В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 54
Текст из файла (страница 54)
249 ОснОВные своиствл ГРупп Все перестановки множества Е образуют группу. Для конечного множества Е из и элементов эта группа называется симметричной группой В„. Обратимся к примеру 4), в котором были рассмотрены операции совмещения равностороннего треугольника ВСР с самим собой. Обозначим через Е множество вершин этого треугольника: Е = (ВС11). Очевидно, группу операций, рассмотренную в примере 4), можно получить, обращаясь к следующей группе перестановок: 1 (В С В) (В С В) р, (В С В) (В С В) (В С В) (В С В) 6) Рассмотрим группу 2м состоящую из двух элементов О и 1, в которой умножение определено по правилу: О О = О, О 1 = 1, 1 О = 1, ! 1 = О.
(9.1) Единицей группы является элемент О. Эту группу называют группой вычетов по модулю 2. 7) Рассмотрим группу, состоящую из двух элементов: 1) тождественное преобразование евклидова пространства (обозначим этот элемент через О); 2) отражение евклидова пространства относительно начала координат (обозначим этот элемент через 1). Очевидно, умножение (т.е. последовательное проведение операций 1) и 2)) элементов О и 1 будет проводиться по правилу (9.1). Мы видим, что рассматриваемая группа отличается от группы Яз (пример б) лишь природой элементов. Групповые свойства этих двух групп одинаковы. Отметим следующие своиства групп (мы будем использовать мультипликативную форму записи композиции).
Теорема 9.1. Если аа ' = е, то а 'а = е. Доказательство. Пусть х — обратный элемент для элемента а а х=е. Тогда а = ае = а(а х) = (аа ~)х = ех, т.е. а = ех. Следовательно, а 'а = а '(ех) = (а 'е)х = а |х = е, т.е. а 'а = е. Теорема доказана. Теорема 9.2. Для любого элемента а группы справедливо соотношение еа = а. Доказательство. По теореме 9.1 а 'а = е и, кроме того, аа = е. Поэтому еа = (аа ')а = а(а а) = а, т.е.
еа = а. Теорема доказана. Теорема 9.3. Если ах = е и ау = е, то х = у. Доказательство. Так как ау = е, то у обратный элемент для а, и поэтому, согласно теореме 9.1, уа = е. Имеем далее у = уе = = у(ах) = (уа)х = ех = х. Теорема доказана. (гл. 9 250 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП Из доказанных теорем вытекают следующие важные следствия.
Следствие 1. Обратным элементом для элемента а ' служит элемент а. Или, иначе, элемент а ' является как правым, так и левым обратным элементом для элемента а (т.е. аа ' = е и а 'а =е). Следствие 2. В любой группе уравнения ах = Ь и уа = Ь однозначно разрешимы. Решениями этих уравнений служат соответственно элементы х = а 'Ь и у = Ьа Следствие 3. В группе имеется единственный нейтральный элемент (единица группьГ) (если ае = а и ае' = а, то е = е*).
Замечание. Отметим, что обратным элементом (аЬ) ' для произведения аЬ служит элемент Ь 'а Действительно, используя ассоциативное свойство умножения, получим (аЬ)(Ь |а ') = а(ЬЬ ')а ' = аеа ' = аа ' = е. 3. Изоморфизм групп. Подгруппы. Примеры, рассмотренные в предыдущем пункте (см. примеры 4 и 5, примеры 6 и 7) показывают, что существуют группы, отличающиеся природой своих элементов, но обладающие одинаковыми групповыми свойствами. Такие группы естественно назвать изоморфными. Сформулируем точное определение этого понятия.
Определение 1. Две группы С1 и Сз называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение 7 группы С1 на группу Сз такое, что для любых элементов а и Ь из С~ выполняется условие 7(аЬ) = 7(а)7(Ь). Заметим, что если е| — единица группы Си а ез — единица группы Сз, то ~(е~) = ею Действител~но, Г(е1) = 7(е1е~) = 7(е1) х 7(е1), и умножение на элемент, обратный к 7(е1), показывает, что ез = = 7(е1). Отметим также, что обратное отображение Г ' группГя Сз на группу С~ для любых элементов х и у из Са удовлетворяет условию Кроме того, для любого а из С1 из равенства еа = 7"(е1) = = 7"(аа ') = 7(а)((о, ') следует, что обратнГям к элементу ((а) является элемент 1(а ').
Таким образом, изоморфные группы, рассматриваемые абстрактно, без указания природы их элементов, с точки зрения групповых свойств неразличимы. Замечание !. Обычно соответствие между изоморфными группами С1 и Са, называется изоморфизмом или изоморфнГям отображением одной группы на другую (конечно, при этом обе группы равноправны).
3 а м е ч а н и е 2. Изоморфное отображение группы С на себя называется автоморфизмом. Автоморфизмы группы определенным образом характеризуют ее симметрию. 25! ОснОВные своиствк ГРупп Если отдельные автоморфизмы группы рассматривать как некоторые элементы, а последовательное проведение автоморфизмов — как произведение соответствующих элементов, то автоморфизмы сами образуют группу (единичным элементом будет тождественный автоморфизм). Эта группа называется группой автоморфизмов данной группы. Легко убедиться, что группа автоморфизмов группы Лз (см. пример 6 предыдущего пункта) изоморфна этой же группе. Важную роль в теории групп играет понятие подгруппы. Определение 2.
Подмножество С! элементов группы С называется подгруппой этой группы, если выполнены условия: 1) если элементы а и Ь принадлежат С!, то и аЬ принадлежит С!, 2) если элемент а принадлежит С!, то и обратный элемент а ' также принадлежит С!. Подгруппа С! группы С, рассматриваемая как самостоятельное множество, в котором определена операция умножения по закону композиции из объемлющей группы С, представляет собой группу. Проверка этого утверждения не представляет затруднений. Простейшей подгруппой любой группы является ее единичный элемент.
Другим примером может служить подгруппа С! всех четных чисел в группе С относительно сложения всех целых чисел. 4. Смежные классы. Нормальные делители. Пусть Н! и Нз— произвольные подмножества группы С. Произведением подмножеств Н! и Нз назовем подмножество Нгн состоящее из всех элементов вида 6!6з, где 6! е Н!, 6з е Нз. Для произведения подмножеств используется обозначение (9.2) Нз = Н!Ню Рассмотрим случай, когда Н! состоит из одного элемента 6. Тогда, согласно (9.2), произведение Н! и Нз можно записать в виде 6НЕ.
Отметим, что если подмножества Н! и Нз являются подгруппами группы С, то их произведение Н|Нш вообще говоря, не является подгруппой. Пусть Н вЂ” подгруппа группы С, а — элемент группы С. Множество аН называется левьгм смежным классом, а множество На— правым смежнигм классом подгруппы Н В С. Конечно, при выборе другого элемента вместо а, правые и левые классы подгруппы Н в С, вооб!це говоря, изменяются. Отметим следующие свойства смежных классов (эти свойства формулируются лишь для левых смежных классов, для правых смежных классов они формулируются аналогично). 1'. Если а е Н, то а.Н =— Н.
2'. Смежные классы аН и ЬН совпадают, если а !Ь Е Н. 3'. Два смежных класса одной подгруппы Н либо совпадают, либо не имеют общих элементов. 4'. Если аН вЂ” смежный класс, то а е аН. (гл. 9 252 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП Первое из отмеченных свойств очевидно. Убедимся в справедливости свойства 2'. Так как, согласно 1; а 'ЬН = Н, то, поскольку аа 1 = е, имеем ЬН = (аа ')ЬН = а(а 16)Н = аН. Тем самым свойство 2' установлено. Перейдем к доказательству третьего свойства. Очевидно, достаточно доказать, что если смежные классы аН и 6Н имеют общий элемент, то они совпадают. Пусть элементы 61 я Н и 62 е Н такие, что (9.3) а61 = 66ю (равенство (9.3) означает, что классы аН и ЬН имеют общий элемент). Поскольку Н вЂ” подгруппа группы С, то элемент 6~6, ' принадлежит Н.
Отсюда и из (9.3) получаем а Следовательно, согласно свойству 2; аН = ЬН. Свойство 3' доказано. Свойство 4' следует из того, что подгруппа Н содержит единичный элемент е, и поэтому ае = а Е аН. Пусть Н вЂ” подгруппа С, для которой все левые смежные классы одновременно являются правыми смежными классами. В этом случае для люоого элемента а должно иметь место соотношение (9.4) аН = На. Действительно, согласно свойству 4; элемент а е аН. С другой стороны, класс аН является одновременно некоторым классом НЬ, который, очевидно (в силу того, что а е НЬ), совпадает с множеством На.
Подгруппа Н, для которой все левые смежные классы являются правыми смежными классами, называется нормальным делителем группы С. Справедливо следующее утверждение. Если Н вЂ” нормальный делитель группы С, то произведение смежных классов представляет собой также смежный класс. Действительно, пусть аН и 6Н вЂ” смежные классы. Тогда, по определению произведения смежных классов как подмножеств группы С, с учетом (9.4) получим аНЬН = а(НЬ)Н = а(ЬН)Н = (а6)(НН) = (аЬ)Н, т. е.
произведение смежных классов аНЬН есть смежный класс (аЬ)Н. 5. Гомоморфизмьгье Фактор-группы. Пусть С группа с элементами а, Ь, с, ... и С -- некоторое множество, в котором определен закон композиции его элементов а, Ь, с, ... Мы будем использовать мультипликативную форму записи композиции: с = аЬ, а элемент с будем называть произведением элементов а и Ь. 253 ОснОВные сВОистВА ГРупп Определение 1. Отображение 1 группы С на множество С '): Г": С вЂ” ЕС (9.5) называется гомоморфизмом, если для любых элементов а е С и Ь а С выполняется соотношение (9.6) у(аЬ) = у(а) у(Ь), где У(а), Г(Ь) и У(аЬ) — образы элементов а, Ь и аЬ при отображении у. При этом С называется гомоморфным образом С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
