Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 18
Текст из файла (страница 18)
х. представляет собой окружность. Из амплитудной характеристики видно, что колебания малых частот ( -) 1> ю ( —.) «пропускаются» данным звеном с отношением амплитуд выходной У) и входной величин, близким к статическому коэффициенту передачи звена Й. г > Колеоания больших частот (о» вЂ” ) проходят с сильным ослаблением т) амплитуды, т. е. «плохо пропускаются» или практичесни совсем «не пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени Т, т. е. чем меныпе инерционность звена, тем более вытянута амплитудная характеристика А (э>) вдоль оси частот, или, как говорят, тем шире полоса пропускания частот Аа>„ у данного звена: (4.25) п=т ( т)=т' Логарифмические частотные характеристики приведены в табл. 4.3.
Л. э. х. строится по выражению Т,( ) =2016! И'Оо>) ! =201д . (4.26) Наиболее просто, практически без вычислительной работы, строится так называемая асимптотнческая л. а. х, Ее построение показано на рис. 4.15. На стандартной сетке провод>гтся вертикальная прямая через точку с частотой, называемой сопрягак>щей частотой ю -- —. Для частот меньших, чем 1 сопрягающая, т.
е. при о> ~ —, можно пренебречь вторым слагаемым под корнем в выражении (4.26). Тогда левее сопрягающей частоты (рис. 4.15) можно заменить (4.26) приближенным выражением Ь (а>) ж 20 1я к (при э> ( — ), которому соответствует прямая линия, параллельная оси частот (прямая аб) и являющаяся первой асимптотой.
дцнАмичв(пГПР зв1'пья и и«' хА!"Акткг!2стпкп !22. 4 Для частот б!олыпих, чем сопрягающая ~Го ~ — „), в выражении (4.26) 1 ! можно пренебречь под корнем единицей по сравнению с о22Т2. Тогда вместо (4.26) будем иметь приближенное значение з ). (е!) 201о — '— !при ы) —,), "ыг Т которому соответствует, согласно з 4 1. прямая с отрицательным наклоном 20 322!дев (прямая Ьс), являющаяся второй асямптотой. Ломаная линия абс и называется асимптотической л. а. х, Действительная л.
а. х. (показава на рнс. 4.15 пунктиром) будот несколько отличаться от асимптотичоской, причем паибо:!ьшее Я 2() отклопонно будет в точке Ь. Оно равно Ю приблизительно 3 дб, так как Л рй /0 -!вп'а что а линейном маспггабе соответствует отклонению в )2 2 раз. Па веем осталь- - УГГ« пом протяжения влево и вправо от -222 О2 сопрягающей частоты действительная О' л. а. х. будет отличаться от асимптотической менее чем на 3 дб.
Поэтому во многих практических расчетах достаточно ограничиться построением асимптотической л. а. х. На том же рис. 4.15 показана логарифмическая фазовая характеристика. Характерными ее особенностями являются сдвиг по фазе 2р == — 45' при сопрягающей частоте (так как агс!и аГТ =-: агс!3 1 =- 45') и симметрия л.
ф. х. относительно сопрягающой частоты. 3. Аперподическое звено второго порядка. Дифференциальное уравнение звена имеет вид 2 2"222 Н 2 Т, =.'- Т,— '-'- х2;=1х,. 2 ЗГ2 ,и Прп атом корни характеристического уравнения Т,'р' + Т,р + 1 =- 0 должны быть вещественными, что будет выполняться при условии Т, )~ 2Т, В операторной записи уравнение (4.27) приобретает вид (7.,'Рз + ТГР + 1) хз = !Гх! Девая часть последнего выра!Кения разлагается на множители: (Т21! )- 1) (Т4Р -!. 1) Х2 =- ЬХ2, (4.29) (4.27) (4.28) где Т2 4= 2 Передаточная функция звена И'(Р = 12 (!+ Т2Р) (! Г г,г) (4.30) Лпериодическое звено второго порядка эквивалентно двум апериоднческим звеньям первого порядка, включенным последовательно друг за другом, с общим коэффициентом передачи )2 и постоянными времени 72 и Т,.
Примеры апериодических звеньев второго порядка приведены на рис. 4.16. Рассмотрим подробно случай двигателя постоянного тока (рис. 4.16, а). Прн отсутствии момента пагруаки на валу и при учете переход- 73 $4. 51 позиционные 3Венья ных процессов в цепи якоря динамика двигателя описывается двумя уравне- ниями, определяющими равновесие э.
д. с. в цепи якоря: А — „, +И+Се(г=и, и равновесие моментов на валу двигателя: ыгг См1 — г — =- 0 гг где и — напряжение, прикладываемое к якорю, Се и См — коэффициенты пропорциональности между обратной э. д. с. и скоростью вращения зг и между вращающим моментом и тоном якоря 1, Х вЂ” приведенный момент инерции, Х и  — индуктивность и сопротивление цепи якоря. Переходя в обоих уравнениях к операторной формо записи н решая их совместно, получим передаточную функцию двигателя постоянного тока ,з =Я гг-гг~ит в нР I / ли, ' г г .г ец 1 ггепг Рас.
436. при управлении напряжением якоря как отношение изобрангепий скорости двигателя и папрян'ения якоря: Иг(р) = —, 1 1 (4.31) са 1 -т Р.,,-т„г„р ' ггг й» где Тя ==, =- У вЂ” — электромеханическая постоянная вромепи двигаоенм ."1о А теля, Т„=- — — электромагнитная постоянная времени якорной цепи, (г, и М, — скорость холостого хода и пусковой момент двигателя.
Для того чтобы корпи знаменателя выражения (4.31) были веществен- ными н передаточную функцию можно было бы представить в форме (4.30), необходимо выполнение условия 4Т„= Тя. Переходная функция и функция веса звена приведены в табл. 4.2. Частотные характеристики приведены в табл. 4.3. Построение асимпто- тической л. а. х. производится аналогично тому, как это было сделано для апериодического звена порвого порядка.
Вначале проводятся вспомогатель- 1 ные вертикальные линии через сопрягающне частоты ег — — - —, и ог -:- —. тг Тг Для определенности построения принято, что Т, -> Т,. Л. а. х. строится по вырая'ению (4 32) Т (ог) =- 20! д ( Иг (уег) / == 20 1д 74 Оз. 4 дпнлмпчкскпк звенья и пх хлелкткенстпкп 1 г Левее первой сопрягающей частоты (ю ( — ) это выражение заменяется тз) прнбли'пенным А(ю) 201дй, которому соответствует прямая с нулевым наклоном (первая асимптота 1 л. а. х.). Для частот —, (св~ —, выражение (4.32) заменяется приблитз ~4 жекным (ТгР2-, 'ХТР-Г1) хэ — —.)схп (4.33) или ( Р, +=я+ 1) из=.=йго (4.34) 1 где д -= — — угловая частота свободных колебаний (прн отсутствии затухания), а ь — параметр затухания, лежащий в пределах 0 ( ь (1. Передаточная функция колебательного звена й ь 1-, З1тргт:рг, г".р рг ' (4.35) ч в~ Примеры колебательных звеньев приведены на рис.
4.17. Е ним относятся колебательпые ЛЕС-цепи (рис. 4.17, а), управляемые двигатели посто- явного тока при выполнении условия 4Та ) Тм (рис. 4.17, б), упругие механические передачи, например для передачи вращательного движения (рнс. 4.17, в), с упругостью С, моментом инерции Х и коэффициентом скоростного трения Ь', гироскопические элементы (рис. 4.17, г) и др. Рассмотрим для иллюстрации гироскопический элемент (рис. 4.17, г). В качестве входной величины примем момент ЛХ, прнкладываемый к оси я, а в качество выходной — угол поворота этой же оси сс. Уравнение равновесия моментов на оси Пудом считать, что на оси р (оси прецессии) не действуют никакие внешние моменты.
Тогда для атой оси уравнение равновесия моментов запишется так:  — ~+Н вЂ” "=О. ис~ <й Ь(<о) = 20 и†которому соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дбудек (вторая 1 асиггптота). Для частот ю) — выражение (4.32) заменяется приближенным т, Т.«о) = 201д которому соответствует прямая с отрицательным наклоном 40 дядек (третья асимптота). Действительная л.
а. х. показана в табл. 4.3 пунктиром. Она отличается от асимптотической в точках излома на 3 дб. 4. Колебательное звено. Звено описывается тем не дифференциальным уравнением (4.27), что и апериодическое звено второго порядка. Однако корни характеристического уравнения Тр' †, 'Тгр + 1 = О должны быть комплексными, что будет выполняться при Т, ( 2Тю Левая часть дифференциального уравнения обычно представляется в виде 75 Ч 1.51 ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ Б этих формулах А н  — моменты инерции по осям а и р, ТТ вЂ” кинетический момент гироскопа, равный его полярному моменту инерции У, умноженному на угловую скорость вращения Й, и г' — коэффициент скоростного сопротивления на оси а.
Переходя к операторным выражениям и решая оба уравнения совместно, получаем: ( —,р'+ — р+1) а=' —,М. АВ РВ в Это уравнение можно переписать следующим образом: ( ~, + = р+ 1) 55 == —, М, 1 Ич где ч = — — квадрат угловои частоты нутационных колебании а АВ 1 Р1/"В =- — — 1А — — параметр затухания, определяемый действием сил скорост- 2Н1 А ного трения на оси а.
Это уравнение совпадает с выражением (4.34). Для а) 7а ~и е) 71алааиа 27емаЧ7ер Рвс. 4.17. решения дифференциального уравнения (4.33) или (4.34) необходимо найти корни характеристического уравнения Тэре+2ЬТВ+1 = ~ + — ~+1=0. ч' ч Решение дает 7 ..= — 7119= — ~ ~/' ~ ~'1 — Р= — 1ч~л)'~ — 1' (430) Вещественная часть корня у представляет собой коэффициент затухания переходного процесса, а Х вЂ” частоту аатухающнх колебаний. Временные характеристики звена приведень1 в табл. 4.2, а частотные характеристики — в табл.
4.3. Амплитудная частотная характеристика может иметь резонансный пик. Исследование модуля частотной передаточной функции'на максимум показывает, что пик будет существовать прн 1", с: 0,707. Высота пика будет тем больше, чем меньше параметр затухания: (4.37) 76 динАмичвскп1к звгпья и пх ХАРАктегистики Максимуму а. ч. х. соответствует частота ) г1 2~1 (4.38) Л. а, х.
строится по выражению Ь (с1) -= 20)я ~/ (1 — — ) +4ьз з Однако построение л. а. х. ке моя1ет быть сделано так просто, как зто было для предыдущих звеньев. Для построения используются так называемые нормированные л. а. х. Постоянный мноячитель зод знаком логарифма в выражении (4.39) может быть выделен в отдельное слагаемою й (1о) =-= 20! д й -,'- 20! я (4.40) (1,11 ) +З',1 Построение первого слагаемого (4 40) не представляет никакого труда. Второе Ы слагаемое может быть построено в функции относительной частоты — для различных аначений параметра аатухания ~ в виде универсальных (нормированных) кривых (рис.
4.18). Для построения истинной л. а. х. необходимо (4.39) ь — йй"" ь Ь Ц/ йс 04 ЦЕ д8 1 с о 4 о 8 Ат 0' Относитооьиаа частота сччу=чог Рос. 4.18. выбрать нормированную л. а. х., соответствующую данному значению поднять ее параллельно самой себе ва 20 1я й и по оси частот от относительной частоты перейти к действительной умножением на д.
В функции той же относительной частоты на рис. 4.18 нанесены нормированные л. ф. х., построенные по выражени1о '1~ ф == — агс18 (4.41) Построение л. а. х. колебательного звена можно делать также посредством проведения двух асимптот с наклонаии 0 и 40 дб!дев, пересекающихся 77 позиционные звенья 1 в точке в =- —, с последующим введением поправки, которая приведена на рнс. 4,19. Нормированные переходные характеристики колебательного звена для случая 7с = 1 приведены на рис. 4.20 в функции относительного времени д1. 3В !Я 7О ф В ъ д ьь Ф О Ог Ог ОВОДОВ ОВ(О г В 4 ОВ В 7О Относительная частота сьгу=оэт Рис.
4Л9. Я 4 Х О 7 В ООГ+ Рис. 4.90. Сравнение рнс, 4.18 и 4.20 показывает, что снижение параметра затухания ь приводит к повышению колебательности переходного процесса и росту резонансного пика ампчитудпой частотной характеристики. 5. Консервативное звено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
