Меркулов В.И., Дрогалин В.В. Авиационные системы радиоуправления. Том 1 (2003) (1151997), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В связи с этим весьма актуально аналитическое отыскание коэффициентов штрафов, позволяющих обеспечить устойчивое функционирование РЭСУ с максимально высокой точностью при заданных ограничениях сигналов управления. Наиболее просто и наглядно эта задача решается для РЭСУ, оптимизированных по локальному критерию (1,5). В математическом плане задача формулируется следующим образом. Для РЭСУ с заданной частью (2.7), предназначенной для отработки многомерного процесса (2.8) той же размерности при наличии наблюдений (2.16), найден закон управления (3.35), оптимальный по минимуму локального функционала (1.5) без учета каких-либо ограничений. Необходимо в (3.35) и (1.5) определить коэффициенты матриц О и К, обеспечивающие максимально высокую точность функционирования в установившемся режиме при заданных ограничениях ц„<()„„„ () =1,г) и Тм<Т„„, (1=!,п ) на сигналы управления Ц„ч и постоянные времени Т„, переходных процессов при отработке ошибок.
В дальнейшем будем полагать, что выполняются следующие допущения: фильтры РЭСУ формируют сходящиеся оценки х., и х„; пара Е„и В, в (2.7) управляема; известен вектор максимально возможных ошибок Ахах~(0)ху(0) (3.47) одного знака, который имеется в начальный момент работы РЭСУ. 77 Допущение о наличии ошибок одного знака обусловлено тем, что в такой ситуации имеют место максимально возможные сигналы управления и наиболее трудно удовлетворить ограничению п1<()„„; . На основании теоремы статистической эквивалентности (разделения) можно утверждать, что для ЛКГ задачи закон управления (3.35) аналогичен закону, сформированному по детерминированным моделям (2.7), (2.8), (2.16), при замене в последнем фазовых координат х„и х, их оценками х, и х„, Поэтому в дальнейшем будем полагать в (2.7), (2.8), (2.16) с „=О, Ц„=О, Ц„=О, х, =х, и х .
=х„. Тогда иа основании (2.7), (2.8) и (3.35) ошибки функционирования Ах=к,— х, РЭСУ определяются соотношением Ьх — х, — х„— Е„хт + Е„х, — Г„х, — Р х„— В„К В 9(х, — х„)— = (ń— В„К ~В„Я)Лх+(Р, — Е„)х,, (3.48) представляющим, в общем случае, систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Анализ (3.48) позволяет сделать следующие выводы. Поскольку пара Р, и В, управляема, то гарантируется устранение ошибок функционирования от максимально возможных значений Аха (3.47) до установившихся Ах„, обусловленных вынужденной составляющей (Г„-Р„)х,. Размеры ошибок Ах,„., зависят как от самого процесса х„, так и от степени соответствия заданной части РЭСУ требуемому процессу. Если заданная часть (2.7) адекватно отображает требуемый процесс (2.8) (Рт =Г„), то Ах„„=О.
Характер переходных процессов (постоянные времени и величины перерегулирования) при устранении ошибок Ьх определяется корнями )., характеристического уравнения де((Е)ь; — Е„+В„К 'В'9~=0, (3.49) где Š— единичная матрица. В свою очередь, значения Х,зависят от отношения штрафов за точность слежения и сигналы управления, определяемых в (3.49) коэффициентами матриц () и К. Следовательно, задавшись постоянными времени Т„„, и величинами перерегулирования, на основании (3.49) можно предъявить требования к значениям коэффициентов штрафов. При этом эти коэффициенты должны быть такими, чтобы одновременно выполнялось условие ц=К 'В"„'ОЛх„(()„„а, (3.50) 3.5.2.
ОптимизАЦиЯ кОэФФиЦиентОВ штРАФОВ ФУИЕЦНОИАлА КАЧЕСТВА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ В математическолг янине задача оптимизации коэффициентов штрафов функциоггшга качестви для дискрепшыл систелг форлгулируется следуюгцилг образом. Пусть для дискретной системы ху()с) Фу()с )г 1 )ху()г 1 )+Ву()г 1 )ц()с 1 )+ Ру у()г 1 ) (3 5 1 ) предназначенной для отслеживания процесса (3,4!), при использовании измерений (2.21) с учетом (3.39) найден закон управления ц(1с) = В(Ф,()с,)с — 1)х,(1с — 1) — Фу()с,1с — 1)ху(1с — 1)~, (3.52) В [К +Ву(зВу)Ву(~ (3.53) оптимальный по минимуму локального функционала качества (3.36) и не учитывающий никаких ограничений.
Необходимо в (3.36) и (3.52), (3.53) найти элементы матриц Оу и К, обеспечивающие максимально высокую точность слежения в установившемся режиме при данных ограничениях и<11яп„, (1=!,г) и Т„,<Ты,„„, (! = !,п ) на управления и, и постоянные времени Ти, переходных процессов при ликвидации первоначальных ошибок слежения. 79 где Юл,п=((зл,ы 17л,чз ... 13„„ь„)' вектор допустимых значений сигналов управления.
Смысл неравенства н<11т, состоит в том, что каждый компонент и, вектора и не превышает соответствующего компонента 11л„„, вектора 1)л„(1=!,г). Если в (3.48) Р,~Гу, то при необходимости можно учесть дополнительное ограничение на коэффициенты штрафов, накладываемое допустимыми установившимися ошибками. Для этого нужно найти частное решение неоднородного уравнения (3.48), определяющее ошибку гаку„.
7акилг образоле коэффициеаты штрафов за точность фуикционировиния и сигналы управления могут быть определены в процессе совлгестного решения уравнений (3.48) — (3.50). Следует отметить, что с достаточной для практики точностью постоянная времени (полоса пропускания) РЭСУ определяется наименьшим из корней 2, характеристического полинома (3.49). Примеры использования рассмотренной методики выбора коэффициентов штрафов для конкретных случаев оптимизации радиоэлектронной следящей системы приведены в п.п. 10.6.1 и 11.5.3. Будем считать, что фильтры РЭСС обеспечивают формирование сходящихся оценок х и х,, пара Ф,  — управляема и в начальный момент времени имеются максимальные ошибки одного знака Лхс=х.,(0) — х„(0).
(3.54) Предположение об ошибках одного знака обусловлено тем, что в этом случае будут иметь место максимальные сигналы управления и наиболее трудно обеспечить ограничение и;<Ц,„.. Основываясь на теореме статистической эквивалентности, можно считать, что для линейно-квадратично-гауссовской задачи закон управления (3.52), (3.53) аналогичен закону, полученному по детерминированным моделям (3.4!), (3.5!), (2.2!), с заменой фазовых координат х„х„их оптимальными оценками х„., х„. В связи с этим далее будем считать, что в (341), (3.51), (22!) ~ „=О, г, „=О, ~ „=О, х,= х,, х„= х„.
С учетом этих допущений проанализируем ошибку слежения: Лх()с)=х,(1с) — хг()с)=Ф,(1с,1с — 1) х,(1с — 1) — Фг(1с,1с — 1)хг(1с — 1)— — В„ЩФ,()с,)с — 1)х„(1с — 1)-Ф,Щс — ! )хг()с — 1)]= =(Š— В Щ[Ф,()с,)с — 1)х.,(1с — 1)+Фг()с,)с — 1)х.,(1с — 1)— — Ффс,1с — 1)х.,(1с — 1) — Фг()с,1с — 1)хг()с — 1))= =Ф,(1с,1с — 1)Лх()с — 1)ьФз()с,)с — 1)х,(1с — 1), Лх(0)=2!ха, (3.55) в которой Ф|(1с,1с — 1)=Фг()с,к — 1) — В„КФг()с,)с — 1); Ф ()с,)с — 1)=ЛФ()с, — 1)-В„ВЛФ()с,)с — 1). ЛФ(1с,1с — 1)=Ф.,(1с, 1с — 1) — Ф„(Цс — 1); (3.56) (3.57) (3.58)' 80 Полученные соотношения (3.55)-(3.58) представляют систему линейных неоднородных разностных уравнений, анализ которых позволяет придти к следующим заключениям.
Если собственные числа к; (! =1,п) матрицы Ф~ (3.56) удовлетворяют условию ~г,~<1, то система устраняют ошибки слежения от своих первоначальных значений Лх, (3.54) до установившихся значений Лх„, обусловленных вынужденной составляющей, которая определяется в (3.55) слагаемым Фз(!с,~с — !)х,(!с — !). Величина ошибок Ьх„„ч определяется как законом изменения отслеживаемого процесса х„, так и несоответствием (3.58) заданной части РЭСУ ее требуемым значениям. Если заданная часть (3.51) соответствует отслеживаемому процессу (3.41) (Ф„=Ф,), то Лх =О. Качество переходных процессов при ликвидации ошибок захвата, характеризуемое значениями постоянных времени и величинами перерегулирования, определяется корнями г; характеристического уравнения (35) РеЦЕх-ФД=О, (3.59) где Š— единичная матрица. В свою очередь, значения х, определяются соотношениями штрафов за точность и экономичность„ которые обусловливаются учетом (3.53) и (3.56) в (3.59).
Следовательно, задавшись в (3.56), (3.59) допустимыми значениями постоянных времени Т,„ы и перерегулирования, можно получить обусловливающие их соотношения штрафов 1,1 и К. Кроме того, коэффициенты матриц 9 и К должны гарантировать выполнение условия (3.60) ц=К[Ф.,(к,)с — 1)х,(1с — 1) — Ф„()с,)с — 1)х„(1с — 1)) <() ч„„, смысл которого состоит в том, что компоненты и; ( ! =1, г) вектора и не превышают аналогичные компоненты Цмь, вектора !)ыч„допустимых значений сигналов управления. В ситуациях, когда в (3.51) и (3.4!) Ф„~Ф„„при необходимости можно учесть дополнительные ограничения на соотношения штрафов, иакладываемые допустимыми ошибками слежения в установившемся режиме.
Для этого нужно найти частное решение неоднородного уравнения (3.55), определяющего ошибку х„„. Таким образом, значения штрафов 9 и К за точность слежения и величину сигналов управления можно найти в процессе совместного решения и анализа соотношений (3.55) и (3.59), (3.60). В заключение отметил~ ряд особенностей, которые позволяют суи!ественпо упростить проиедуру отыскания коэффициентов штрафов. !. Определение коэффициентов матриц О и К важно не само по себе, а только как промежуточный этап, позволяющий в (3.52), (3.53) вычислить коэффициенты передачи воздействий х„и х„, которые и реализуют максимально высокую точность слежения в установившемся режиме при заданных ограничениях на величину сигнала управления и качество переходных процессов при отработке ошибок захвата.
В связи с этим целесообразно вычислять в (3.52), (3.53) не абсолютные значения 81 коэффициентов матриц (3 и К, а непосредственно коэффициенты передачи ошибок входных х„и выходных х„сигналов. 2. С достаточной для практики точностью постоянная времени 1полоса пропускания) РЭСС определяется наибольшим по модулю корнем х, характеристического многочлена (3.59). 3.6. АЛГОРИТМЫ ЛИНЕЙНОГО ОЦЕНИВАНИЯ 3.6.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
