Меркулов В.И., Дрогалин В.В. Авиационные системы радиоуправления. Том 1 (2003) (1151997), страница 18
Текст из файла (страница 18)
АлГОРитмы ОптимАльиОЙ лиикйиОЙ ФильтРАЦии Одним из наиболее широко используемых на практике является алгоритм оптимальной линейной фильтрации 129), именуемой также фильтрацией Калмана. При наличии наблюдений (2.16) мател~атическийаппарат теории оптимальной линейной фичьтрации позволяет для ООУ (2.13) сформировать оптимальную по критерию лшнииулса суммарной дисперсии ошибок М((х — х)" (х — х) ) оценку (2.18), используя алгоритм: х=рх+Вц+К„(х — Нх), х(0)=хо,. (3.61) Кф —— 2РН'С„'; (3.62) Р = ЕВ+ РЕ' — 2ВН'С„'НР+ 0 5С„, Р(0) = Ро. (3.63) Здесь  — ковариационная матрица ошибок фильтрации, характеризующая потенциальную точность оценивания; С„и ф— соответственно матрицы односторонних спектральных плотностей шумов си измерений (2.16) и возмущений Ь „(2.13). Анализ (3.61) — (3.63) позволяет сде- лать следующие выводы.
Фильтр представляет собой линейную нестационарную систему, в которой число обратных связей определяется числом наблюдаемых фазовых координат. В процессе фильтрации вьиолняются две операции: прогнозирование х=Гх+Ви (3.64) оцениваемого процесса, осуи1ествляелсое по детерлшнированной части людели (2.13), и коррекция К4(х — Нх) результатов прогноза. Коррек- тирующая поправка зависит от невязки х-Нх, называемой также обновляющим процессом. Невязка характеризует степень несоответствия результатов прогноза наблюдения Нх, вычисляемого по детерминированной части (2.16), и конкретного измерения х.
Очевидно, прогноз (3.64) не соответствует реальному состоянию оцениваемого процесса В2 (2.13) в такой же степени, в какой прогноз Нх измерения не соответствует его реальному значению к. «Вес» поправки определяется переменным матричным коэффициентом усиления Кв (3.62). Ма>прочный коэффициент К>, определяется точное>пью априорных сведений о состоянии оценнваемого процесси (2.13) п пабл>одепинх (2.16). Если модель (2.13) грубая, т.е. процесс х в значительной мере искажается шумами ц,„а измеритель (2.!6) точный, то коэффициенты матрицы С„ велики, а коэффициенты матрицы Сь малы.
Большие спектральные плотности С„предопределяют большую величину дисперсий Р (3.63), что совместно с большим значением С „' обусловливает большие коэффициенты Ке (3.62). В результате в процессе фильтрации такая неточная экстраполяция состояния, выполняемая по грубой модели (2.13), будет в значительной мере корректироваться невязками х — Нх, которые формируются по точным измерениям х. Если модель состояния точная (С,ь малы, > = 1,!Ч ), а измеритель неточный (См — велики, 1=!,пэ), то Кы> мань> и корректирующая поправка точного прогноза будет мала. Необходимо, однако, подчеркнуть, что даже в такой ситуации точность оценки превышает точность измерения этих же фазовых координат. При использова>пш алгорипьиа (3.61)-(3.63) необход»л>о решать систему из (ч! > =(ч(+0,5 )ч(Я+1) (3.65) диффереициальнь>х уривнепий.
В (3.65) первое слагаемое характеризует число уравнений, которые должны решаться при формировании оптимальных оценок (3.61). Второе слагаемое (3.65) определяет число уравнений для вычисления коэффициентов усиления Ке (3.62), (3.63). Как и для оптимального управления (3.22) и (3.24), здесь сказывается влияние «проклятия размерности», в том, что при увеличении размерности вектора состояния (2.!3) фильтр неадекватно усложняется за счет значительного роста числа уравнений, которые необходимо решать при вычислении !3 (3.63). Для стационарных процессов (2.13) и (2.16) матрица !3, вычисляемая в процессе решения уравнений Риккати (3.63) на основе априорных сведений, может быть сформирована заранее, что позволяет существенно упростить процедуру формирования оценок.
В об>цел> случае по л>ере увеличения врел>епи фильтрации дисперсии Эь ул>епыиа>отся от своих первопачалы>ых больишх значений 1)в(0) до су>цествеино л>енышп значений в устаповпвшипся рез>с>м>е. Возможный характер эволюций 1Э„ 83 па во времени иллюстрируется на рис. 3.2 сплошными линиями. Такой характер изменений Ра приводит к тому, что в ходе фильтрации уменьшается влияние корректирующей поправки К,ь( х — Нх ) на результаты экстраполяции оцениваемого процесса. Поскольку точность экстраполяции (3.64) со временем ухудшав ется за счет накапливания ошибок интег- рирования, то снижение влияния коррекРис. 3.2 тирующих поправок может привести к ухудшению реальной точности фильтрации и ее несоответствию теоретическим показателям, вычисленным по уравнению (3.63).
Начальные условия для (3.61) и (3.63) определяются с учетолг первоначальной неопределенности аг1ениваемых фазовых коарданаль При этом можно использовать различные приемы назначения хв и 1)в. В простейшем случае х,(0) =х,в выбирается как среднее из всех возможных ее значений: х,(0)= 0,5(х;,„+х; м). (3.66) Тогда при гауссовском законе распределения х,(0) дисперсии можно определить по формуле: Ра(0)=(х,„„„— х; м) /36. (3.67) Остальные коэффициенты Р„(0) матрицы Тз(0) обычно полагаются равными нулю. Если возмущения в (2.!3) и (2.16) не белые, то для них составляются уравнения формирующих (выбеливающих) фильтров, которые включаются в состав модели состояния (2.13).
Такой прием, основанный на расширении вектора состояния, усложняет алгоритм (3.6!) — (3.63) фильтрации из-за влияния «проклятия размерности». Аналогичный прием можно применить и к инерционным измерителям, функционирование которых описывается дифференциальными уравнениями. Способы, позволяющие учесть небелый характер возмущений и инерционность измерителей без расширения вектора состояния, рассмотрены в !29, 47). Алгоритмы фильтрации полей и с использованием измерений с запаздыванием приводятся в [49).
Для дискретных процессов (2.20), при наличии наблюдений (2.21) алгоритм оптимальной фильтрации определяется рекуррентными уравнениями: 84 х(1с)= х, + К,1,(!с)(х()с) — Н()с)х.,~; х, =Ф()с,й-ЩК-!)+В(й-!) ()с-!), х(0)= „; (3.68) (3.69) К„,()с) = В()с)Н'()с)В„' ()с) = В()с, )с — !)Н ' ()с)эс х ~н(й)в(й, й — !)н" (й)+ в„(й)~'; (3.70) В(1с) = (Š— Кф()с)н()с)фЭ()с, 1с — 1), В(0)=Во, (3.71) В()с, 1с — 1) = Ф(1с, 1с — 1)В(1с — 1)Ф'(1с, 1с — 1)+ В„(1с — 1) . (3.72) 3.6.2. АлгОРИтм ОптимялъиОй экстРАпОлЯЦии Спецификой работы РЭСУ является достаточно частое пропадание радиосигналов на входе приемника из-за амплитудных флуктуаций и выхода за пределы полосы пропускания.
Кроме того, потери сигналов могут иметь место и из-за воздействия различного рода помех. В свою очередь пропадание сигналов, помимо прекращения поступления информации в ИВС, может привести и к срыву процесса наведения. Исходя из этого, для обеспечения функционирования следящих радиоэлектронных систем и потребителей их информации необходимо хотя бы в течение некоторого времени иметь сведения о фазовых координатах, используемых при наведении, и при отсутствии входных сигналов. Однсии из возлсозсспых путей сохранения лифаря~ниии, содерясащейся в радиосигналах, является использование алгоритлсов оптсииального оиенивапия с прогневал~ (предсказанием) состояния оисп процессов, Примем во внигиаиие то, что процессами, информация о которых сосредоточена в радиосигналах, невозможно управлять, Поэтому задача оптимального прогноза (зкстраполяиин) форл~улируется 85 В этих уравнениях В()с) и В()с,!с-1) — апостериорная и априорная ковариационные матрицы ошибок фильтрации.
Поскольку (3.68)-(3.72) — дискретный аналог (3.61)-(3.63), то для него справедливы все выводы, полученные при анализе аналогового алгоритма. Различие мезкду нилт — зависимость точности фильтрации от иптЕРВапа диСКРЕтиэаиии Ат=тл-слч — ОбЪЯСНЯЕтСЯ тЕМ, Чта Ат ВХОДИТ В состав некоторых коэффициентов матрицы Ф(1с,1с — 1). В (3.70) объединены два алгоритма вычисления коэффициентов Кь. Последний чаше используется при малых значениях коэффициентов матрицы В„, поскольку это может вызвать трудности при численном обращении этой матрицы в ЭВМ. следуюсчихс образом. По результатам (2.16) на момент времени й необходимо сформировать оценку х (сг) процесса х(1) = Е(1)х(1)+ Г,» (1) (3.73) при сг>1ь наилучшую в смысле минимума СКО оценивания.
Следует отметить, что (3.73) получено из (2.13) при условии п=О. Учитывая (3.73), можно оценить будущее состояние оцениваемого процесса, если использовать заложенные в нем связи. Используя формулу Дюамеля [47], получаем «()г)=Ф()г 1~)х(1~)+ (Ф(1г '4х(т)с)т (3.74) ц где Ф(сг,т) — фундаментальная матрица (матрица импульсных характеристик), связанная с невозмущенной частью (3.73) соотношением ) = Г(1)Ф(1, т), Ф(т, т) = Е . (3.75) д1 Как и в алгоритме фильтрации (и. 3.6.1), в качестве оптимальной оценки рассматривается условное математическое ожидание (2.18).
Поэтому, применив к (3.74) операцию условного математического ожидания, найдем х(1г) = М(х(1г) $ ( ) = Ф(гг,1,)М(х(1!) $ ( )+ )Ф(1~, )М(~,( )~ (, ))с) . ц (3.76) Так как шум г,„(т) на интервале ц<1<гг никак не связан с результатами измерений в момент времени ьо то МД„(т) (~,1,) =О. Тогда из х(1, ) 86 (3.76) следует х(1г)=Ф(1г,1,) (1,), где х (й) — оценка, получаемая в соответствии с обычном алгоритмом фильтрации (3.61) — (3.63). Закон (3.77) определяет правило оптимального оценивания в режиме прогноза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
