Лз — Л!)(х!, хз) = О. Поскольку Ла ф- Л!, то из последнего равенства следует равенство нулю скалярного произведения (хы хз), т.е.
ортогональность собственных векторов х! и хз. Теорема доказана. 3. Норма линейного оператора. Пусть А — линейный оператор, отображающий евклидова пространство и' в это же пространство. Введем понятие нормы оператора А. Определение 3. Нормой ЦАЦ линейного оператора А называется число, определяемое соотношением ') ЦАЦ = анр ЦАхЦ. ))хЦ=! (5.53) ЦАхЦ < ЦАЦ ЦхЦ (5.54) (для доказательства достаточно воспользоваться соотношением Ах = А, 1 ЦхЦ). Из соотношения (5.54) следует, что если ЦАЦ = О, то Цх! ! оператор А является нулевым. Норму самосопряженного оператора А можно определить и другим способом.
Именно, справедливо утверждение: Если А — самосопряженньш" оператор, то введенная выше норма ЦАЦ оператора А равна зпрц !, ! !(Ах, х)~: впр !(Ах, х)! = ЦАЦ. !!х)/=! (5.55) Доказательство. Для любого х из !' справедливо неравенство Коши — Буняковского (см. п.2 ЭЗ гл.4) !(Ах, х)! < ЦАхЦ ЦхЦ. Из него и из неравенства (5.54) получаем следующее неравенство: !(Ах, х)( ЦАЦ ЦхЦз. Поэтому число р = впр !(Ах, х)( ЦхЦ=! (5.56) удовлетворяет соотношению р < ЦАЦ. (5.57) КН м . //Х // — ЛА*.А ). О У .
//Х // б ставляет собой непрерывную функцию х, которая на замкнутом множестве ЦхЦ = ! достигает конечного наибольшего значения. Из определения нормы линейного оператора вытекает следующее очевидное неравенство: (гл. 5 126 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ Отметим, что из равенства (Ак, к) = А, — ~ 'бкбз, к ~ О 'як'я (к ) т и определения числа р (см. (5.56)) вытекает следующее неравенство: !(Ак, к)/ < р !/к!!~. Обратимся теперь к следующему очевидному тождеству: 4йе(Ах, у) = (А(х+у), х+у) — (А(х — у), х — у) (5.58) (в этом тождестве символ Ве (Ах, у) обозначает действительную часть комплексного числа (Ах, у), само тождество легко вытекает из свойств скалярного произведения, см. п. 1 33 гл.4). Беря левую и правую части этого тождества по модулю, используя свойство модуля суммы и неравенство (5.58), получим следующие соотношения '): 4(йе(Ах, у)! < р()к+ у)! + р!)х — у(! = 2р(яхя + яуя ).
Отсюда при !)х)! = 'буб = 1 получаем неравенство )Ке(Ах, у)! < р. Полагая в этом неравенстве у = Ах,ЧАхб (очевидно, бу() = !) и учитывая, что число (Ах, Ах) = ()Ахба является вещественным (поэтому Ве (Ах, Ах) = (Ах, Ах) = 6Ахбз), получим ()Ахб < р, 'бхб = 1. Отсюда, согласно неравенству (5.53), найдем ()А)! < р.
Для завершения доказательства остается сравнить полученное неравенство с неравенством (5.57) и воспользоваться определением числа р (см. (5.56)). 4. Дальнейшие свойства самосопряженных операторов. В этом пункте мы докажем ряд важных свойств линейных операторов, связанных с понятием нормы. Сначала мы установим необходимое и достаточное условие самосопряженности оператора. Докажем следующую теорему.
Теорема 5.18. Для того чтобы линейный оператор А был само- сопряженным, необходимо и достаточно, чтобы з) !ш(Ах, х) = О. Д о к а за т ел ь с т в о. По теореме 5.13 произвольный линейный оператор А может быть представлен в виде А = Ан+ 1АЫ где Ан и Ат— самосопряженные операторы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
