Меркулов В.И., Дрогалин В.В. Авиационные системы радиоуправления. Том 1 (2003) (1151997), страница 23
Текст из файла (страница 23)
УСТОЙЧИВОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ Линейный оптимальный фильтр представляет собой нестационарную динамическую систему с обратными связями по наблюдаемым фазовым координатам (п. 3.6.1). В связи с этим устойчивость фильтров Калмана можно оценивать по любому из критериев, применяемых для линейных нестационарных систем.
Для определенности в дальнейшем будем полагать, что процессы наблюдения и состояния характеризуются соответственно уравнениями (2.16) и (2.13), регулятор функционирует по закону (3.35), а фильтр — по закону (3.61). Подставляя (3.35) в (3.61), будем иметь модель контура фильтрации в виде векторно-матричного уравнения: х = Рх - ВК'В'0,х + К4(в -Нх)= Р х + Кех, (4.7) в котором Р,=Р— ВК В'О,— К Н— (4.8) динамическая матрица собственной фазовой траектории„а К,!,г — внешнее воздействие.
Подставляя (4.8) в (4.2), получаем пе((г! — )ь!Е] = О. (4.9) Для обеспечения устойчивости процесса фильтрации (4.7) необходимо и достаточно, чтобы для любого момента времени корни уравнения (4.9) имели отрицательные вещественные части. При соблюдении условия наблюдаемости (2.23), (2.25) фильтр Калмана будет асимптотически устойчив 143, 47). В таких условиях фильтр теоретически обеспечивает получение сходящейся оценки х, для которой характерно уме- !10 ньшение во времени дисперсий ?)ь (3.63) ошибок фильтрации от их наибольших первоначальных значений ?3„(0) до наименьших в установившемся режиме. Однако практика свидетельствует о том, что в фильтрах Калмана, для которых теоретически выполняется условие иаблюдаемости, может иметь место явление расходимосги. Под расходилюстью понилшется значительное превышение реальнылли дисперсиями ошибок цли~ьтрации пюго их уровня?Эн, которьш бы предсказан теоретически соотнои ениями (3.63).
На рис. 3.2 сплошными линиями, дающими представление о возможных изменениях дисперсий в ходе фильтрации, отображается процесс сходимости, а пунктирными — эволюции реальных дисперсий в процессе формирования расходящихся оценок. Основными причинами расходимости являются: неточности исходных моделей (2.13) и (2.16), используемых при синтезе фильтров; отсутствие точной априорной информации о законах распределения и спектральных плотностях возмущений, сопровождающих оцениваемые процессы и наблюдения; отсутствие точной информации об априорной статистике х (О) и Р(0) начальных условий, используемых при реализации алгоритмов оценивания; ошибки вычислителей, которые определяют коэффициенты Ка (3.62), (3.63) и реализуют сам процесс фильтрации.
На примере аналогового линейного оптимального фильтра проанализируем особенности функционирования, которые непосредственно влияют на его устойчивость и могут привести к расходимости формируемых оценок. При этом будем полагать, что имеют место все перечисленные причины, способствующие появлению расходимости, Следует отметить, что полученные при этом выводы имеют смысл и для дискретных фильтров.
Упомянутые особенности функционирования обусловлены: наличием ООС только по наблюдаемым фазовым координатам; зависимостью корректирующего влияния невязки х-Нх на оценку х от точности фильтрации; усилительными свойствами и точностью устройств, формирующих наблюдаемый процесс; формой принимаемых радиосигналов; размерностью фильтра и продолжительностью его работы. Первая особенность предопределяет тенденцию фильтра к расходимости, когда число пз наблюдаемых параметров меньше числа ?ч? оцениваемых координат. Отсутствие в фильтре ?ч?-ш ООС при наличии ошибок вычислителей может привести к неустойчивости. Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим гипотетический фильтр, предназначенный для оценки расстоянияД междудвумядви- 111 жушимися объектами, их радиальных скорости Чр и ускорения )р.
При этом будем полагать, что взаимное перемещение объектов соответству- ет модели равноускоренного движения, т.е. (4.10) Рп Р, Р, 13п 11ы Рзз ' (4.12) Рз! 1.232 РЗЭ н;-[ К =[2Р /О 2Рп!бн 2Рп% 1 где матрица В задана в общем виде. Тогда в соответствии с (2.25); 1 0 0 [н; р'н; [р З н;]= о 1 о . 0 О 1 (4Л 3) Поскольку ранг матрицы (4.13) равен размерности оцениваемого процесса (4.10), то этот процесс является полностью наблюдаемым, а синтезированный на основе (4.10) и (4.11) фильтр асимптотически устойчивым.
Структурная схема этого фильтра, полученная на основе использования (4.12) в (3.61), приведена на рис. 4.1. Проверим устойчивость фильтра, используя условие (4.9) с учетом того, что в (4.10) отсутствует управление. Подставляя (4.12) в (4.8) и (4.9), получим 112 Наблюдаемый процесс Д.
=Д+ч„, (4.11) где Г„ — белый шум с односторонней спектральной плотностью 0„ формируется РЛС в режиме автосопровождения. Будем считать, что заданные распределения начальных условий (4.10) соответствуют требованиям, выполнение которых необходимо для корректного синтеза фильтра. Начальные условия для матрицы Р (3.63) задаются в общепринятом виде: Рз~(0)ФО, Р22(0)ФО, Рзз(0)ФЭ, Рзз(0)=Раз(0)=0, Р|з(0)=РЗ~(0)=0, Рзз(0)=Ри(0)=0.
Здесь Р~ ь Р22 и Рзз — дисперсии ошибок оценивания дальности, скорости и ускорения, а Рр (Ы)) — взаимные дисперсии ошибок фильтрации соответствующих координат. С учетом (4.10), (4.11) и (3.62) все матрицы, необходимые для определения критерия наблюдаемости (2.25) и формирования характеристического полинома (4.9), имеют вид: -2РП/С, -),.
бе(~Г, -),К1=бе( -2Р„/С„ 2Рз1/Сд О О =О 1 -Х; Отсюда вытекает характеристическое уравнение )ьх+2Р )~х /С +2Рз,Х; /С +2Рз, /С„= О. (4.14) Д Рис. 4.1 сумматоры. В результате увеличатся невязки Дд -Д, ошибки оценивания ускорения и скорости и т.д.. Очевидно, что тенденцию фильтра к расходи- мости можно ослабить, увеличив число наблюдаемых координат. Такой прием, приводя к увеличению числа обратных связей, улучшает компенсацию погрешностей работы фильтра, в том числе и обусловленных неточностью функционирования вычислителей. Необходимо подчеркнуть, что 113 Принимая во внимание начальные условия Рз,(0)=0 и Рм(0)=0, на основании (4.14) можно утверждать, что, несмотря на выполнение условия наблюдаемости (4.13), синтезируемый фильтр может быть неустойчивым, если в начальные моменты времени в результате ошибок вычислителей вместо Рм(О >О и Рм (г)>0 будут иметь место значения Рз,(г)<0 и Рз~(г)<0.
Изменение знака Рм и Рэ~ в первую очередь приведет к ошибкам оценивания )р и Ур. Отсутствие ООС по этим координатам (см. рис, 4.1) может сопровождаться существенными ошибками оценивания дальности за счет смены знака корректирующих сигналов, поступающих на наличие в (3.61) корректирующего сигнала Вп, предопределяемого использованием сигнала управления и, также улучшает устойчивость и снижает тенденцию к расходимости за счет уменьшения в (4.14) числа коэффициентов, близких к нулю, которые наиболее критичны к точности работы вычислителя. Коррекция коэффициентов вызывается наличием в(4.8) и (4.9) слагаемого ВК 'В'О, .
Вторая особенность связана с тем, что в фильтре Калмана, обладающем наивысшей теоретической точностью в установившемся режиме (наименьшими дисперсиями ошибок фильтрации), осуществляется наименее действенная коррекция результатов прогноза Рх+Вп обновляющим процессом к-Н х. Это обусловлено тем, что в установившемся режиме коэффициенты матрицы КЕ принимают свои наименьшие значения. Если во время работы фильтра ошибки прогноза Рх+Вп, которые накапливаются в процессе интегрирования, начнут превышать поправки, вносимые невязкой, то реальные ошибки фильтрации будут увеличиваться.
Следовательно, фильтр может расходиться, несмотря на выполнение условий (2.25) и (4.5). Рассмотренная особенность проявляется в наибольшей мере тогда, когда в процессе синтеза не учитываются шумы „в уравнениях состояния. Если С„=О, то при 1-+ коэффициенты матрицы В (а соответственно и Ке) стремятся к нулю, и фильтр вообще перестает реагировать на поправки обновляющего процесса. В структурном плане это адекватно размыканию цепей ООС по наблюдаемым координатам и возникновению неустойчивости. Данное утверждение может быть проиллюстрировано на примере уравнения (4.14) при Оп( )=О.
Из проведенного анализа следует, что тенденция фильтра к расходимости наиболее сильна при малых значениях коэффициентов О„. матрицы 0 (3.63). По времени это соответствует начальному этапу работы и функционированию в установившемся режиме. Наличие ошибок вычислителей при достаточно малых значениях коэффициентов матрицы В может привести к потере ее неотрицательной определенности.
В структурном плане это соответствует замене ООС на положительные, что и предопределяет возможность формирования расходящихся оценок. Необходимо отметить, что ошибки вычислителей особенно сильно сказываются при достаточно больших шагах интегрирования (интервалах дискретизации), сравнимых с постоянными времени процесса оценивания (4.7).
Еще одним последствием неточностей вычислителей, которое может привести к усилению расходимости, является нарушение симметрии матрицы В в процессе вычисления ее коэффициентов. 114 Состав, усилительные свойства и точность устройств наблюдения также существенно влияют на устойчивость фильтров Калмана.
Неудачно подобранный состав измерителей (2.16), при котором не выполняется условие наблюдаемости (2.25), приводит к неустойчивости и расходимасти фильтра. Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим еще раз пример (4.10) синтеза фильтра при условии, что вместо дальности доплеровским измерителем наблюдается скорость (4.15) Наблюдение сопровождается случайными погрешностями ~„в виде белого шума с односторонней спектральной плотностью С,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
