Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 37
Текст из файла (страница 37)
е13 0.9797297297302797072574940696301!572355973 с!2 Изученне алгорнтмов. прил!сменных к решекню задач построення математических моделей, нсследовання САУ прн детермннированных случайных воздействнях, решение задачи синтеза регуляторов и ста. тистнчески оптимальных фильтров позвОЛИ30т заключить, что умно" жение матрицы на вектор н матрицы на матрицу — базовые макрооперацнн. В работе 1312! именно на этих макрооперациях проведены Исследования по Использованию функ!01Й бМР в программах с организацией параллельных вычнсленнй с помоцгыо МР1, написанных па С++.программ, В табл.2.5 приведена сравнительная характеристика времени выполнения с помощью парзллельной С++-программы без использования функций СсМР н с использованием функций СсМР в анде одно~о МР1-процесса, а также в энде нескольких МР1-процессов. Результаты позволяют сделать вывод, что время решеннн задачн с разрядностью 64 с помощью параллельной С++-программы с нспользованнем функцнй сзМР значительно увелнчнвается по сравнению со временем решення с удвоенной разрядностью с помощью параллельной С++-программы без нспользояанмя функций С!МР, а с ростом порядка матрицы эта разница уменьшается (312!.
Таблица 2.5. Сравнительная характеристика времени выполнения без нс. пользования н использования 6МР Из сказанного следует, что для плохо обусловленных систем с точно заданными исходиымн даниымн. используя функции библиотеки ОМР для повышения разрядности вычислений. Можно получить решение с необходимой точностью, Время рецшния задач с помощью программ, использующих функции библиотеки ОМР, уменьшается с ростом объема задачи. Функции библиотеки ОМР целесообразно использовать как в традиционных последовательных, так и в параллельных программах (3121.
Приведем положение, которое касается ключевого вопроса — нсслезования и синтеза устройства формирования команд сложного контура наведения, содержащего десятки элементов, математические модели ьоторых матричные !Нюрзторы. Основной аппарат решения задач ксследования н синтеза САУ— алгебра матриц. О то !ности расчетов можно судить по оценкам чисел обусловленности матриц матричных операторов элементов системы, В Основном задача получения хороцю Обусловленных матриц оператороа элементов системы достигаетск для класса стационарных скаляршзх элементов использованием структурной схемы, представленной на рнс.
2.31. з и содержзцгей толькО ннтеграто»ьы нли по'!учением матричного оператора, эквивалентного интегральному уравнению Вольтеррз 2 рода. Для класса элементов с переменными параметрами целесообразен переход к интегральным уравнениям 2 рода. Близкой по содержанию является проблема построения корректных чзтематнческих моделей элементов, особенно в части, относящейся к нелинейным зясньям В июне 2007 г. в Санкт-Петербурге проходил Международный кон.
!рссс Нелинейный динамический анализ-2007», на котором возникла дискуссия 0 коррсктнОстн ызтемзтнч!'скнх моделей физических !ФО!шс сов и корректности соотпетствуюн!Их им вычислительных нроцелур. Академик РАН С. К. Годуноп н профессор 10, М. Петров предложили В. Ф. 3здорожному изложить спою точку зрения на это! вопрос, в частности. Зля первого метода Ляпунова. Соответствующие положения излагаются ниже (145(. В работе (145( указано, что проблема достонерностн результатов содержит двз естественных аспекта: дО!'токсрность мзтеыатнческОЙ мод!.ли динзмнческоЙ системы (ДС) и достоне1шость ызтсызт!и!Сскнх расчетов. Основанных на этой мопс!!н.
Ставится зздзчз оценкн отклонения эшшннного ршцш!Ия от мзтематическо!о. Отм!»Тим. Чтц последн!.го можем и не знать. Здесь применимо замечание А.Эйнштейна: Если теоремы математики прилагая>тся к отражению реального мира, они неточны, они точны до тех пор. поки не ссылаются на действительность». В действительности данньм. Снятые с датчиков Д( для денна их в уравнения динамики, никогда не могут быть точными, для корректности вычислительного про!шсса необходимо сначала составить фазовый портрет динамической системы. Детальное рассмотрение понятия ДС приведено в (145(. Фазовый портрет ДС является фазоныы пространством со стацнонарнымн фазовыми кривыми Точка положения равновесия .го является также фззозой кривой.
Исходные данные для прикладных задач с начальнычи услозиямн задаются приближенно, т.е. с некоторой погрешностью. Эта погрешность может существенно исказить решение н не только в колнчествен. НОМ НЛЗНЕ, НО И КЗЧЕСТВЕННО, Т, Е. ВМЕСТО ПОЛОЖСНИЯ РЗВНОВЕСИЯ Можст возникнуть колебательиый режим. Рассмотрим простой пример (!45!. Будем искать решение задачи Коши следующего уравнения: Общее решение уравнения имеет внд я(К г1 = ! + г + се'.
При заданном начальном условии находим, что с = О, а л(100! = 101. Рассмотрим теперь задачу с возмущенными начальными условиями общее решение уравнения имеет вид х(Кс'1 = 1+ 1+ с'»», где с' = = 10 а, а х(!00) - 2,7 10зт, Таким образом„небольшое изменение исходных данных сильно изменило решение, В связи с этим правомерен вопрос; когда малые изменения начальных данных вызовут малые изменения решенийу Как известно, при рассмотрении локальных решений из этот вопрос Отв~ч~~т теорема О н~пр~р~вн~Й зависимости решений от начальных данных. Если же рассматривается глобальная картина поведения решений. то на этот вопрос отзе !ает теория устой- чнвости движения, Однако нужно отметить, прежде всего, что рассматриваемая модель физически несостоятельна.
Следовательно, при ее составлении допу1цена ошибка, т.е. может использоваться неадеквзт1шя идеализация, при которой имело место пренебрежение каким-либо малым эффектом. способным качественно изменить поведение особых точек. Кроме того, допу1иение, что лннеЙиая системз корректная на всем одномерном пространстве 16 очевидно несостоятельная. В (145) сделано следующее эзкл1очепие: Анализ динами~еской системы нужно выполнять, используя комбинированный метод: а) построить фазовый портрет исследуемой динамической системы; 6) для фазовых областей, лежюцих далеко.
от особых линий, интегрировать «пол1ошью шслспиь1х методов, а когда полученные таким способом решения подходят достаточно близко к ним, применить качественные методы анализами, 2.$0.8. Вапрасы вьлбарз базиса и приближения решений апервтариых урзвиеиий.
В методе л1атричных операторов ключевым является вопрос приближения функций (166-173). Основное внимание зелено решению задач зппр1жснмзции с помощью ортонормирован. иых систем (ОНС). Ориентация на применение ОНС н нз решение «оответствующих задач приближения в 1.т(О„Т) связана с инженерной направленностью книги. Прнмене1шс ОН(.
имеет место прн решении П1нроко10 спектра ниженерных задач. разработаны соответстВу1оцгее алгоритмическое и программное обеспечение. Зто — привычный и весьма эффективный инженерный аппарат. Однако это лишь локаль* нос направление а мошном аппарате. Задача которого — изучение актуальных проблем приближеннЯ функций: построение и раэВитне георетических положений. разработка алгоритмической базы с соот" ветстВуюцгими Возможностями для решения инженерных задач и т. д. Проблема же наилучшей (равномерной) чебышев«кой аппроксимации функции х„(Г) на интервале (1О,Г) основана на чебышевском принципе л1инимнэзции величины меры р Омерн о приближения ГХ„) — — ШЗХ (Хл(Г) — Х,„(Ер1, р1....,р„) Н СОСтант В НЗХОждвинн таКОГО аппроксиманта степени з с набором коэффициентов р1,рт,.... р„из всей совокупности аппрокснмаитов х, степени < з.
который удовлетворяет условию минимакса )11х.) = пйц, где х,(Г) — непрерывная на (0,7) функция, пйи )(х,', — наименьшее возможное значение меры равномерного приближения. Постановка задачи нахождения наилучших чебышевских аппроксичантов может быть представлена так (166-173): П1ВХ )ХЧ(Г) — ) л(Г.) )) = 711р.) = И1)П.
ГП1П 7(р,) = 7(П.(!)' = р. 1е1о т! ' и. и. гОвх )х,(Ц вЂ” г.(Ер)) = 71«„) = ппп, П11П1(г„) = 7(Й„(1)1 = 4, ~ ~:"». 11 где П,(г) к К,(г) — полиномиальпый н дроб1ю-рациональный наилучшие чебышевскне аппрокснманты. а р н б — соответственно в~личины их иаилуч1цих приближений. В предложенном Н. С, Бахяаловым алгоритме использоиана запись п1ллнномов в виде лннейнои комбинации многочленов Чебышева, что позволяет существенно уменьшить погрешность при вычислении значений полинома Алгоритмы могут прниенятся как для аналитически. так и для ДИСКРЕТНО ЭЗДЗИНОЙ ФУНКЦИИ ЛЧ(1).
Полное изложение теоретиче«ких положений, а также «одержание н вопросы оптимизации злгорнтмон приведены в работах (21, 39, 39-*12, 108, 112, 1!6, !66-173). Основы теории наилучшего равномерного пркблнжепия функций заложены П.Л.Чебыц1евым (1821-1894) и развиты в начзле прошло. го столетия в работах С. Н, Бернштейна. П. Кпрхберга. Ш..Ж. Валле. П)осана, Систематическая разработка обпшх численных подходов ллк решения задачи чебьппевско1о приближения началась только в 1933-1934 гг, с появлениел1 фундаментальных работ Е. Я. Ремеза (170), предложившего двз теоретически Обош1овзнных метода (первый и второй), основанные на способе последовательных чебып1ев«ких приближений. Однако вычислнтельнзи сложность мощного ащ1арата чебьццевской аппроксимации. который охватывал тикке разделы численного анализа, кзк решги1ие «нстел1 линейных, нелинейных н дифференциальных уравнении„ алгебру матриц.
действия с цепными дробями и лплогочленал1Н, буаеву за«Тору с ~д~ой стороны, и огра~и. ченные Воэможности суц1ествовавшнх нз тот периОЗ вычислительных ~р~дств — с другоЙ, не позволяли ~о~учат~ иа практике нанл)чшне зппроксимзнты, Возмо1кность числснпоЙ !Теалнэации аппарата в 1гелом появилзсь тОлькО с сОэдаиием компьютеров. В!95! г. в Киеве была создана первая в Европе Малая электронная счетная машина МЗСМ, а начиная с конца 1950-х гг. быстро увеличивался парк отечественных ЗВМ вЂ” ~Киев., Стретз~, Урал., М-20, М-220.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
