Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 50
Текст из файла (страница 50)
3 6.4), глобально оптимальная бинарная последовательность фиксированной длины Л с минимальными потерями у может быть найдена только полным перебором. Такого рода поиск был выполнен для длин Х < 30 [48, 70). Разумеется, экспоненциальный рост необходимого вычислительного ресурса препятствует продвижению поиска далеко за рамки указанного диапазона. Однако на данный момент известны многие регулярные правила построения бинарных последовательностей сколь угодно большой длины с очень малыми потерями у (хотя и без гарантии их глобальной оптимальности). Рассмотрим специальный класс бинарных последовательностей с двухуровневой периодической АКФ, т. е. постоянным уровнем Л боковых ле- пестков б.22.
Е Н б * д И ьг 249)) найденный согласно (6.41) как ДПФ АКФ 1О-1 з.~ ха( ) (,2™) = ш=о М-1 2хтй '1 = ~' — я+х 1 ' „р(-1 т=о й = 0,1,...,Ж вЂ” 1. (6.45) Последняя сумма уже встречалась в подпараграфе 6.11.2 и, как было доказано, равна М, если й = О, и нулю в противном случае. Таким образом Я+ (А1 — 1)Л, й = О, (6.44) Х вЂ” В, йфО.
Подстановка этого в (6.42) имеет результатом 1 Х вЂ” 1 1+ (Х вЂ” 2)р А~+ (А1 — 1)Л А~ — Л (1 — р)[1+ (А — 1)р]' где р = Я/Ж вЂ” нормированный уровень бокового лепестка АКФ. Чтобы прийти к структуре ФПБЛ, перепишем (6.39) как сО а1 /, 2я1й '1 Ь; = — ~~~ — ехр(1 — ), 1=0,1,...,М вЂ” 1 Я„,|ОР (, А1 )' и подставим (6.44) в последнее соотношение, получив ь1=0,1,...,Х вЂ” 1.
Сумма по й здесь определяет коэффициенты согласованного фильтра, поскольку ее можно представить как М-1 2 Х вЂ” 'й ~1 1=О 1=О 1 = 0,1,...,Ж вЂ” 1, где использована вещественность элементов бинарной последовательности. Поскольку со — произвольный множитель, его мож- но положить равным А1 — Л. Тогда Ь, = а1о 1 —, 1 = 0,1,...,А1 — 1. (6.46) 1+ (А1 — 1)р' Первое слагаемое правой части этого равенства соответствует последо- вательности (а1), считываемой справа налево, т. е. коэффициентам согла- сованного фильтра.
Таким образом, для последовательности с двухуров- невой АКФ (6.43) ФПБЛ можно получить, слегка модифицируя согла- сованный фильтр вычитанием из всех его коэффициентов определенной константы. Более того, для бинарных последовательностей этого класса ~~~250 Глава б. Широкополосные сиеналы длл измерения коэффициенты ФПБЛ принималот лишь два возможных значения ~1— — рае/[1+ (АУ вЂ” 1)р], где ие — по-прежнему постоянная составляющая последовательности, т.е. разность между количествами положительных и отрицательных единиц на периоде: ао = АУ+ — АУ . Как известно из предыдущего анализа, существует множество бинарных последовательностей с АКФ вида (6.43), для которых Л = -1 (гп-последовательности, последовательности Лежандра и другие минимаксные последовательности с АКФ вида (6.12)).
Оценка потерь в ФПБЛ для них согласно (6.45) дает у = 2АУ/(АУ+1), т. е..у ы 2 (3 дБ) при практически интересных значениях длин. Отсюда видно, что весьма популярные минимаксные бинарные последовательности не имеют серьезной ценности в свете критерия потерь на подавление боковых лепестков: половина их энергии теряется при обработке в ФПБЛ. С другой стороны, для последовательностей с положительным В, сравнительно малым по отношению к Х, у < 1/(1 — р), т. е. потери в ФПБЛ достаточно малы. Так называемые коды Зингера [34, 48, 70] служат хорошим примером подобных бинарных последовательностей.
Коды Зингера существуют для любых длин вида Х = (он — 1)/(д — 1) и имеют двухуровневую АКФ (6.43) с П = АУ вЂ” 49н з, где д = рм —. натуральная степень простого р, и — натуральное. Наиболее интересная в данном контексте разновидность кодов Зингера получается при д = 3. При этом р = (3" ~ — 1)/(3" — 1) и у < (3" — 1)/(8 3" ~) < 9/8 = 1,125, т.е. уэн < 0,51 дБ. Как видно, данные коды в комбинации с ФПБЛ вполне привлекательны, обладая достаточно малыми потерями на полное подавление всех боковых лепестков.
Пример 6.19. Построим ФПБЛ для периодического бинарного кода Баркера длины М = 5 из табл. 6.1: +1,+1,+1,— 1,+1, для которого Х~ — — 4, Х = 1, и постоянная составляющая ао = 3. Периодическая АКФ такого кода, как легко проверить непосредственно, подчиняется условию (6.43) с УУ = 1 (р = 1/5). В действительности данная последовательность является простейшим кодом Зингера с параметрами д = 4, о = 2. Па рис.
6.20, б показана АКФ (т.е. отклик согласованного фильтра) периодического сигнала с прямоугольными чипами, модулированного рассматриваемым кодом (рис. 6.20, а). Как следует иэ (6.46), согласованный фильтр для данной последовательности легко трансформируется в ФПБЛ заменой коэффициентов +1 на +2/3 и — 1 на — 4/3, которое с соответствующим масштабированием равносильно замене — 1 на — 2 при неизменности всех коэффициентов +1 (см.
рис. 6.21). Отклик ФПБЛ на сигнал рис. 6.20, а построен на рис. 6.22, на котором оцифровка диаграмм соответствует точкам на рис. 6.21. Выходной сигнал фильтра имеет желаемую форму, т. е. нулевой уровень боковых лепестков. Обратившись к (6.45), легко видеть, что энергетические потери в ФПБЛ 7 = 10/9 = 1,1111... (0,46 дБ). б.бб. Яб б д б б 2Я~ Рис.
6.20. Бинарный сигнал длины бб' = 5 и его периодическая АКФ Рис. 6.21. ФПБЛ для последовательности длины ббб = 5 Рис. 6.22. Отклик ФПБЛ для последовательности длины 1 б"б' = 5 (252 Глава б. Широкополосные сивналы длл изиеренил Известен ряд семейств еще более эффективных бинарных последовательностей, зксплуатирующик, как и коды Зингера, технику отображения линейных рекуррентных последовательностей над конечными полями на бинарный (~1) алфавит.
Их объединяющей привлекательной чертой является простота структуры <РПБЛ, коэффициенты которого принимают не более трех различных значений. Не углубляясь в достаточно наукоемкие детали и отсылая любознательного читателя к ~49, 50), отметим лишь, что среди упомянутых имеются семейства, обладающие асимптотически исчезающими потерями в Ф>ПБЛ: 7 Б — ~ 0 дБ при М вЂ” ~ оо. 6.! 3. ЧМ сигналы с оптимальной апериодической АКФ Начнем краткое обсуждение задачи построения ЧМ сигналов с хорошими корреляционными свойствами с напоминания, что согласно соотношению (5.20) требование малого уровня В (т) эквивалентно минимизации числа совпадающих частот в частотном коде гщ г"1,..., У~и а и его копии, сдвинутой на т позиций. Очевидно, что при числе чипов М (т.
е. длине), не большей числа доступных частот М, нулевой уровень боковых лепестков рр(т) = ра(гп) = О, т, у- .0 достигается тривиальным использованием частотного кода, все элементы которого г'; различны. Практически, однако, интереснее ситуация, когда ДГ ) М, так что среди элементов Г;, г = 0,1,...,% — 1 имеются повторяющиеся, и, следовательно, по крайней мере, одно совпадение частот в сдвинутых копиях частотного кода неизбежно, т.е Радах 3 1!Д. Так как частотная последовательность адекватно представляется решеткой размера М х Л (см.
~ 5.5), минимизация рад„„означает построение решетки с наименьшим числом совпадений меток в исходной решетке и ее копии, сдвинутой по горизонтали на т позиций. Одной из наиболее характерных задач этого рода является синтез так называемых радарныя решетпок — М х ДГ решеток с единственной помеченной клеткой в каждом столбце и рад„„ — — 1/Л, т.е. с числом упомянутых совпадений не более одного. Вполне объясним интерес к отысканию радарных решеток максимальной длины М при фиксированном объеме частотного алфавита М, поскольку это равносильно минимизации р„при ограничениях на частотный ресурс.
Следуя [511, выведем простейшую верхнюю границу длины радарной решетки. Рассмотрим последовательность гщ Рм...,Ра' 1 и заметим, что для получения не более одного совпадения все разности между номерами позиций с одинаковыми частотами должны быть различными. Действительно, пусть Р'; = Р~, Р, = Рс и 1 — й = в — 1 ) О. Тогда в исходной последова- тельности и ее копии, сдвинутой на т = г' — Й = я — 1 позиций, будет не менее двух совпадений.
Обозначим через п; число символов (частот) среди го, Рм..., Ра и повторяющихся 1 раз. Тогда гп;=Х и " п;=М. (6.47) Подсчитаем теперь число возможных разностей между номерами позиций с идентичными частотами. Имеется 1 повторений какой-то частоты, и, значит, г(1 — 1) таких разностей именно для этой частоты. Поскольку имеется п; частот, повторяющихся 1 раз, то общее число названных разностей составит 2„1(1 — 1)п;, и, так как повторения среди этих разностей запрещены, должно выполняться неравенство 1(1 — 1)п; < М вЂ” 1, (6.48) а правая часть которого есть максимальное число неравных положительных разностей на числовом множестве 10, 1,..., Ф вЂ” 1). Трином г'(г — 1) + +3 — 21 = 1 — 31 + 3 не имеет действительных корней и, следовательно, 2 положителен при любом г'.
Поэтому сумма [1(г — 1) + 3 — 21)п; = ~~~ г(г — 1)п;+ 3 У и; — 2~~~ 1п; > О, 3 2 з 3 что в комбинации с (6.47), (6.48) дает Х вЂ” 1+ ЗМ вЂ” 2Л > О, или (6.49) Л<ЗМ вЂ” 1. Полученная граница не является точной. Более точная граница, построенная, например в [52], в асимптотической версии имеет вид г7 < М, М»1, 20+ ч'6 (6.50) понижая правую часть (6.49) приблизительно на 0,194М. Абсолютно точные, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
