Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. Л'з = 1. Помножив и поделив правую часть равенства (4.4) на з и перейдя к пределу, получим функцию веса Ро (ь (в) — ь (в — г)) Ль 0) ш(г) = Вш о- о е ш (4.5) )г' (р) = ~ ш (г) е ш й. о (4.6) В свою очередь переходная функция авена связана с его передаточной функцией преобразованием Карсона, т. е. имеет место интегральное преоб- разование И' (р) = р ~ )в (г) а " йС. о (4.7) Для входного воздействия произвольного типа, прикладываемого в момент ~ = О, переходный процесс на выходе звена при нулевых начальных условиях может быть определен на основании интеграла Дюамеля — Карсона Таким образом, функция веса мояоет быть по- лучена дифференцированием по времени переходной х/ функции. В случае, если на вход звена поступает нееди- ничная импульсная функция х~ =-66 (г), на выходе У звена получится хв == 6ш (г). Более строго функцию веса можно определить д как отношение выходной величины звена хв (в) к площади поданного на его вход импульса х~ (в) =- а Л/ =--.
66 (г), т. е. и (в) =- 6 'хв (г). При этом размерность ш (в) соответствует размерности передаточной функции звена, деленной па время. Импульсная функция также представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду можно свести, например, кратковременный удар нагрузки на валу двигателя, кратновременный ток короткого замыкания генератора, отключаемый плавкими предохранителями, и т. п. В действительности реальные импульсные воздействия на автоматическую систему всегда будут конечными по величине и продолжительности. Однако в случае, если нх продолжительность весьма мала по сравнению с временем переходного процесса звена или автоматической системы, то с большой степенью точности реальный импульс может быть заменен дельта-функцией с некоторым масштабирующим коэффициентом, что позволяет оценить переходный процесс по виду функции веса.
Функция веса звена связана с его передаточной функцией преобразованием Лапласа, а именно: передаточная функция есть иаображепие функции веса и связана с ней интегральным преобразованием ЧАСТОТНАЯ ПВРКДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ао переходной функции: с хэ(С) =х,(О)й(С)+ ~ х,(т) Ь(С т) дт, о или по функции веса: (4.8) ! хв (с) = ) х, (т) и> (с — т) сст, е (4.9) где т — вспомогательное время интегрирования, изменяющееся в пределах от нуля до рассматриваемого текущего момента времени П Более подробно методика нахождения переходного процесса при произвольном входном воздействии будет рассмотрена в главе 7.
$ 4.3. Частотная передаточная функция и часточмые характеристики Важнейшей характеристикой динамического звена является его частотпая передаточная функция. Для получения ее рассмотрим динамическое звено (рис. 4.1) в случае, когда возмущение ~ (~) = О, а на входе имеется гармоническое воздействие хс = Х,м соз юс, где Хсм — амплитуда, а о>— угловая частота этого воздействия. На выходе линейного звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но в общем случае сдвинутая по фазе относительно входной величины на угол >[>. Таким образом, для выходной величины мол!но записать хв = Хв„соз (юс + 1[>).
Воспользуемся формулой Эйлера и представим входную и выходную величины в виде суммы экспоненциальных функций; х, = — '" [ес"'+ е >"'[ =- х'+ х", ! 2 1 ! х = — !м[ессм!+э> -[-е-я!о!+э>[ =х -[-х . х 2 О 2' ) (4 ЛО) х1 —— Х!месм!, х = Х„ед !+Э> (4.11) Символичность этой сокращенной ааписи заключается в отбрасывании составляющих с множителем е С"1.
Для нахождения соотношения между входной и выходной гармоническими величинами звена воспользуемся его дифференциальным уравнением в виде 2 сГ>хс с>хо ахс то + тс + х2 й1х! + /с спв ас ес ') Ииогда употребляют символическую запись 21п ФС = о>"с. В линейной системе на основании принципа суперпозицин можно рассмотреть отдельно прохождение составляющих х, и х,. Кроме того, можно легко показать, что достаточно рассмотреть прохождение только составляющей х'„которая в выходной величине дает составляющую х,'. Соотношение между составляющими х," и х, получается таким >ке, как между х', и х,'. Поэтоыу в дальнейшем рассмотрении воспользуемся символической записью ') соз о>С = е>"".
Тогда динАмические 3Венья и их ХАРАБТИРнстики [го. о Из выражений (4.11) определим производные: о) — =. уаХ,„е)в, ш — ' =- уаХе,„е)(""+Ф, — ) =- (уа)з Х, е)))о)+ч) Подставив значения входной и выходной величин и их производных в исходное дифференциальное уравнение, получим: Т," (Уа)о Хз„е))"'+Е) + Т)УаХзиейю+Е) + Хзиедщ "Ч) = Ус)ХечеУоо + УЧУаХ)„е) "', откуда после сокращения на общий множитель е)ча найдем: (4.13) И' (уа) =- 4 (а) е)в == (У (а) + ур (в), (4.16) где А (в) — х)оу[уль частотной передаточной функции,)р (в) — аргумент или фаза, УУ (а) и Р (а) — вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функции. Ыодуль частотной передаточной функции находится как отпо)пение модулей числителя и знаменателя.
Для рассмотренного выше примера (4.12) ~'Уг," -,— И1о)з 1)(1 — т)аз)З Р Г)во Аргумент или фаза частотной передаточной функции находится как разность аргументов числителя н знаменателя. Для (4 12) имеем: к)0) т)в )() (в) — — агсся — „— агс1и (4 12) Это выражение называется частотной передаточной функцией звена.
Таким образом, частотная передаточная функция Иг (уа) представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент — сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной: В) ой И' (уо)) = ) И' (уа) 1 —.- — "' Х)1 ' зги И'(уа) =-)р. В более общей формулировке для входного сигнала любого вида частотную передаточную функцию можно представить как отношение изображений Фурье (частотных изобрая'ений) выходной и входной величин: И (уа) = х ( „,)- = И' (Р) ~~ — уо (4.14) х) (уа) что непосредственно вытекает из формулы (4.1)при переходе от изображения Лаплас» к изображению Фурье; следовательно, частотная передаточная функция легко получается из обычной передаточной функции подстановкой Р =Уо) Частотная передаточная функция звена есть изображение Фурье его функции веса, т.
е. имеет место интегральное преобразование $Г(уа) = ~ в(у) и ""'йу. (4.15) о Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде: члстотнля пкгвдлточнля фгнкция Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции необходимо освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на комплексную величину, сопряженную знаменателю, и затем произвести разделение на вещественную и мнимую части. Для (4А2) йз (1-- Тзз/оз) + йзТ/из И Тьо )з+Тр йззо (1 — Тезка) — й/Т/зз Р(о) ' (1 — ТМиз)з+Тз Для наглядного представления частотных свойств звена использузотся так называемые чаототкые характеристики.
Алзплитудно-у/азовал чаепзотная характеристика (а. ф. х.) строится на комплексной плоскости. Она представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих частотной передаточной функции И/ ()оз) =-- (/ (е/) + /)/ (/о) при изменении частоты от нуля до бесконечности ео9 (рис.
4.7). По оси абсцисс откладывается веществен- о// ная часть У (оз) — -- Ке И' () оз) и по оси ординат — мнимая часть з/ (оз) =: 1ш И'(/оз). Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полу- аз р чекные точки соединяются затем плавной кривой. е р во / / Около нанесенных точек можно написать соответ- 1 // / ствующие им частоты ю„юз, озз и т.
д. 1 / е А. ф, х. может быть построена как для полоя<ительных, так и для отрицательных частот. При аамене в частотной передаточной функции +е> на — ю получится сопрях/енная комплексная величина. Поэтому а. ф. х. для отрицательных частот может быть построена как зеркальное изображение относительно вещественной оси а. ф. х. для положительных частот. На ркс. 4.7 а.
ф. х. для отрицательных частот показана пунктирной линией. Отмотим, в чем заключается смысл положительных и отрицательных частот. При помощи преобразования Фурье Х (/ю) = ~ х (1) е-Кз//(/ о функция времени х (/) преобразуется в функцию частоты Х ()оз). Это означает, что функция времени представляется в виде бесконечной суммы бесконечно малых по величине векторов, вращающихся на комплексной плоскости с различными угловыми скоростями (частотами) ю.
Эта сумма определяется формулой обратного преобразования Фурье з+в *()=-,— ' ~ Х() ). Ч, з— где с — абсцисса абсолютной сходнмости. Так как функция времени является вещественной, то каждому элементарному вектору Х (Тю) е/ з/з/о, вращающемуся против часовой стрелки (оз ~ О), должен соответствовать элементарный сопряженный вектор Х ( — /оз) е >""/(оз, вращающийся по часовой стрелке (ез ~ О). В этом случае сумма таких векторов в любой момент времени будет всегда вещественной. Поэтому интегрирование в формуле обратного преобразования Фурье должно вестись по всем частотам от — оо до +со. С.. 4 днылмичвские звенья и их хАРАктегистики Примером представления функции времени в виде суммы сопряженных векторов, вращающихся в рааные стороны, может служить изображение гармонических функций по формулам Эйлера, например (4.10).
Таким образом, положительные и отрицательные частоты имеют определенный смысл, так как они соответствуют положительным и отрицательным угловым скоростям вращения векторов на комплексной плоскости. В принципе можно ограничиться рассмотрением только положительных частот. Однако при использовании всего диапазона частот от — со до +со многие формулы получают более удобный и симметричный вид. Длина вектора, проведенного из начала координат в точку а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
