Меркулов В.И., Дрогалин В.В. Авиационные системы радиоуправления. Том 1 (2003) (1151997), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Эта задача горл>улируется следу>ои)ип образолн по результатаи наблюдений х(~) (струкн>уру которы мы определил< позже) всех или некоторых колтонент хч(с) и х (з) выбирал> вектори управлений п(с) необгодиь>о >вилучшим (оптииальньлл>) образом на выходе системы управления сформировать управляемую траектори>о х„(г). Возможные критерии оптимальности описаны в п.1,4.2. Рассмотрим, например, критерий Летова-Калмана (1.4).
Из физических соображений понятно, что, задав ограничения на структуру выбираемого (синтезируемого) вектора х„, мы ограничиваем возможности выбора наилучшей системы, а, следовательно, характеристики выбранной системы будут «не лучшеп (а в общем случае хуже), чем у системы, которая выбирается (синтезируется) без ограничений. Поэтому, задав структуру системы управления (2.7) мы заведомо идем на ухудшение потенциальных показателей качества. Более того, если в системе управления имеют место дополнительные возмущения (шумы Р,„), которые отсутствовали при решении задачи оптимальной фильтрации, то это приведет к дополнительному ухудшению потенциальной точности.
Необходимо, однако, подчеркнуть, что использование (2.7) дает возможность еще на стадии проектирования учесть ограничения на динамические свойства исполнительных органов, которые заведомо войдут в состав системы. Обычно в качестве заданной части рассматриваются исполнительные органы. Их динамические свойства (быстродействие) учитываются в (2.7) коэффициентами матриц Е„и В„. Огриничения на управля>ои1ие сигналы накладываются в виде одного из трех условий: 51 (2.9) ) М~ц'(1)Кц(1) ~)1 <)т. о Неравенство (2.9) означает, что мгновенные значения и1 каждого сигнала управления не должны превышать допустимого значения 1)„„„. Неравенство (2.10) ограничивает мощность сигналов управления с учетом важности отдельных его составляющих и, для системы в целом.
Количественно степень важности различных сигналов управления определяется коэффициентами кй матрицы К. Условие (2.11) ограничивает «взвешенную» энергию, затрачиваемую сигналами управления за все время управления 1,. Эти дополнительные ограничения приводят к ухудшению потенциальной точности слежения за требуемой фазовой траекторией. Вместе с тем следует отметить, что в ряде приложений реальная точность систем, синтезированных по алгоритмам СТОУ, оказывается лучше, чем у аналогичных систем, синтезированных по алгоритмам оптимальной фильтрации. Обусловлено это, прежде всего тем, что уже на стадии проектирования можно учесть реальные ограничения, которые часто имеют место в практике эксплуатации, и которые не учитываются теорией оптимальной фильтрации.
Отмеченные выше положения справедливы и для более общего случая, когда размерность векторов х, и х„не совпадают. При этом обобщенный показатель качества Летова-Калмана (1.4) можно представить в виде [29) 1 =МЦА,х,~1„) — А„х„(1„)]'Я~А,х,(1„) — Ауху(1ф )]+ $„. 1„. + ~ ~~х 1 1 ) Аулу 1 1)] 1,[А„х,(1 ) — А„ху (1 )]с)1+ ) ц" Кинет, (2. 1 2) о о где матрицы А, и А„уравнивают размерности векторов х, и хв Для сокращения записей, введем обобщенный вектор х=1х, 'х„')'. Тогда, с учетом (2.7), (2.8) и 11.4), можно записать 52 х(с) = Р(с)х(с)+ В(с)ц(с)+ с „(с), (2.13) ю=м~ '(с,сг, ь,ь/1*'щ и~ "к )ь~, о.н~ о где $ О~ ОЗ Чт Ст О4 о к ' ~ в ' ~" ц ' ~() о с г у 5 у А,'9А,.
— А'„(1А А,"1 А„— А„'.1 Ау — А,"ЯА„Ау9А — А„'1.А, Аус Ау а О,— Оэ — нулевые матрицы соответствующей размерности. Для задачи линейного оптимального управления, наблюдения полагаются линейными и описываются уравнениями х(с) = н(с)х(с)+ ~„(с), (2.16) где ~„— белый гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием и матрицей односторонних спектральных плотностей С„. При нелиней- ных наблюдениях уравнение (2.16) представляется соотношением х(с) = а(х,с)+Р„(с), (2.17) 53 в котором з(х,С) — нелинейная вектор-функция. Однако при большом отношении сигнал!шум и высокой точности измерений задачу с нелинейными наблюдениями можно привести к эквивалентной задаче линейных наблюдений.
Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном линейные наблюдения (2.16). В общем случае задача синтеза системы оптимального управления на основе математического аппарата СТОУ формулируется следующим образом: для системы с заданной частью (2.7), предназначенной для отработки процесса (2.8), при наличии измерений (2.16) или (2.17), необходимо найти сигнал управления и, обеспечивающий минимум того или иного функционала качества (например (2.14)).
Из физических соображений ясно, что для формирования сигналов управления необходима информация о фазовых координатах вектора состояния х (2.13). При получении информации о компонентах х, () =1,2п) необходимо учесть две особенности. Первая определяется х = М(х! (2.18) Необходимо отметить, что все существующие алгоритмы оптимальной фильтрации сводятся к вычислению (2.18). Несомненно, что оценивание вектора х будет тем точнее, чем точнее сведения о параметрах используемых процессов и систем.
В моделях (2.7), (2.8), (2.13) роль параметров играют коэффициенты матриц ЄфЄ„, С„и Н, С„. Особое значение имеет точность сведений об этих параметрах для нестационарных систем и процессов, в которых коэффициенты перечисленных матриц являются функциями времени. Для текущего оценивания параметров целесообразно использовать алгоритмы ТОИ, которые позволяют найти оценки, оптимальные по минимуму СКО Н=М(Н~ ~, Р=М~Е~ ~, В=М(В~ ~, С =М~С~ ~, (2.19) используемые в алгоритмах фильтрации и вычисления сигналов управления.
Таким образом, в процессе решения задачи синтеза оптимальной системы управления в общем случае необходимо сформировать алгоритмы вычислений оптимальных сигналов управления, оптимальной фильтрации всех фазовых координат и оптимальной идентификации параметров всех исходных моделей. Эти выводы распространяются и на синтез РЭСУ на основе нелинейных моделей х„х„и х. 54 наличием возмущений, и „, что обусловливает случайный характер процессов х, и хг По этой причине никакие априорные сведения о х, и х„не позволяют точно оценить их мгновенные значения. Вторая особенность предопределена тем, что не все компоненты х; (1 = 1,2л ) могут поддаваться инструментальному контролю.
В модели многомерного измерителя (2.16) это учитывается тем, что размерность вектора х не превышает размерности вектора х (ш<2п). В связи с этими особенностями для получения информации о фазовых координатах х; необходимо использовать алгоритмы ТОО. Очевидно, что при формировании сигналов управления в реальном масштабе времени оценки х процесса х должны формироваться на основе алгоритмов оптимальной фильтрации. Известно [54), что наилучшим по критерию минимума СКО приближением оценки х к случайному процессу х является условное математическое ожидание Для задач с дискретным временем соответствующие модели состояния и наблюдений определяются уравнениями х()с) = Ф((с, 1с — 1)х()с — 1)+ В()с — 1)ц()с — 1)+ Р,х ((с — !), (2.20) ~х ()с)~' ' Оз Ф„((с,)с — 11' ОЗ Р,(1с — 1) В()с — 1) = ~, Р,„(1с — !) = Р, (1с — !) (2.20,а) х()с) = Н()с)х()с)+ с „()с), (2.21) в которых: Ф()с,(с — !) — переходная (фундаментальная) матрица; Ф.,(!с,(с-!) н Ф„((с,(с-!) — переходные матрицы требуемого и управляемого процессов, являющихся аналогами (2.8) н (2.7), соответственно; О~— О1 — нулевые матрицы соответствующей размерности, а функционал качества — соотношением (2.22) смысл слагаемых в котором аналогичен функционалу (1.4).
В соотношени- ях (2.20К2.21) смысл обозначений аналогичен принятым в (2.12)-(2.16). 2.1.2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СИНТЕЗА РЭСУ 55 В общем случае синтез оптимальных РЭСУ сводится к получению оптимальных алгоритмов оценивания, идентификации и управления. Необходимо отметить, что эта процедура достаточно затруднительна. Кроме того, полученные алгоритмы, как правило, настолько сложны, что без специальных трудоемких исследований, связанных в том числе и с моделированием полученных законов на ЭВМ, невозможно судить о работоспособности РЭСУ. В связи с этим желательны такие критерии и математический аппарат, которые еще до получения алгоритмов оценивания, идентификации и управления позволили судить о возможности их осуществления.
Указанные критерии и математический аппарат были разработаны в процессе изучения свойств динамических систем (моделей), называемых измеримостью, наблюдаемостью, идентифицируемостью и управляемостью. Поскольку основной целью изучения тгих свойств является выяснение гап1с ~П~ П', ... Пн',~ =М, (2.23) где гап1с — ранг матрицы; Пв =Н(1); П; =П; ~+П, )Е(1), 1=1,М вЂ” 1. (2.24) Для стационарных систем, в которых Р=сопзй Н=сопвй условие (2.23), (2.24) приводится к виду (2.25) Анализ (2.23) — (2.25) позволяет прийти к следующим заключениям.
Наблюдаемость зависит от вида детерминированных связей оцени- 56 принципиальной возможности синтеза алгоритмов фильтрации, идентификации и управления при выбранных моделях состояний и измерений, то оно проводится для идеальных условий, без учета всех видов возмущений. Несмотря на идентичность понятий измерение и наблюдение, понятия измеримости и наблюдаемости имеют различный смысл. Нод измеримостью понимают возможность непосредственного инструментального контроля (наблюдения) той или иной фазовой координаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
