Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 36
Текст из файла (страница 36)
чатематическое содержание является аналитическим. однако оно допускает эффективную численную реализацию,:юскольку ядро подхода — аппарат теории матриц. Прн этом аппарат матричных !эператоров позвотяет не только проследить влияние параметров каждого звена системы на ее свойства в целок!. Ио и разработать алгор1ггыы расчета регуляторов для навя!ывания замкнутой системе же.!асмо!о аннами»юского поведения в соответствии с критерием, опрсделякнцим качество ее работы. При рещении сложных инженерных задач с использованием мат. ричпых операторов имеют место вычислительные проблемы, Например.
при минимизацки целевой функции последняя и»!ест»жесткий» или »овражный. характер, что порождает известные трудности. Некоторые алгоритмы могут включать «тань), в реализации которых залейстаованы десятки матриц итерационной процедуры, В качестве примера достатогио сослаться на инженерную задачу синтеза робастных систем с параметрической неопределенностью (см, гл.б), Учет указанных выц)е факторов приводит к необходимости разработки часто весьма с.южных алгоритмов. Как пнщет В.
В. Воеводин. рядом с классической линейной алгеброй ие только существует, ио и успешно развивается совсем»другая линейная алгебра, тга линейная агпебра тесно связана со многимн областямн математики. хходит своими корнями в самые разнообразные приложения. Назыааетск она вычислительной». В настоящей книге базовым является ю!парат матричных вычислений. При разработке сложных алгоритмов, а которых важным являются матричное умножение и другие операции с матрицами. учет факторов вычислительной неустойчивости, а так же «жесткостн» и «овражности« целевых функций !Необходимо пользоваться результатами, получениимн в последни~ годы математиках!И, В качестве та~их работ можно привести статьи.
авторами которых являются Л, Л, Глфимова, С. Ю. Лыса- и Вольтерра 2-го рода: нов. (О. В. Капнтоноаа, И. В. Сергиенко, И. Н, Молчанов, А. Н. Химич„ Б.С.дейнека. А. В.Попов, М.Ф.Яковлев, Е.А. Николаевская, 7.В.Чистякова, Г,Ф, Галба. 7. А.
Герасимова, О.В.Попов, В.И. Мова. Б. А. Стрючеико, О. Л. Перевозчнкояа и др. 2.Ю.7. Некорректнгые задачи и вычислительная неустойчивость. Напомним, что большое число инженерных задач прн решении на ЭВМ неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Для этих задач характерно то. что сколь у~одно малые изменения исходных давгых мо~ут приводить к произяолыю большим изменениям решений. Эти задачи принадлежат к классу некорректно поставленных задач 1118). Если исходные данные известны приближенно, то исустойчияость.
о которой было сказано выше, приводит и практической иеедннстяенности решения я рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении содержания получаемого приближенного решения (ч18). Бажиыы является необходимость разработки метолов решения таких задач. При этом приближенные решения, получаемые по приближенным исходным данным. должны быть устойчивыми к малым изменениям последних. При реализации вычислительного эксперимента. связанного с решением задач исследования н синтеза систем автоматического управления самонаводящихся ракет, может иметь место необходимость решения некорректных задач.
Приведем соответствующие примеры. Головка самонаведения с ги. ростабилизнрованным приводом имеет передаточную функцию вида (218$ А'ь(Ття + 1)х 11 (э)-- ТьТ~ Тзхз + Тд(Т~ + Тз)аз + 7ьл + 1 Ьъат + Ьг а Ьтаз + ЬЬ! а Ер(а) азз'+ ада'+ а~а'+ ао,эз+ атлт+ а)а'+ ао К(а) ' Если пользовать операторами дифференцировании н интегрирования, то структурная схема головки самонаведения может быть представлена в следующем виде (рис.2.27). Структурные схемы головки самонаведения в терминах интегральных уравнений определяются эквивалентными уравнениями Вольтерра 1-го рода: ~ 1",,(1, т) ет(т) дт = ~ Ь„'(Е т) е(т) 4т. (2,249) о 0 Из приведенных выше положений следует, что один я тот же элемент контура наведения может быть описан эквнвалентиымн математическими моделямн, но с точки зрения вычислительных технологии их свойства принципиально отличаются.
Например, структурная схема, представленная на рисунках 2,27,а и 2.27,6, включает дифферен- Рнс. 2.27. Возможные структурные схемы головки самонаведения, которые яяляхэтся элементами контура наведения к кезоч пирующие звенья. а описание головки самонаведения имеет форму интегральнш о уравнения Вольтерра 1-го рода (2.249).
Как раньше было показано, любой элемент системы наведения„ включая лнфференпнрукнцие звенья нли использование 8484 0 форме уравнения 1-го рода, можно 0 обобщенной форме представить в виде 1.де А — матричный оператор. Если А эквивалентен интегральному уравнению Вольтерра (.го рода или оператору дифференцирования, то имеет место отсутствие устойчивости его решения к малым изменениям исходных данных. Отметим, что изменение исходных данных может иметь место не только в правой части операторного уравнения с матричным оператором А, ио н а операторе Л, т, е. мы имеем дело с некоторой другой системой Л.г = Ь, такой, что (3! 2! !)А — А(! Ь. ((Ь вЂ” Ь)! < Ь.
Имея вместо матрицы Л матрицу Л. нельзя высказать определенные суждения о вырожденностн нлн невырожлениости системы уравнений (2.251), Систем с указапнь!ми выше исходными данными бесконечно много, н в рамках известного иам уровня лотре!иности оии иеразлнчи. мы [312!. Среди таких ~возможных точных систем могут быть и вырожденные. Поскольку вместо точной системы в расчетах используется приближенная система Ах = Ь.
то речь может идти лишь о нахождении ярнблнжеииого решению Но приближенная система может быть и неразрешимой (312), Приведем полезные соотношения для частного случая. Имеем тысяч). то прн малой погрешности исходных данных 43Ь возможна очень большая погрешность решения 45л. Задачи. когда К(А) ль 1, часто называют плохо обусловленными. Пример 2,8 (312!. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (2.251), гдеЛМ = В, Л и Ь определяются форм)лами О. 134653 ! 574394464 0.167$97%66235ЮН 0.19091 ! 764Ю52624 О, 1770764705662353 0.1676930566235294 0.262 О 265 0.247 2 0.1909!!7547056624 0.263 О.
261 0,265 0.1779264705662353 0 247 0.266 6.й!5 Ь = (0.3516, 0.4887,0.5!05,0.4818). Ее решение имеет вид 0 6662 ! 62 ! 62 ! 6 1606738798064490430572.. л ! 3 -0.4016891891890723506952166298245477 .. в!3 — О. ! 66554054053997005169401863978424 ! .. Ю13 0,9797297297302797072574940696301115...0!2 Элементы матрицы А известны приближенно, поэтому стоит задача построения приближенного решения системы А1х! = Ь! А! = с о.134653!57439446397 0 1$7$9705$923529309 0.190911764705602391 О. Г77%64705$6235297 О, !6769ЛЮ362752Ю69 0.20ДЮ00000!Ю600Ю10 0 2ЬМОПЮВММЮ000013 0.246999999999999999 0.19091 Ы547ОЯЮ239! 0,265000000ОЗМММЮ13 072$1000000ОООООФЖ7 О.Я60000000000000!4 0 17792647ОЬ66235297 0 246999999969999997 0.26ГМЮООИМХМЮ00014 0.2550000ООООЙООО004 где 43Ь вЂ” погрешность.
порожденная соответствующими факторами. После простых преобразований можно получить зависимость (312! — — ' - — < УА(! (!А '(!— 1 )! 5Ь(! !(бх!! . ! Ь~Ь)! (!7!!! (!Л-'1! ((Ь(! (!'(! " )(Ь(! Последняя формула отражает границы изменения решения у!Ьавнения «2.253) в зависимости от величин К(Л) = ((А()))А )! н —, Число !1,75$ ! !!Ь!! ' К(А); !;'А!! !)А ' 11 называется числом обусловленности оператора А. Ясно. что в наиболее благоприятном случае, когда К(А) = 1, оценка относительной погреипюсти решения — совладает с оценкой !! х!! !«л(! погрев!ности исходных данных.
Если же К(.4) Ъ 1 (имеет порядок к ы д. 8 704 «40 2! = 3.547...0!3, -2.136...0!3, -8,867...4!3,5.216...012. Продолжая компьютерное исследование системы на удвоенной разрядности алгоритмамк, реализующими методы Ванча и Гаусса нз библиотеки Е«праск (312), получаем решения хп„„„ь =. 2.810...012, — 1.694...012, ... — 7 027... 011,4.133...011, хп „ = 3.164...012, — 1.908...е12,... — 7.911...011,4.653...011, весьма лалекие от решения как компьютерной модели задачи.
так н математического результата Причина получения искаженного решения — большое значение числа обусловленности матрицы системы К(А) = 2.089436217259268е'Ь, поэтому удвоенной разрядности недостаточно для получения достоверного решения. Если система имеет квадратную иевырожденную матрицу.
то по- ГРЕШНОСтЬ. ПОРОжДЕННаЯ НстОЧНЫМ ЗаДанНЕМ ИСХОДНЬ1Х ДаНЦЫХ„ОЦЕНН- вается по формуле (312); ,'~~.~:~~ К(А) ~~х)~ и" 1 — гаК(А) ' где А (А) = )!А(! ((А '!! — число обусловленности, ()А! — А)! =- ((бсА(! < %: ел (!(т! $(! = )!Оьб!! < гь. !.О+ с — Ф 1 О. ! !С(л! Понятии хорошо и плохо обусловленной матрицы тесно связаны с вычнслнтельиымн возможностями конкретного компьютера н длины мантиссы машннного слова. В результате одна н та же система может квалнфнцнрояаться для одной длнны мантиссы машннного слова как .машинно плохо обусловленная», нлн почти вырожденнаяе, а для другой — смгннннно хорошо обусловленная» (312). Для повышения точности вычислений используются функция бнблнотекн ()Мр„бос!Ьшой набор которых позволяет органнзовать вычислительный процес с р~з~~й разрядностью.
Как свобод!шя бнблиотека ()МР для произвольной разрядности работает с целымн н рациональнымн чнсламн, а также с чнслами с плавающей точкой (312!. В таблице 2.3 представлены результаты решения СЛАУ методом Гаусса, полученные с удвоенной разрядностью с использованием функций библиотеки сзМР, Легко видеть, что с увелнченнем разрядности получаемое компьютерное решение прнблнжается к точному решению.
В работе (312! подчеркивается, что функцнн библиотеки СсМР позвОля!От задавать разрядиость в начале прОграммы и выполнять вычисления с этой разрядностью, а также нзменять разрядность по мере необходнмостн и процессе вычислений, т. е. Различные фрагменты алгорнтма выполнят~ с разлнчной разрядностью. Этны мОжно воспользоваться для улучшенн» точности решения СЛАУ одним нз прямых методов, организуя нтерацнониое уточнение решения на повышенной РаЗРЯДНОСтп ПО СРОВНЕННЮ С ОСИОВНЫЬ1И ЯЫЧНСЛЕНИЯМНН Реализуя итерационное уточнение решения системы с повышенной разрядностью. за 10 нтсрацнй получено достаточно хорошее прнблнженне к точному решению.
а именно с разрядностью 128 получены 24 верных цифры в решении, а с разрядностью 256 получены 40 верных цифр решения (табл. 2.4), Табл и ц а '2.4, Результат решения с итерационным уточнением длина мантиссы Яаын ирмрам ннроеанин Конньмтсрное ревение системы 360239с ~ 12 -'2 17м)зсе И -9.00599е+ 11 5.29764е+11 0.666199 Г070$6943$65109е!3 -0,40167887337851497738еИ -О 1665497767666927247!бе13 С++ с нсиоаьаоаа инсм бМР 0 666216216216160673879806783,.е13 -0.401689189189072350695216831 ..с13 -0,1665540540539970051$940Ч947, еИ 0 9797297297302797072574945617 .е12 Се ь с нсионьЗоаеииен ОМР зла нтераиионно$О ртОниенне ренмниа О 666216216216160673$79806449174Ж67216$030 с13 0.4®6$9И91890723506952166298245477287Ь59 е13 256 -0.166554054053997005189401863Ч764241392354 сИ 0.979729729730279707257494069630115723ЬЬ973, е12 Таблица 23 Дание мантиссы 3 60239ес 12 -2.17203е+ ! 2 -9.00599е+11 5 29764ен 11 0.666 ! 99107066943565109е И О 40167887337851497738е13 -О 166549776766692724716е13 0,979704О69216725!11902е12 С++ с нсноаьаоиа инем ОМР О 6662162162161606738798067836677102584254е13 -0.4016891$9189072350695216831583$297097735е!3 -О 1665540540539970051894019476345873995266ОИ 0,97972972973027970725749456Г725!937251362е12 О 6662162162161606738796064490430572168030„ е13 -О 4016891$91890723506952166298245477287559 .е13 О !665540540539970051$940186397$4241392354..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
