В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Очевидно, произведение произвольного несобственного преобразования и рассмотренного отражения будет собственным преобразованием с матрицей В' = РВ. Так как Р2 = Р Р = 1, где 1 — единичная матрица, то В = Р2В = Р(РВ) = РВ'. Таким образом, всякое несобственное преобразование Лоренца является произведением некоторого собственного преобразования с матрицей В' и отражения с матрицей Р. Пересечение множеств 1т и Еэ обозначают символом 1кт Некоторые групповые свойства множеств 1, 1,т, Е„и 14 будут рассмотрены в следующей главе. В заключение найдем те преобразования Ат, которые не меняют координат л2 и хэ. Ясно, что это будут преобразования !.т двумерного псевдоевклидова подпространства с координатами хо и х', в котором квадрат интервала вычисляется по формуле (хо) — (х ) .
Запишем для рассматриваемого случая формулы (8.74). Получим (Ь,',)2 — (Ь„',)' = 1, Ьо, Ь|, — Ьо, Ь|, = О, (8.77) (Ьо )2 (Ь! )2 Полагая Ьо|,2|Ь~~, = ЗУ, найдем из (8.77) следующие выражения для коэффициентов Ь,', матрицы преобразования В базисных векто- (гл. 8 244 тензОРЫ ров ео, еы ег, ез в базисные векторы ео, еп, егч ех. ь,,=+, ь,,=~, ьп=~, ьп=~ о 1 1 д о д % ж'' ' 'Г У' ' 77:дг' В этих формулах знак выбирается из условия принадлежности преобразования Лоренца классу Вт. Не вникая в детали вычислений, запишем окончательные формулы преобразования координат: '1:Уг ' 71:: ~-' ' Положим в соотношениях (8.78) хо = сг, х' = х, хг = у, хз = з, хо = сг', х1 = х', хг = у', хз = % Тогда формулы (8.78) перепишутся следующим образом: ,г:У ',т:У' Выясним теперь физический смысл константы д.
Допустим, что точка Р неподвижна в системе координат (1', х', у', з'). Это означает, что время ь' меняется, а пространственные координаты х', у', з' этой точки постоянны. Исследуем вопрос о поведении точки Р относительно системы (г, х, у, з). Дифференцируя последние три уравнения — /Зсдг+ дх (8.79) и учитывая, что дх' = ду' = дз' = О, получим 0 = 0 = ду, 0 = дз. Поэтому дх(сН = дс, ду(<Н = О, г1з(ат = 0.~ Следовательно, всякая точка Р, неподвижная в системе координат (т', х', у', з') (а следовательно, и вся эта система координат), движется относительно системы (т, х, у, з) с постоянной скоростью о = Дс в направлении оси Ох. Итак, д = о/с, где о — скорость движения системы (г', х', у', з') относительно системы (х, у, з, т).
Отметим, что так как 0 < и < с, то О<)1 <1. Перепишем теперь следующим образом формулы (8.79): г — — х' =, у' = у, з' = з. (8.80) ,Г-ьгй) ',Г-Ря' Формулы (8.80) представляют собой формулы перехода от инерциальной системы (т, х, у, з) к другой инерциальной системе (т', х', у', з'). Эти формулы называются формулами Лоренца.
ф 5. Тензор момента инерции Рассмотрим твердое тело, закрепленное в точке О. Пусть г = = ОМ вЂ” радиус-вектор точки М этого тела, ъ — скорость точки М. Как известно, момент импульса )Ч определяется соотношением Х = ~(гч) дтп, где И вЂ” объем тела, оп = р ~Л' (р — плотность тела). 25) 245 тензор момента инеРции Обозначая через 1У' контравариантные координаты вектора Х и используя формулу (8.60) для векторного произведения, получим 14' = ~ сыт о г(т (8.81) (напомним, что с'„, = 8 ыс,ы, где с,ы — кооРдинаты дискРиминантного тензора в данном базисе пространства Ез, см.
п.б 23 этой главы). По теореме Эйлера существует мгновенная ось вращения тела. Обозначая через ь2 вектор мгновенной угловой скорости, получим о = ('шг~. Снова обращаясь к формуле (8.60) для векторного произведения, найдем о = с ь2ртт (8.82) Подставляя найденное выражение о' в правую часть (8.81) и учитывая независимость шр от переменных интегрирования, получим следующее выражение для %'. 1У' = ~ с~2с~~„тьт ь2Р дт = шо ~ с~д ~с„т~т" г(т = ь2РЗ„'. (8.83) Тензор (8.85) 32 = ~ сь2с„„~ т" дт, (8.84) фигурирующий в правой части соотношений (8.83), называется тензором момента инерции. Преобразуем выражение (8.84) для тензора момента инерции. Для этой цели обратимся к формуле (8.65), По этой формуле имеем с'„,с'„„= еь„6„' — еьр6„'.
Поэтому ,72 = ~(8ь„62 — 8ьр62)т"т дт. Если в выражении (8.85) опустить индекс 1 с помощью метрического тензора, то в результате получим часто используемую формулу для координат дважды ковариантного тензора момента инерции: Угр — 1 (т 82р т'тр) дт (8.86) Тензор момента инерции широко используется в механике твердого тела.
Для примера запишем с помощью этого тензора выражение для кинетической энергии Т. Имеем Т = — 1 о Нт = — ~ д,уогоУ Йт. 2, 1 г 2 2~ 2~ Но поскольку о' = С„ь2Рт", выражение для Т примет вид Т = — ~ 8тус„'„сь,ь2Рт"ь2~т дт = — ь2Рш~ ~ 82 с'„„сзыт" т~ г(т. 1 Отсюда, согласно (8.84), найдем Т = — штшьйрь. 2 Глава 9 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП В этой главе будут изложены основные понятия теории групп и указаны некоторые приложения этой теории. Важность теории групп определяется многочисленными ее приложениями в физике. З 1.
Понятие группы. Основные свойства групп 1. Законы композиции. Будем говорить, что в множестве А определен закон композиции, если задано отображение Т упорядоченных пар элементов из А в множество А. При этом элемент с из А, поставленный с помощью отображения Т в соответствие элементам а, Ь из А, называется композицией этих элементов. Композиция с элементов а и Ь обозначается символом аТЬ: с = аТЬ. Для композиции элементов а, Ь множества А используются и другие формы записи. Наиболее употребительными являются аддитивная форма записи с = а+ Ь и мультипликативная форма записи с = аЬ. В случае аддитивной формы записи композиции соответствующий закон композиции обычно называется сложением, а при мультипликативной форме — умножением.
Закон композиции называется ассоциативным, если для любых элементов а, 6, с множества А выполняется соотношение аТ(ЬТс) = (аТЬ)Тс. Закон композиции называется коммутативным, если для любой пары а, 6 е А выполняется соотношение аТЬ = ЬТа. Элемент е множества А называется нейтральным относительно закона Т, если для любого элемента а множества А выполняется соотношение аТе = а. Примерами законов композиции могут служить обычные сложение и умножение в множестве вещественных чисел. Оба эти закона коммутативны.
Нейтральным элементом для сложения является нуль, для умножения — единица. 2. Понятие группы. Некоторые свойства групп. Сформулируем следующее определение. Определение 1. Множество А, в котором определен закон композиции Т, называется группой С, если этот закон ассоциативен, суще- ОснОВные своиствл ГРупп 247 ствует нейтральный элемент е относительно закона Т и для каждого элемента а множества А существует обратный элемент а 1, т.е. такой элемент, для которого аТа ' = е.
Если использовать мультипликативную форму записи композиции элементов, то определению 1 можно придать следующую форму. Определение 2. Множество А элементов а, Ь, с,..., в котором определен закон композиции, называемый умножением и ставящий в соответствие каждой паре элементов а, 6 множества А определенный элемент с = а6 этого множества, называется группой С, если этот закон удовлетворяет следующим требованиям: !'. а(Ьс) = (аЬ)с (ассоциативность).
2'. Существует элемент е множества А такой, что для любого элемента а этого множества ае = а (существование нейтрального элемента). 3'. Для любого элемента а множества А существует обратный элемент а ' такой, что аа ' = е. Обычно нейтральный элемент е называется единицей группы С. Если закон композиции Т, действующий в группе С, является коммутативным, то группа С называется коммутативной или абелевой. Для абелевых групп часто используется аддитивная форма записи композиции элементов.
В этом случае нейтральный элемент абелевой группы называется нулем. Рассмотрим примеры групп. !) Множество 2 целых чисел образует абелеву группу относительно сложения. Действительно, операция сложения целых чисел представляет собой, очевидно, закон композиции. Ясно, что этот закон ассоциативен и коммутативен. Нейтральным элементом (нулем) является целое число нуль. Обратным элементом для целого числа а служит целое число — а. 2) Множество положительных вещественных чисел образует абелеву группу относительно умножения.
Эта операция представляет собой закон композиции. Очевидно, что этот закон ассоциативен и коммутативен. Нейтральным элементом является вещественное число единица. Обратным элементом для числа а > О служит число 1/а. 3) Линейное пространство образует абелеву группу относительно сложения элементов. Эта операция представляет собой закон композиции. Согласно аксиомам линейного пространства этот закон ассоциативен и коммутативен. Нейтральным элементом является нулевой элемент пространства, обратным эле- Рис 9 1 ментом для элемента х — элемент -х. 4) Пусть ВСΠ— равносторонний треугольник (рис.9.1). Рассмотрим следующее множество А операций, совмещающих треугольник с самим собой: !'.
Поворот О на 2к,г3 вокруг центра Н, переводящий В в С. (гл. 9 248 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП 2'. Поворот,9 на 4тг/3, переводящий В в Р. 3'. Симметрия Ян переводящая С в В. 4'. Симметрия Ва, переводящая Р в В. 5'. Симметрия Вз, переводящая В в С. 6'. Тождественная операция !. Следующая таблица представляет закон композиции элементов множества А: (Правило пользования этой таблицей легко понять на примере последовательного проведения операций Яи а затем Вз: ЯЕЯ1 = (т'.
Приведенный закон композиции ассоциативен, но не коммутативен, существует нейтральный элемент — тождественная операция 1. Каждая операция имеет обратную (в каждой строке и столбце таблицы имеется тождественная операция). Таким образом, множество А операций с указанным законом композиции представляет собой группу, очевидно, не коммутативную.
5) Группы перестановок. Взаимно однозначное отображение Г произвольного множества Е на себя называется перестановкой множества Е. При этом всякий элемент а множества Е переходит в элемент Г(а), обратная перестановка т' ' переводит Г(п) в а. Перестановка Г(а) = а для любого а множества Е называется тождественной перестановкой. Если множество Е состоит из элементов а, 6, с, ..., то перестановку Г этого множества записывают следующим образом: / и Ь с (,т (и) т'(Ь) т'(с) ...) ' В множестве Р перестановок множества Е естественным образом определяется закон композиции: если Т1 и Г9 — перестановки Е, то последовательное проведение Гз о Г1 этих перестановок представляет собой некоторую перестановку множества Е. Легко видеть, что композиция ассоциативна. Если множество Р содержит тождественную перестановку, обратную перестановку для каждой своей перестановки У и вместе с любыми двумя перестановками Гн Гз их композицию Г1 о Гз, то, очевидно, Р представляет собой группу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
