Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования (1972) (1151987), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Кроме рассмотренных выше существуют различные другие аспекты самоорганизации, самообучения и т. и., которые рассматриваются в литературе по кибернетике, изучающей наиболее общие законы управления и преобра- й3 ПРОГРАММЫ И ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ. АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ ~га. 2 зования информации в автоматических системах, в системах связи, в вычислительных и других машинах, а также и в живых организмах с общей точки зрения. Чем дальше развивается автоматика в технике и познания в биологии, тем больше появляется аналогий функционирования автоматических систем и живых организмов, в том числе системы высшей нервной деятельности и головного мозга человека. Изучение этих аналогий, рассматриваемых с общей кибернетической точки зрения, оказывается очень полезным как для техники, так и для биологии. В частности, техника автоматизации еще далеко не полностью использует возможности нелинейных законов регулирования, самонастройки, самоорганизации и высокой надежности.
которые имеют место в процессах управления и преобразования информации в живых организмах. В целом ряде систем управления техническими объектами в качестве «звена» замкнутой системы участвует человек-оператор. В связи с этим развивается новая важная область технической кибернетики, называеман инженерной психологией, которая изучает проблемы взаимодействия человека-оператора с автоматикой в системах управления и преобразования информации. Это приобретает теперь особенно важное значение пе только в процессах управления производством, но также и в связи с совершенствованием процессов управления скоростными самолетами и в связи с развитием космических полетов.
В заключение отметим, что техническая реализация самонастраивающихся и самооргаиизующихся систем регулирования и управления в большинство случаев сложнее, чем систем с нелинейными законами регулирования. Но прн этом и возможности самонастраивающихся систем значительно шире. Однако инженер должен иметь в виду, что во многих случаях при помощи нелинейных законов регулирования, проще реализуемых на практике, можно успешно решать ряд таких задач, которые с точки зрения линейной теории регулирования считаются требующими самонастройки как неразрегнимые в рамках этой линейной теории.
РАЗДЕЛ Н ОБЫКНОВЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ГЛАВА 3 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ з 3.$. Линеаризация уравнений Г'с(х> хе хв, хе, хв, хе хв) =ег ((. ~) (ЗЛ) (для примера взят определенный порядок входящих в уравнение производных хе, х„~; вообще же здесь могут быть любые другие варианты). Допустим, что установившийся процесс в системе имеет место при некоторых постоянных значениях х, = х'„хз — — х'„х, = х', и ~ = Г>. Тогда уравнение установившегося состояния для данного звена согласно (3.1) будет г" (х,, х, О. х,, О, О, 0) — ч>(>е, 0).
4 в. и. весенерсниз, н. и. попав (3.2) Нри составлении дифференциальных уравнений динамики любой автоматической системы последнюю разбивают на отдельные звенья и ааписывают уравнение каждого звена в отдельности. Уравнения всех звеньев образуют единую систему, которую можно преобразовать к одному уравнению путем исключения промежуточных переменных. Уравнение звена должно быть составлено так, чтобы оно выражало зависимость (в динамическом процессе) между теми величинами, которые в схеме исследуемой системы указаны на выходе и входе данного а> б> авена, т.
в. между величинами, >с представляющими воздействие х данного звена на последующее по х,евсеа схеме звено и воздействие преды- х>' дущего звена на данное. Динамическое уравнение отдельного звена ае составляется по правилам соответствующей технической науки (зве- Рвс. ЗЗ.
но может представлять собой тепловой двигатель, электрическую машину, механическую передачу, электрическую цепь, ламповую схему и т. п.). Звено может иметь иногда нв одну входную величину, а несколько (например, при наличии дополнительных обратных связей). Кроме входной и выходной величин звена, которые выражают собой внутреннив связи между звеньями данной системы, может учитываться также внешнее воздействие. Нусть, например, звено (рис. ЗЛ, а) какой-нибудь автоматической системы имеет входные величины х>, хв, выходную — хв и внешнее воздействие ~, а динамическое уравнение звена имеет произвольный нелинейный вид 50 [гз. 3. линклгизхцпя гглвнвнггн систкм ввгхлнговлння В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные (в данном случае х„х„хз) изменяются так, что их отклонения от устаповивпшхся значений (х'„х"„х",), остаются все время достаточно малыми (рис.
3.1, б). Обозначим указанные отклонения через Лхг, Лхз, Лхз. Тогда в динамическом процессе х,(г).— х',+Лх,(г), хз(Ю) —.-х',+Лхз(г), хз —. Лхз, 1 (3.3) хз(Г) - хз+Лхз(О, *з . Лхз. хз--Лхз. хз- Лтз ) Условие достаточной малости динамических отклонений переменных от некоторых установившихся значений для системы автоматического регулпрования и следящих систем обычно выполняется. Этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы. Внешнее же воздействие / не аавнснт от работы автоматической системы, изменение его молгет быть проиавольным, и позтому правая часть уравнения (3.1) обычно линеаризацни не подлежит (в отдельных случаях н она может быть лннеаризована). Первый способ лннеарнаации. Разложим функциго г", стоящую в левой части уравнения (3 1), в ряд по степеням указанных выше малых отклонений, рассматривая все производные тоже как самостоятельные переменные.
Тогда уравнение (3 1) примет вид г"'(х, хз, О, х, О, О, О)+ ( — ) Лх,, ( — ) Лх. —,— —,) Лх дз о дд о ; дд о дзг дзз + ( —.) Лхз+ ( —.) Лхз .')- ( —.. ) Лхз+ (-г.—.1 Лхз -',- +(члены высшего порядка змзостя) -- гр (/ /) (3 .г)' г дяго дл где через ( —,) для краткости обозначена величина —., взятан прн хг —.-. х",, .Ь.,/ дхг ' хз =х.'„:сз:- О, хз --. х,',..., х, -= 0 (т. е.
сперва борется в общем андо частная производная от функции Г по х,, после чего в нее вместо всех переменных подставляются их постоянные значения х'„х",„О. х"„,.... О). Следовательно, все частные производные в полученном уравнении (3.4) представляют собой некоторые постоянные коэффициенты. Они будут переменными во времени, если функция /' содержит Г в явном виде илн если установившийся процесс в системе определяется переменными значениями х', (г), х, '(г), х,'. (г). Чзгены высшего порядка малости, указанные в уравнеггпи (3.4), состоят из произведений и степеней малых отклонений Лх„Лх„...
с коэффициентами в виде смешанных частных производных н частных производных второго и высших порядков от функции г' по всем переменным. Вычтя из уравнения (3.4) почленко уравггение установившегося состояния (3.2) и отбросив члены высшего порядка малости, получим искомое линеаризованное уравнение динамики данного звона в виде ( — ) Лх,+ ( — ) Лхз-,( — ) Лх,+ ( ) Лхз дв +( —.) Л',+( —..) Л,+( ...) Л, р(/,/) — р(/',О).
(3.5> Г дкзе ', Г дк'О ' ' дг1О дхз доз ' ' дхз линеагизациягуиавнений $ З.О Это дифференциальное уравнение, так же как и (3.1), описывает тот же динамический процесс в том же звене автоматической системы. Отличие этого уравнения от прежнего состоит в следующем: 1) это уравнение является более приближенным, ибо в процессе его вывода были отброшены малые высшего порядка; 2) неизвестными функциями времени в этом уравнении являются не прежние полные величины х,, х„хю а ил отклонения Лх„Лхз, Лхз от некоторых установившихся значений х'„х",, х',; 3) полученное уравнение является линейным относительно отклоне- гдР~ а ний Лх„Лхз, Лхю Лх„..., Лхз с постоянными коэффициентами ~д~~ ) (,.) згура — ),...
(или с переменными коэффициентами, если г" содержит З в явном а~з виде, а также когда установкйшийся процесс определяется переменными величинами х', (г), х', (г), х', (г), например в програм- В мном регулировании). б) Таким образом, цель по- с Б лучепия линейного диффе- х Л-", ренциального уравнения взамен прежнего нелинейного ! достигнута.
Уравнение (3.5) называется дифференциаль- х ным уравнением звена в от- 1 клонениял. Проделав то же самое для всех звеньев систе- Рнс. 3.2. мы, получим в результате линеариаованные уравнения процесса регулирования в отклонениях (или, как называют еще. уравнения «в вариациях»). В дальнейшем можно будет проводить линеаризацию нелияейныл уравнений непосредственно по аналогии с формулой (3.5), не производя предварительпыл выкладок. Приведем геометрическую трактовну этого способа линеаризации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
