Канащенков А.И., Меркулов В.И. Авиационные системы радиоуправления. Том 1 (2003) (1151993), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В результате в процессе фильтрации такая неточная экстраполяция состояния, выполняемая по грубой модели (2.13), будет в значительной мере корректироваться невязками х — Нх, которые формируются по точным измерениям х. Если модель состояния точная (С,ь малы, > = 1,!Ч ), а измеритель неточный (См — велики, 1=!,пэ), то Кы> мань> и корректирующая поправка точного прогноза будет мала.
Необходимо, однако, подчеркнуть, что даже в такой ситуации точность оценки превышает точность измерения этих же фазовых координат. При использова>пш алгорипьиа (3.61)-(3.63) необход»л>о решать систему из (ч! > =(ч(+0,5 )ч(Я+1) (3.65) диффереициальнь>х уривнепий. В (3.65) первое слагаемое характеризует число уравнений, которые должны решаться при формировании оптимальных оценок (3.61). Второе слагаемое (3.65) определяет число уравнений для вычисления коэффициентов усиления Ке (3.62), (3.63). Как и для оптимального управления (3.22) и (3.24), здесь сказывается влияние «проклятия размерности», в том, что при увеличении размерности вектора состояния (2.!3) фильтр неадекватно усложняется за счет значительного роста числа уравнений, которые необходимо решать при вычислении !3 (3.63).
Для стационарных процессов (2.13) и (2.16) матрица !3, вычисляемая в процессе решения уравнений Риккати (3.63) на основе априорных сведений, может быть сформирована заранее, что позволяет существенно упростить процедуру формирования оценок. В об>цел> случае по л>ере увеличения врел>епи фильтрации дисперсии Эь ул>епыиа>отся от своих первопачалы>ых больишх значений 1)в(0) до су>цествеино л>енышп значений в устаповпвшипся рез>с>м>е.
Возможный характер эволюций 1Э„ 83 па во времени иллюстрируется на рис. 3.2 сплошными линиями. Такой характер изменений Ра приводит к тому, что в ходе фильтрации уменьшается влияние корректирующей поправки К,ь( х — Нх ) на результаты экстраполяции оцениваемого процесса. Поскольку точность экстраполяции (3.64) со временем ухудшав ется за счет накапливания ошибок интег- рирования, то снижение влияния коррекРис. 3.2 тирующих поправок может привести к ухудшению реальной точности фильтрации и ее несоответствию теоретическим показателям, вычисленным по уравнению (3.63). Начальные условия для (3.61) и (3.63) определяются с учетолг первоначальной неопределенности аг1ениваемых фазовых коарданаль При этом можно использовать различные приемы назначения хв и 1)в.
В простейшем случае х,(0) =х,в выбирается как среднее из всех возможных ее значений: х,(0)= 0,5(х;,„+х; м). (3.66) Тогда при гауссовском законе распределения х,(0) дисперсии можно определить по формуле: Ра(0)=(х,„„„— х; м) /36. (3.67) Остальные коэффициенты Р„(0) матрицы Тз(0) обычно полагаются равными нулю.
Если возмущения в (2.!3) и (2.16) не белые, то для них составляются уравнения формирующих (выбеливающих) фильтров, которые включаются в состав модели состояния (2.13). Такой прием, основанный на расширении вектора состояния, усложняет алгоритм (3.6!) — (3.63) фильтрации из-за влияния «проклятия размерности». Аналогичный прием можно применить и к инерционным измерителям, функционирование которых описывается дифференциальными уравнениями. Способы, позволяющие учесть небелый характер возмущений и инерционность измерителей без расширения вектора состояния, рассмотрены в !29, 47). Алгоритмы фильтрации полей и с использованием измерений с запаздыванием приводятся в [49). Для дискретных процессов (2.20), при наличии наблюдений (2.21) алгоритм оптимальной фильтрации определяется рекуррентными уравнениями: 84 х(1с)= х, + К,1,(!с)(х()с) — Н()с)х.,~; х, =Ф()с,й-ЩК-!)+В(й-!) ()с-!), х(0)= „; (3.68) (3.69) К„,()с) = В()с)Н'()с)В„' ()с) = В()с, )с — !)Н ' ()с)эс х ~н(й)в(й, й — !)н" (й)+ в„(й)~'; (3.70) В(1с) = (Š— Кф()с)н()с)фЭ()с, 1с — 1), В(0)=Во, (3.71) В()с, 1с — 1) = Ф(1с, 1с — 1)В(1с — 1)Ф'(1с, 1с — 1)+ В„(1с — 1) .
(3.72) 3.6.2. АлгОРИтм ОптимялъиОй экстРАпОлЯЦии Спецификой работы РЭСУ является достаточно частое пропадание радиосигналов на входе приемника из-за амплитудных флуктуаций и выхода за пределы полосы пропускания. Кроме того, потери сигналов могут иметь место и из-за воздействия различного рода помех. В свою очередь пропадание сигналов, помимо прекращения поступления информации в ИВС, может привести и к срыву процесса наведения. Исходя из этого, для обеспечения функционирования следящих радиоэлектронных систем и потребителей их информации необходимо хотя бы в течение некоторого времени иметь сведения о фазовых координатах, используемых при наведении, и при отсутствии входных сигналов. Однсии из возлсозсспых путей сохранения лифаря~ниии, содерясащейся в радиосигналах, является использование алгоритлсов оптсииального оиенивапия с прогневал~ (предсказанием) состояния оисливаемых процессов, Примем во внигиаиие то, что процессами, информация о которых сосредоточена в радиосигналах, невозможно управлять, Поэтому задача оптимального прогноза (зкстраполяиин) форл~улируется 85 В этих уравнениях В()с) и В()с,!с-1) — апостериорная и априорная ковариационные матрицы ошибок фильтрации.
Поскольку (3.68)-(3.72) — дискретный аналог (3.61)-(3.63), то для него справедливы все выводы, полученные при анализе аналогового алгоритма. Различие мезкду нилт — зависимость точности фильтрации от иптЕРВапа диСКРЕтиэаиии Ат=тл-слч — ОбЪЯСНЯЕтСЯ тЕМ, Чта Ат ВХОДИТ В состав некоторых коэффициентов матрицы Ф(1с,1с — 1). В (3.70) объединены два алгоритма вычисления коэффициентов Кь. Последний чаше используется при малых значениях коэффициентов матрицы В„, поскольку это может вызвать трудности при численном обращении этой матрицы в ЭВМ.
следуюсчихс образом. По результатам (2.16) на момент времени й необходимо сформировать оценку х (сг) процесса х(1) = Е(1)х(1)+ Г,» (1) (3.73) при сг>1ь наилучшую в смысле минимума СКО оценивания. Следует отметить, что (3.73) получено из (2.13) при условии п=О. Учитывая (3.73), можно оценить будущее состояние оцениваемого процесса, если использовать заложенные в нем связи.
Используя формулу Дюамеля [47], получаем «()г)=Ф()г 1~)х(1~)+ (Ф(1г '4х(т)с)т (3.74) ц где Ф(сг,т) — фундаментальная матрица (матрица импульсных характеристик), связанная с невозмущенной частью (3.73) соотношением ) = Г(1)Ф(1, т), Ф(т, т) = Е . (3.75) д1 Как и в алгоритме фильтрации (и. 3.6.1), в качестве оптимальной оценки рассматривается условное математическое ожидание (2.18). Поэтому, применив к (3.74) операцию условного математического ожидания, найдем х(1г) = М(х(1г) $ ( ) = Ф(гг,1,)М(х(1!) $ ( )+ )Ф(1~, )М(~,( )~ (, ))с) . ц (3.76) Так как шум г,„(т) на интервале ц<1<гг никак не связан с результатами измерений в момент времени ьо то МД„(т) (~,1,) =О.
Тогда из х(1, ) 86 (3.76) следует х(1г)=Ф(1г,1,) (1,), где х (й) — оценка, получаемая в соответствии с обычном алгоритмом фильтрации (3.61) — (3.63). Закон (3.77) определяет правило оптимального оценивания в режиме прогноза.
Следует отметить, что алгоритм (3.77) одинаково пригоден как для аналогового, так и дискретного вариантов оценивания. В зависимости от конкретных условий функционирования РЭСУ в задаче прогнозирования можно использовать различные соотношения между переменными Ь и 1ь В связи с этим ризличают три впда предсказанийс с 1Риксироваипыл1 люл|ес1то и филыпрос1ись при которол~ 11=сопз1, и =касс с фиксировапнылс лсоментом окончания прогноза, при котором 11=сопзс, 11ч касс С ПОСтОЯННВ1М УПРЕЗ1СдЕССиЕЛ1, ПРи КатОРОЛ1 си=каст сг=с,+Т, гдв Т=сопзс - интервал прогноза. Алгоритм (3.77) пригоден для всех видов прогноза. Однако процедуры вычисления матрицы Ф(1,,1,) в каждом конкретном случае могут видоизменяться.
При 11=солж и Ь=агг, требуется оценивать состояние процесса (3.73) в течение неопределенно возрастающего времени 1п11 на основании результатов прошлых наблюдений вплоть до фиксированного момента 11. Примером такого прогнозирования может служить оценивание отслеживаемых относительных фазовых координат цели после срыва слежения в РЭСС в результате непрекращающегося воздействия преднамеренных помех (16].
Уравнение прогноза для такой ситуации имеет вид х(1, 11) = Ф(1, 11)х(11), 1 > 11. (3.78) Поскольку х (11) определяется обычным алгоритмом фильтрации, для реализации (3.78) необходимо лишь вычислить фундаментальную матрицу Ф(1,11), решив уравнение (3.75), где с заменено на гь При Ь=сопзс и 1г=каг следует оценить процесс (3.73) для фиксированного будущего момента времени ь, опираясь на результаты текущих наблюдений к(1) при условии 1<1г.
Такой вариант может возникнуть при работе РЭСС в составе систем самонаведения (27), для которых 11 определяет время изменения режима работы либо момент окончания наведения. Для рассматриваемого'случая х(1з,1) = Ф(11,1)х(1), 1 < 11 . (3.79) Так как в этой задаче переменным является второй аргумент фундаментальной матрицы, то для ее вычисления нужно использовать соотношение [47) = — Ф(1м1)г(1), Ф(11,11)=Е. (3.80) д1 Уравнение (3.80) необходимо решать в обратном времени от ь к 1, запоминая результаты решения и обращаясь к ним по мере необходимости при вычислении х (1з). Если объем памяти используемого вычислителя недостаточен для хранения указанной информации, то в начале 87 можно вычислить матрицу Ф(йд), решив (3.80) в обратном времени, а затем, решая (3.80) в направлении от 1 к 1ь использовать результаты для прогноза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
