Главная » Просмотр файлов » В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 53

Файл №1152751 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра) 53 страницаВ.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751) страница 532019-08-03СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Очевидно, произведение произвольного несобственного преобразования и рассмотренного отражения будет собственным преобразованием с матрицей В' = РВ. Так как Р2 = Р Р = 1, где 1 — единичная матрица, то В = Р2В = Р(РВ) = РВ'. Таким образом, всякое несобственное преобразование Лоренца является произведением некоторого собственного преобразования с матрицей В' и отражения с матрицей Р. Пересечение множеств 1т и Еэ обозначают символом 1кт Некоторые групповые свойства множеств 1, 1,т, Е„и 14 будут рассмотрены в следующей главе. В заключение найдем те преобразования Ат, которые не меняют координат л2 и хэ. Ясно, что это будут преобразования !.т двумерного псевдоевклидова подпространства с координатами хо и х', в котором квадрат интервала вычисляется по формуле (хо) — (х ) .

Запишем для рассматриваемого случая формулы (8.74). Получим (Ь,',)2 — (Ь„',)' = 1, Ьо, Ь|, — Ьо, Ь|, = О, (8.77) (Ьо )2 (Ь! )2 Полагая Ьо|,2|Ь~~, = ЗУ, найдем из (8.77) следующие выражения для коэффициентов Ь,', матрицы преобразования В базисных векто- (гл. 8 244 тензОРЫ ров ео, еы ег, ез в базисные векторы ео, еп, егч ех. ь,,=+, ь,,=~, ьп=~, ьп=~ о 1 1 д о д % ж'' ' 'Г У' ' 77:дг' В этих формулах знак выбирается из условия принадлежности преобразования Лоренца классу Вт. Не вникая в детали вычислений, запишем окончательные формулы преобразования координат: '1:Уг ' 71:: ~-' ' Положим в соотношениях (8.78) хо = сг, х' = х, хг = у, хз = з, хо = сг', х1 = х', хг = у', хз = % Тогда формулы (8.78) перепишутся следующим образом: ,г:У ',т:У' Выясним теперь физический смысл константы д.

Допустим, что точка Р неподвижна в системе координат (1', х', у', з'). Это означает, что время ь' меняется, а пространственные координаты х', у', з' этой точки постоянны. Исследуем вопрос о поведении точки Р относительно системы (г, х, у, з). Дифференцируя последние три уравнения — /Зсдг+ дх (8.79) и учитывая, что дх' = ду' = дз' = О, получим 0 = 0 = ду, 0 = дз. Поэтому дх(сН = дс, ду(<Н = О, г1з(ат = 0.~ Следовательно, всякая точка Р, неподвижная в системе координат (т', х', у', з') (а следовательно, и вся эта система координат), движется относительно системы (т, х, у, з) с постоянной скоростью о = Дс в направлении оси Ох. Итак, д = о/с, где о — скорость движения системы (г', х', у', з') относительно системы (х, у, з, т).

Отметим, что так как 0 < и < с, то О<)1 <1. Перепишем теперь следующим образом формулы (8.79): г — — х' =, у' = у, з' = з. (8.80) ,Г-ьгй) ',Г-Ря' Формулы (8.80) представляют собой формулы перехода от инерциальной системы (т, х, у, з) к другой инерциальной системе (т', х', у', з'). Эти формулы называются формулами Лоренца.

ф 5. Тензор момента инерции Рассмотрим твердое тело, закрепленное в точке О. Пусть г = = ОМ вЂ” радиус-вектор точки М этого тела, ъ — скорость точки М. Как известно, момент импульса )Ч определяется соотношением Х = ~(гч) дтп, где И вЂ” объем тела, оп = р ~Л' (р — плотность тела). 25) 245 тензор момента инеРции Обозначая через 1У' контравариантные координаты вектора Х и используя формулу (8.60) для векторного произведения, получим 14' = ~ сыт о г(т (8.81) (напомним, что с'„, = 8 ыс,ы, где с,ы — кооРдинаты дискРиминантного тензора в данном базисе пространства Ез, см.

п.б 23 этой главы). По теореме Эйлера существует мгновенная ось вращения тела. Обозначая через ь2 вектор мгновенной угловой скорости, получим о = ('шг~. Снова обращаясь к формуле (8.60) для векторного произведения, найдем о = с ь2ртт (8.82) Подставляя найденное выражение о' в правую часть (8.81) и учитывая независимость шр от переменных интегрирования, получим следующее выражение для %'. 1У' = ~ с~2с~~„тьт ь2Р дт = шо ~ с~д ~с„т~т" г(т = ь2РЗ„'. (8.83) Тензор (8.85) 32 = ~ сь2с„„~ т" дт, (8.84) фигурирующий в правой части соотношений (8.83), называется тензором момента инерции. Преобразуем выражение (8.84) для тензора момента инерции. Для этой цели обратимся к формуле (8.65), По этой формуле имеем с'„,с'„„= еь„6„' — еьр6„'.

Поэтому ,72 = ~(8ь„62 — 8ьр62)т"т дт. Если в выражении (8.85) опустить индекс 1 с помощью метрического тензора, то в результате получим часто используемую формулу для координат дважды ковариантного тензора момента инерции: Угр — 1 (т 82р т'тр) дт (8.86) Тензор момента инерции широко используется в механике твердого тела.

Для примера запишем с помощью этого тензора выражение для кинетической энергии Т. Имеем Т = — 1 о Нт = — ~ д,уогоУ Йт. 2, 1 г 2 2~ 2~ Но поскольку о' = С„ь2Рт", выражение для Т примет вид Т = — ~ 8тус„'„сь,ь2Рт"ь2~т дт = — ь2Рш~ ~ 82 с'„„сзыт" т~ г(т. 1 Отсюда, согласно (8.84), найдем Т = — штшьйрь. 2 Глава 9 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП В этой главе будут изложены основные понятия теории групп и указаны некоторые приложения этой теории. Важность теории групп определяется многочисленными ее приложениями в физике. З 1.

Понятие группы. Основные свойства групп 1. Законы композиции. Будем говорить, что в множестве А определен закон композиции, если задано отображение Т упорядоченных пар элементов из А в множество А. При этом элемент с из А, поставленный с помощью отображения Т в соответствие элементам а, Ь из А, называется композицией этих элементов. Композиция с элементов а и Ь обозначается символом аТЬ: с = аТЬ. Для композиции элементов а, Ь множества А используются и другие формы записи. Наиболее употребительными являются аддитивная форма записи с = а+ Ь и мультипликативная форма записи с = аЬ. В случае аддитивной формы записи композиции соответствующий закон композиции обычно называется сложением, а при мультипликативной форме — умножением.

Закон композиции называется ассоциативным, если для любых элементов а, 6, с множества А выполняется соотношение аТ(ЬТс) = (аТЬ)Тс. Закон композиции называется коммутативным, если для любой пары а, 6 е А выполняется соотношение аТЬ = ЬТа. Элемент е множества А называется нейтральным относительно закона Т, если для любого элемента а множества А выполняется соотношение аТе = а. Примерами законов композиции могут служить обычные сложение и умножение в множестве вещественных чисел. Оба эти закона коммутативны.

Нейтральным элементом для сложения является нуль, для умножения — единица. 2. Понятие группы. Некоторые свойства групп. Сформулируем следующее определение. Определение 1. Множество А, в котором определен закон композиции Т, называется группой С, если этот закон ассоциативен, суще- ОснОВные своиствл ГРупп 247 ствует нейтральный элемент е относительно закона Т и для каждого элемента а множества А существует обратный элемент а 1, т.е. такой элемент, для которого аТа ' = е.

Если использовать мультипликативную форму записи композиции элементов, то определению 1 можно придать следующую форму. Определение 2. Множество А элементов а, Ь, с,..., в котором определен закон композиции, называемый умножением и ставящий в соответствие каждой паре элементов а, 6 множества А определенный элемент с = а6 этого множества, называется группой С, если этот закон удовлетворяет следующим требованиям: !'. а(Ьс) = (аЬ)с (ассоциативность).

2'. Существует элемент е множества А такой, что для любого элемента а этого множества ае = а (существование нейтрального элемента). 3'. Для любого элемента а множества А существует обратный элемент а ' такой, что аа ' = е. Обычно нейтральный элемент е называется единицей группы С. Если закон композиции Т, действующий в группе С, является коммутативным, то группа С называется коммутативной или абелевой. Для абелевых групп часто используется аддитивная форма записи композиции элементов.

В этом случае нейтральный элемент абелевой группы называется нулем. Рассмотрим примеры групп. !) Множество 2 целых чисел образует абелеву группу относительно сложения. Действительно, операция сложения целых чисел представляет собой, очевидно, закон композиции. Ясно, что этот закон ассоциативен и коммутативен. Нейтральным элементом (нулем) является целое число нуль. Обратным элементом для целого числа а служит целое число — а. 2) Множество положительных вещественных чисел образует абелеву группу относительно умножения.

Эта операция представляет собой закон композиции. Очевидно, что этот закон ассоциативен и коммутативен. Нейтральным элементом является вещественное число единица. Обратным элементом для числа а > О служит число 1/а. 3) Линейное пространство образует абелеву группу относительно сложения элементов. Эта операция представляет собой закон композиции. Согласно аксиомам линейного пространства этот закон ассоциативен и коммутативен. Нейтральным элементом является нулевой элемент пространства, обратным эле- Рис 9 1 ментом для элемента х — элемент -х. 4) Пусть ВСΠ— равносторонний треугольник (рис.9.1). Рассмотрим следующее множество А операций, совмещающих треугольник с самим собой: !'.

Поворот О на 2к,г3 вокруг центра Н, переводящий В в С. (гл. 9 248 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП 2'. Поворот,9 на 4тг/3, переводящий В в Р. 3'. Симметрия Ян переводящая С в В. 4'. Симметрия Ва, переводящая Р в В. 5'. Симметрия Вз, переводящая В в С. 6'. Тождественная операция !. Следующая таблица представляет закон композиции элементов множества А: (Правило пользования этой таблицей легко понять на примере последовательного проведения операций Яи а затем Вз: ЯЕЯ1 = (т'.

Приведенный закон композиции ассоциативен, но не коммутативен, существует нейтральный элемент — тождественная операция 1. Каждая операция имеет обратную (в каждой строке и столбце таблицы имеется тождественная операция). Таким образом, множество А операций с указанным законом композиции представляет собой группу, очевидно, не коммутативную.

5) Группы перестановок. Взаимно однозначное отображение Г произвольного множества Е на себя называется перестановкой множества Е. При этом всякий элемент а множества Е переходит в элемент Г(а), обратная перестановка т' ' переводит Г(п) в а. Перестановка Г(а) = а для любого а множества Е называется тождественной перестановкой. Если множество Е состоит из элементов а, 6, с, ..., то перестановку Г этого множества записывают следующим образом: / и Ь с (,т (и) т'(Ь) т'(с) ...) ' В множестве Р перестановок множества Е естественным образом определяется закон композиции: если Т1 и Г9 — перестановки Е, то последовательное проведение Гз о Г1 этих перестановок представляет собой некоторую перестановку множества Е. Легко видеть, что композиция ассоциативна. Если множество Р содержит тождественную перестановку, обратную перестановку для каждой своей перестановки У и вместе с любыми двумя перестановками Гн Гз их композицию Г1 о Гз, то, очевидно, Р представляет собой группу.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
20,4 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее