Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е изд., 1977) (1151959), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В тех случаях, когда цепь описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, исследование корней характеристи- ческого уравнения, необходимое для решения вопроса об устойчи- вости системы, является сложной задачей. Оказывается, что эту же задачу можно решить, анализируя со- отношения между коэффициентами уравнения без определения самих корней уравнения.
Это можно выполнить с помощью теоремы Гурвица', которая утверждает, что для того, чтобы действительные части всех корней уравнения Ь„х'"+Ь,х '+Ь,х '+ ... +Ь,х+Ь =0 с действительными коэффициентами и Ьв) 0 были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все опре- делители Ьо Ь„..., Ь, составленные из коэффициентов уравнения Ь„Ь„..., Ь„, по следующей схеме: л,=ь;, Ь, Ь, 0 0 Ь, Ь, Ь, О Ь1 Ьэ 0 Ьо ьз Ь4 0 Ь1 Ьа Нетрудно видеть, что все последовательные определители являются главными диагональными минорами определителя Л . Так как последний столбец определителя Л содержит лишь олин отличный от нуля элемент Ь, расположенный на главной диагонали, то выполняется равенство Отсюда следует, что в соответствии с теоремой Гурвипа условия устойчивости можно сформулировать в виде следуюших неравенств: Л)О,Л,=О,...,Л,)о,ь .= О.
Так, например, для характеристического уравнения второй степени получаем 1ЬЩ л,= ь,)о, ь,)о, для уравнения третьей степени Л,=Ь,) О, 15,90) т. е. Ь, » О, Ь,Ь,) Ь,Ь„Ь,) О. Так как Ь„о, и о, положитель- ны, то н Ь,) О. Для уравнения четвертой степени 1. л,=Ь,)О, ?1. Л~=Ь,Ьэ — ЬЬ >О, П1. Лз =- Ьз (Ьть,— Ьзьэ) — Ь',Ь4) О, !7. Ь,)0.
Сформулированный алгебраический критерий устойчивости часто называют критерием Рауса — Гурвипа, При составлении определителей по указанной схеме коэффициенты с индексом, превышаюпшм степень характеристического уравнения, заменшотся нулями. Поэтому, например, для уравнения четвергой степени получаются следуюшие определители: Из условия 111 на основании условий 1Ч н 1 вытекает неравенство Ь„(Ь,Ь, — Ь,Ь,) ) Ь,Ь, О. Поэтому второе условие можно заменить условием Ь ) О. Таким образом, для уравнения четвертой степени получаются следующие условия устойчивости: Ь, » О, Ь ) О, Ь (Ь,Ь,— Ь,Ьв) — Ь'.,Ь, ) О, Ьс» О. (5.91) Поясним применение критерия Рауса — Гурвица на простом примере рассмотренного резонансного усилителя с обратной связью (рис. 5.27), Характеристическое уравнение этой цепи прв К,с = = М/ь (отрицательная обратная связь) Р + 12сс„+ — — ?Р+вэ=О.
с / 1И Вт с/ . Сформулированные для уравнения второй степени условия устойчивости (5.89) в данном случае принимают вид Ь,=Ь, = Ъ.в+ — — - О, Ь, = со„~ О. м 3 Первое условие выполняется при любой величине М, а второе— от М не зависит. При положительной обратной связи (1( „= — Мl.(.) цепь устойчива при выполнении условия 2сс„— (МП.)(ЯС) ) О, совпадающего с (5.88).
Критерий Рауса — Гурвица особенно удобен для проверки устойчивости цепи с заданными параметрамн (т. е. коэффициентами дифференциального уравнения). Однако им неудобно пользоваться при экспериментах, так как обычно бывают известны не коэффициенты уравнения, а передаточная функция разомкнутой цепи К (Р) К„(Р). Кроме того, критерий Рауеа — Гурвица не дает ясных указаний, как неустойчивую цепь сделать устойчивой. ад С ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Требование, чтобы передаточная функция Кс(Р) = Кг (Р)7 (1 Кв (Р)Кос (Р)) не имела полюсов в правой полуплоскости р = о + (со, т. е.
в области, ограниченной полуокружностью бесконечно болывого радиуса )7 и осью йо (рис. 5.28, а), равносильно' условию, что знаменатель выражения (5.92) не должен иметь нулей в указанной области или, что то же самое, функция 1((Р) = К (Р)К с (Р? (5.93) и...,.. ° р..и --. ° ~ а-.,.. к,с~- ° полюсов в правой полуплосвости Р. не должна обращаться в единицу ни в одной из точек правой полу- плоскости р. Но Н (р) представляет собой передаточную функцию разомкнутого кольца обратной связи, т. е. отношение напряжения на зажимах 2 — 2 к напряжению на зажимах 1 — г при разомкнутом кольце, как это показано на рис. 5.29.
Следовательно, об устойчивости системы с обратной связью можно судить по характеристикам разомкнутого тракта. Для дальнейшего анализа целесообразно перейти от плоскости р = и + гм к плоскости Н (р) = и + и (рис. 5.28, б). и ау Рис. б.28 Замкнутый контур на и-плоскости (а) и гокограф функции и (Гы) на плоскости и+Га (а). Каждой точке р из плоскости о, гга соответствует определенное значение Н на плоскости и, Гп. Любой замкнутый контур на плоскости р преобразуется с помощью выражения (5.93) в некоторый (также замкнутый) контур на плоскости Н.
Если исходный контур на плоскости р задан в виде контура на рис. 5.28, а, соответствующий ему контур иа плоскости Н называется г о д о г р а ф о м функции Н. Показанный на рис. 5.28, а контур С можно разбить на два участка: Ц прямая гга при изменении га отсо до — оа и 2) полуокружвость бесконечно большого радиуса Я. На первом участке, где а = О, р = гм, функция Н (р) обращается в функцию Н (гпг). В соотвегствии с выражением (5.93) этот участок преобразуется на плоскости Н в линию, определяемую следующим соотношением: Н (ага) = К г (гга) К оа (гга) = К т (пг) К аа (га) е ( т = и (га) + Ь (в), (5.94) откуда (5.95) п«а) = Кт(м) Кос(аг) соз (гру+ фас)1 и (га) Кт (аг) Каа (га) з(п (фу+ Час) Н этих выражениях срз и сроо — аргументы передаточных функций ссютветственно четырехполюсников Ку (Ею) и К„Ню). На втором участке контура С (рис.
5.28, а) при Я вЂ” ~ сю функ ция' Н (р) — О. Зто вытекает из общего выражения (5.87), которое можно записать в форме В (Р— Рм) (Р— Рмй -. (Р— Раз) (р) = (Р— Рш) (Р— Рпз) - (Р— Рпю) (5.96) где  — постоянный коэффициент, а р„в р„у — соответственно нули и полюса функции К (р).
При ! р )- сю величинами рш и р„у можно пренебречь и функцию К (р) можно представить в виде Вр(ь — >. Совершенно аналогично и функцию Н (р) при р- оо можно представить в форме И (р) = Арм — >, Е где и н т — числа соответственно нулей и полюсов функции Н (р). При и с т и ( р) — оо модуль функции Н (р) на полуокружиости )Р—,„, Рис.
б.йз. К оппеделеии'о равен нулю. Таким Образом, полуокруж разомкнутого тракта уси- ность бесконечно большого радиуса )ч на литель — четырелполюсплоскости р преобразуется в точку, лежа- иик обратной связи. щую в начале координат на плоскости Н, и для построения годографа Н в виде замкнутого контура достаточно знать поведение Н (р) на оси йо, т. е.
знать амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики цепи К (1ш) К„(йш). Обходу контура С в положительном направлении (против часовой стрелки) соответствует обход годографа И при изменении частоты от со до — оо, Вся правая полуплоскость р преобразуется на плоскости Н во внутреннюю область годографа. Следовательно„ если годограф передаточной функции разомкнутого тракта не охватывает точку 1, 10, то при замкнутой цепи обратной связи система устойчива, в противном случае система неустойчива.
Зто условие называется критерием устойчивости Найквиста. Показанная на рис. 5.28, б диаграмма соответствует устойчивой системе. Зто видно из того, что годограф Н не охватывает точку 1. (О. Сплошной линией показана часть контура, соответствующая положительным частотам О > со ) оо, а штриховой кривой— отрицательным частотам. Так как функция и (ю) четная, а о (со) нечетная относительно ш, то оба участка годографа симметричны дй и Имеются в виду изиболее распространенные в практике четырезполюсииии с передзточиой функцией, у которой степень числителя л меньше степеии зивмеизтели пь Следует также отметить, что рис.
5.28, б построен для случая, когда при ы =- О передаточная функция Н ((га) отлична от нуля (зто возможно, например, для усилителей постоянного тока, в которых отсутствуют разделительные конденсаторы). При сложной схеме цепи форма годографа иногда бывает настолько усложненной, что по ней трудно судить о том, охватывается или не охватывается годографом точка 1, (О. В подобных случаях оказывается полезным критерий, вытекающий из критерия Найквиста, основанный на подсчете числа пересечений оси и (ы) иа участке 1, со . Для устойчивости цепи необходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок (как на рис.
5.28, б), либо пересекал его в положительном и отрицательном направлениях одинаковое число раз. Критерий Найквиста получил наибольшее распространение в радиоэлектронике, автоматике и других смежных областях. Основное его преимущество: удобство оперирования с амплитудно- частотной и фазочастотной характеристиками разомкнутой цепи. В некоторых системах, например, содержащих линии, этот метод по существу является единственно приемлемым. Вместо полярных диаграмм (годографов), изображенных иа рис. 5.38, при применении критерия Найквиста можно использовать обычные амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики разомкнутой цепи. Действительно, длина вектора Н(йа), как это ясно из выражения (5.94), есть не что иное, как модуль коэффициента передачи разомкнутой цепи КтК,„., т.
е. частотная характеристика этой цепи, а аргумент гри (рис. б.30), равный гр,„=агс(я "(" =ф (ы)+ гр„(ы), и (м) (5.97) есть фазовая характеристика цепи К К„. Совместив на общем графике амплитудно-частотную и фазовую характеристики, нетрудно ответить на вопрос об устойчивости цепи. Если при изменении гз от Одо оа фаза Ччэ не достигает величины и 2п, где а — целое число, то замкнутая цепь устойчива при любой величине К К„,. С другой стороны, если К„К„, при любои частоте меньше единицы, то цепь устойчива прй любой фазовой характеристике. Цепь неустойчива, если имеются частоты, при которых одновременно выполняются два условия: фг + ~р„ = п2п, и — целое число, Н = К,К„ ) !.
(5.98) По существу эти два условия необходимы для обращения в нуль знаменателя в выражении (5.78), определяющем передаточную функцию замкнутой цепи. Пример амплитудно-частотной и фазовой характеристик устойчивой цепи с обратной связью показан на рис. 5.30, а неустойчи- вой — на рис. 5.31. В первом случае (рис. 5.30) на частоте те„соответствующей тру + фее=2зт, модуль Р! ( 1. Во втором же случае (рис. 5.31) нт, — частота паразитной генерации. На рис. 5.30 и 5.3! отложены абсолютные знечениЯ тйр + ~Р„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
