Канащенков А.И., Меркулов В.И. Авиационные системы радиоуправления. Том 1 (2003) (1151993), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Третий вид реализуется в процессе вычисления ошибок управления х„-х„, используемых при формировании оптимального сигнала управления и. Число ООС в контурах второго и третьего вида определяется размерностью вектора х„. Четвертый вид контуров замыкается цепями, по которым из регулятора в фильтр поступают комбинированные сигналы Вц коррекции, которые учитывают все оцениваемые фазовые координаты. Число этих сигналов зависит от размерности вектора н.
Являясь более сложными по сравнению с одноконтурными системами, многоконтурные РЭСУ обладают рядом существенных достоинств. К ним, прежде всего, можно отнести возможность одновременного обеспечения высокой точности и хорошей устойчивости системы в 105 целом, высокой надежности и помехоустойчивости и меньшей чувствительности к точности выдерживания параметров РЭСУ и изменению условий функционирования. Первая особенность достигается за счет распределения функций по обеспечению точности и устойчивости между различными контурами. Обычно высокая точность обеспечивается контурами фильтра (информационными контурами), а устойчивость— контурами регулятора (контурами управления), в которых сигнал управления и формируется с учетом ошибок хп -х„; (1=1,п ) по всем фазовым координатам.
Высокая надежность и помехоустойчивость достигаются благодаря большой избыточности информации об одних и тех же физических величинах в виде фазовых координат х„х„, результатов измерений г и оценок х,, х . Меньшая чувствительность к точности выдерживания параметров и изменению условий функционирования гарантируется большим числом самых разнообразных ООС и корректирующих сигналов. ГЛАВА 4.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЭСУ 4.1. УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ х(1) = Р(1)х(1) . (4.1) Наиболее прост анализ на устойчивость для линейных стационарных систем. Поэтому в дальнейшем элементы матриц Р и В в (2.13) и (4.1) полагаются постоянными. В общем случае решение таких систем и определяется линейной комбинацией экспонент х(1) = 2,С,е ' =о Чтобы решение (4.1) было асимптотически (при 1 — и ) устойчивым, необходимо и достаточно существования отрицательных вещественных частей у корней уравнения [50] ~Ц "Ч ()2 бег[к — )п,Е] = бе Гь, Гзп = 0. (4.2) (п2 (пп )ч Здесь Г, (1 =1,и,) =1,и) — элементы матрицы Р; Š— единичная матрица; )и, — собственные значения матрицы Р, которые в общем случае 107 Система считается устойчивой, если после выведения из положения равновесия малыми возмущениями, она самостоятельно возвращается в исходное состояние.
Под положением равновесия понимается невозмущенная фазовая траектория, определяемая однородной частью в общем случае нелинейных уравнений состояния с переменными коэффициентами. Если эволюции многомерной системы описываются линейными векторно-матричными уравнениями (2.13), то ее устойчивость не зависит от воздействий управляющих сигналов н и возмущений Г,„и определяется решением однородного уравнения представляют комплексные числа. Раскрыв по известным правилам определитель (4.2),можно получить характеристическое уравнение и-ой степени относительно )ч: 4Р[Х;)=с)е1[Е-ХЕ]=2Д+ГЖ,' '+ГЯ +...+Уа,Х, +1'„=О, (4.3) где 14...1;, формируется на основании коэффициентов матрицы г.
По уравнению (4.3) либо непосредственно вычисляют корни )Ч численными методами„либо проводят анализ, используя известные критерии устойчивости 140, 50). При анализе систем небольшой размерности широко используется критерий Рауса-Гуркина. В соответствии с этим критерием из коэффициентов Г, уравнения (4.3) составляется матрица по определителю Ц ~з [ ~5 'с '2 [ 14 у,] о о о Я о (4.4) Л„= 4)еС 0 с '2 0 0 0 0 ...
1„ 45 Л, =Г, >О, Л2 =де >О Лз =де )о Г2 Г4 >О (4.5) Г Г, У, 1 [Г Г~ с з ит. д. 108 которой и анализируется устойчивость. Определитель 14.4) строится по следующему правилу. На главной диагонали сверху вниз размещаются все коэффициенты (4.3) в порядке возрастания номера индекса, начиная с Гь Все столбцы относительно диагональных членов заполняют вверх коэффициентами Г в порядке возрастания их номера, а вниз — в порядке убывания.
На местах коэффициентов с номерами 1>п и гкО проставляются нули. Для обеспечения устойчивости динамической системы (4.1) необходимо и достаточно„ чтобы все определители диагональных миноров низшего порядка, очерченных в (4.4) штриховыми линиями, имели знаки, одинаковые с Гм Сказанное означает, что при Гс>0 должны выполняться неравенства Дискретная система управления (2.20) считается устойчивой тогда, когда для любого момента дискретизации корни характеристического уравнения де)1Ф(к,)с-!)-Ег,)=0, где г — аргументы Е-преобразований, лежат внутри круга с единичным радиусом.
Если исследуемые системы нестационарны, то в зависимости от характера изменения их параметров выходные сигналы могут изменяться неограниченно долго даже при постоянных входных воздействиях. Это объясняется тем, что параметрические цепи в отличие от линейных с постоянными параметрами обладают способностью празмножатьв спектр входных воздействий.
Появление в выходных сигналах новых гармоник, не содержащихся в спектре входных воздействий, и обусловливает неустановившийся характер выходных сигналов. Поэтому использование признаков асимптотической устойчивости для анализа нестационарных систем в общем случае теряет смысл. Существующие точные методы исследования устойчивости нестационарных систем довольно сложны 150). Поэтому на практике пользуются приближенными методами.
Наиболее распространен метод «замороженных» коэффициентов 150), который применяется тогда, когда время работы системы ограничено, а ее изменяющиеся параметры дифференцируемые функции времени. Суть метода состоит в том, что весь временной интервал О..л, работы системы разбивается на отдельные промежутки Ж, в пределах которых параметры системы можно приближенно считать постоянными. Затем для каждого из временных интервалов Ж используется любой из известных критериев устойчивости. Если условия устойчивости соблюдаются для всех выделенных промежутков Л~, то нестационарная система управления считается устойчивой на всем рабочем интервале О..л„. Следует подчеркнуть, что полученные при этом результаты не вполне достоверны, поскольку сам метод замороженных коэффициентов не имеет математического обоснования. Если исследуется РЭСУ с известной динамической структурной схемой, позволяющей определить передаточную функцию замкнутой системы, то для анализа устойчивости также можно применять критерий Рауса-Гурвица (4.5).
Этот критерий применяется для характеристического полинома (знаменателя) передаточной функции замкнутой системы, который представляется в виде степенного ряда (4,3) с 109 заменой в нем собственных значений Х, оператором дифференцирования р=б!61, либо аргументом з преобразований Лапласа. Необходимо подчеркнуть, что в многомерных системах такие передаточные функции должны составляться от каждого входа к каждому выходу. Устойчивость оптимальных РЭСУ, содержащих оптимальные фильтры, идентификаторы и оптимальные регуляторы, зависит от устойчивости как фильтров и идентификаторов, так и регуляторов.
Принимая во внимание, что в процессе проектирования РЭСУ оптимальные фильтры, идентификаторы и регуляторы достаточно часто синтезируются независимо друг от друга, устойчивость контуров фильтрации, идентификации и управления (регулирования) будет рассматриваться раздельно. 4.2.
УСТОЙЧИВОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ Линейный оптимальный фильтр представляет собой нестационарную динамическую систему с обратными связями по наблюдаемым фазовым координатам (п. 3.6.1). В связи с этим устойчивость фильтров Калмана можно оценивать по любому из критериев, применяемых для линейных нестационарных систем.
Для определенности в дальнейшем будем полагать, что процессы наблюдения и состояния характеризуются соответственно уравнениями (2.16) и (2.13), регулятор функционирует по закону (3.35), а фильтр — по закону (3.61). Подставляя (3.35) в (3.61), будем иметь модель контура фильтрации в виде векторно-матричного уравнения: х = Рх - ВК'В'0,х + К4(в -Нх)= Р х + Кех, (4.7) в котором Р,=Р— ВК В'О,— К Н— (4.8) динамическая матрица собственной фазовой траектории„а К,!,г — внешнее воздействие. Подставляя (4.8) в (4.2), получаем пе((г! — )ь!Е] = О. (4.9) Для обеспечения устойчивости процесса фильтрации (4.7) необходимо и достаточно, чтобы для любого момента времени корни уравнения (4.9) имели отрицательные вещественные части. При соблюдении условия наблюдаемости (2.23), (2.25) фильтр Калмана будет асимптотически устойчив 143, 47).
В таких условиях фильтр теоретически обеспечивает получение сходящейся оценки х, для которой характерно уме- !10 ньшение во времени дисперсий ?)ь (3.63) ошибок фильтрации от их наибольших первоначальных значений ?3„(0) до наименьших в установившемся режиме. Однако практика свидетельствует о том, что в фильтрах Калмана, для которых теоретически выполняется условие иаблюдаемости, может иметь место явление расходимосги. Под расходилюстью понилшется значительное превышение реальнылли дисперсиями ошибок цли~ьтрации пюго их уровня?Эн, которьш бы предсказан теоретически соотнои ениями (3.63).
На рис. 3.2 сплошными линиями, дающими представление о возможных изменениях дисперсий в ходе фильтрации, отображается процесс сходимости, а пунктирными — эволюции реальных дисперсий в процессе формирования расходящихся оценок. Основными причинами расходимости являются: неточности исходных моделей (2.13) и (2.16), используемых при синтезе фильтров; отсутствие точной априорной информации о законах распределения и спектральных плотностях возмущений, сопровождающих оцениваемые процессы и наблюдения; отсутствие точной информации об априорной статистике х (О) и Р(0) начальных условий, используемых при реализации алгоритмов оценивания; ошибки вычислителей, которые определяют коэффициенты Ка (3.62), (3.63) и реализуют сам процесс фильтрации. На примере аналогового линейного оптимального фильтра проанализируем особенности функционирования, которые непосредственно влияют на его устойчивость и могут привести к расходимости формируемых оценок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
