Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Следовательно, желательно отыскание троичных последовательностей, имеющих не только идеальную периодическую АКФ, но и малое число нулей %р на периоде, т. е. пик-фактор, незначительно превышающий единицу. Без подобного ограничения задача вырождается и имеет тривиальное решение: код с единственным ненулевым символом на периоде Ж, соответствующий одиночному чипу, повторяющемуся с периодом МЬ, безусловно обладает идеальной периодической АКФ, не представляя никакой ценности с точки зрения технологии расширенного спектра.
К настоящему моменту известен ряд правил генерирования троичных последовательностей с заявленными свойствами. Наиболее мощное из них порождает последовательности, длина и пик-фактор которых даются соотношениями я и (6.32) д — 1' ~п чв-1 где д = р — натуральная степень простого числа р, а и — нечетное натуральное. Последовательности этого типа определены для любой комбинации д,п в пределах оговоренных ограничений и, следовательно, выбором достаточно большого числа д значение их пик-фактора можно сделать сколь угодно близким к единице.
Конструкции троичных последовательностей с параметрами (6.32) базируются на некоторых тонких свойствах полей Галуа. Самые простые из них, охватывающие в то же время большинство длин из (6.32), соответствуют нечетному р(д = р, р ) 2) [40, 41, 70). Для большей прозрачности изложения ограничимся детализацией алгоритма для случая д = р, т.в. и д ь й р д иАкь 239)) т. е. пт = 1. При этом способ генерирования последовательностей удается описать в наиболее простой форме, опираясь иа р-ичиые тп-последователь- ности. Пусть с(б т' = ..., — 1,0, 1,...
— р-ичная т-последовательность, где р— простое нечетное. Каждый символ последовательности является элементом простого поля стг (р). Преобразуем последовательность в троичную, отображая нулевой элемент в действительный нуль, а ненулевые злемевты в их двузначные характеры. После этого поменяем знаки всех элементов ва нечетных позициях. Подобный словесно описанный алгоритм формализуется как ( — 1)'4(4), 4 ФО, О, тих=О, (6.33) Генератор ш-поспедоеатепьности Рис. 6.18. Генератор троичной последовательности Для оценки пик-фактора троичной последовательности (6.33) достаточно вспомнить, что период тп-последовательности Ь = р" — 1, и согласно свойству уравновешенности иа одном периоде содержится Ьс = ра — 1 нулей.
Все они, ио никакие другие злемевты, соответствуют нулям в троичной последовательности, следовательно, иа периодическом отрезке из А злемевтов троичной последовательности ровно Ьо элементов окажутся нулями, откуда для пик-фактора следует ро — 1 р= ( ьо Р Р Р что совпадает с (6.32) при д = р. Убедиться в том, что последователь- где т = ..., — 1,0, 1,.... На рис. 6.18 приведена структура, реализующая данное правило, которая содержит генератор т-последовательности, блок отображения элементов т-последовательности в значения характера или нуль, и умножитель, осуществляющий коммутацию полярности нечетных символов. (24» Г».Шр д р.
ность (6.33) обладает периодом, указанным в (6.32), и идеальной перио- дической АКФ, можно, отталкиваясь от еще одного свойства псевдослу- чайности т-последовательностей, доказательство которого можно найти в (42). Для его формулирования введем обозначение И,= р — 1 р — 1 и рассмотрим все пары (»»»э»1;,„) элементов р-ичной т-последовательно- сти, разделенные т позициями, где «пробегает по всему периоду (« = = О, 1,..., 5 — 1). Тогда (свойство пар), если фиксированное т не кратно Ь (т ~ (Л ни для какого целого 1), то среди пар (4, »1» ) пара (О, 0) встре- чается ра ~ — 1 рэз, а любая другая пара (х, у) фиксированных значений х,у е СГ(р) — р" ~ рзз.
В противном случае, если т = 1Ь, то в парах (»Ц,д; ~) второй элемент строго определяется первым: »1» „„ = с» »(»э где с», как обычно, примитивный элемент поля СГ(р). С учетом того, что «истинный» (т.е. пока неизвестный) период»»" троичной последовательности (6.33) есть некоторый делитель периода Ь исходной т-последовательности, вычислим ненормированную периодиче- скую АКФ троичной последовательности усреднением по интервалу», содержащему Т /М периодов: А,в — » Д, с — 1 Лр(т) = — » а;а;,„= ( — 1) — ~~» ф(»1«)ф(й;,„), (6.34) »с=а »=о, в»Фо, ц; ~в где в последней сумме отброшены все слагаемые, для которых»1»»1» ~ = О, вносящие нулевой вклад.
Пусть вначале сдвиг т не кратен Ь (т ф 1Ь). Тогда согласно свойству пар среди всех пар («Л,»Л ) в (6.34) любая пара (х, у) ненулевых фиксированных х, у Е СГ(р) встречается ровно р" раз. Отсюда для (6.34) следует р — 1 р — 1 = ( — 1) р" — ~ Ях) ~~ 4»(у) = О, т ~ 1Ь (6.35) лвп я=1 на основании свойства уравновешенности характера (6.21). Пусть теперь значение сдвига делится на Ь (т = 1Л). Тогда согласно свойству пар в сумму (6.34) входят только пары вида (4, »1» ~) = (х, с»~х), х Е СГ(р). Однако в силу свойства уравновешенности каждый из ненулевых элементов СГ(р) встречается на периоде р-ичной т-последовательности ровно р" 1 раз.
Поэтому с использованием мультипликативного свойства характера (6.20) д.дд. дд д д. д д д д дКФ 241)) 1Ь 1Ь ( ) = (- )'" " ' — Е и )м( ' ) = (- )'" " ' и ') — Е ю( ') х=1 .=1 и ,( ) =(- )""'"' "-'( - ) —,, так как д/1(хз) = 1 для любого ненулевого х Е СР(р), а ф(а1) = ( — 1)' согласно определению (6.18). Поскольку и — нечетно, то Ь = (р" — 1)/(р— 1) = р" 1+ р" ~ +...
+ 1 есть сумма нечетного числа нечетных чисел и, следовательно, сама нечетна. По этой причине число 1(Ь + 1) четно вне зависимости от 1 и, значит, В ((Ь) = р" 1(р — 1)М/Л. Отсюда видно, что значение Вт((Ь) -- одно и то же для любого целого 1, тогда как согласно (6.35) В (т) = 0 при любом т ф 1Ь. Таким образом, В (т) как функция т повторяется с периодом Ь и, следовательно, истинный период троичной последовательности Х = Ь = 5/(р — 1) = (р" — 1)/(р — 1), точно совпадая с предсказанным (6.32).
В итоге приходим к окончательному результату для периодической АКФ, подтверждающему ее идеальность р" 1, т ф О щод Х, О, т=Ощод1Х, где Ф = (р" — 1)/(р — 1). Пример 6.17. Пусть р = 3, и = 3, что означает Ьд = 26/2 = 13. Для построения троичной последовательности данного периода воспользуемся троичной т-последовательностью из примера 6.5: 1,0,0,2,0,2,1,2,2,1,0,2,2,2,0,0,1, 0,1,2,1,1,2,0,1,1,... В поле сдЕ(3) имеются только два ненулевых элемента, из которых лишь элемент 2 примитивен.
Очевидно, дед(1) = 1, ~(2) = — 1 и, следовательно, ненулевые элементы т-последовательности заменяются по правилу 1 — +1, 2 — — 1, а нули отображаются в вещественный нуль. В результате получается троичная последовательностьпериода 26 +1,0,0,— 1,0,— 1,+1,— 1,— 1,+1, О, — 1, — 1, — 1,0,0,+1,0,+1,-1,+1,+1, — 1,0,+1,+1, Изменение знаков элементов с нечетными номерами (начиная с нуля) приводит последовательность к окончательному виду +1,0,0,+1,0,+1,+1,+1,— 1,— 1,0,+1,— 1, + 1, О, О, +1, О, +1, +1, +1, — 1, — 1, О, +1, — 1,... Полученная троичвая последовательность имеет период М = 13 и пик-фактор и = 13/9 — 1,445.
Идеальность ее периодической АКФ легко проверить непосредственным расчетом. ~~~ 242 Глаеа б. Широкополосные сигналы длл измерения Можно исключить операцию изменения знаков элементов с нечетными номерами в правиле (6.33) и в схеме генератора на рис. 6.18, если вместо исходных т-последовательностей использовать некоторые специальные линейные последовательности меньшего периода. Для этого коэффициенты у; в рекурсии (6.13) и петле обратной связи РСЛОС генератора должны принадлежать соответствующему непримитивному неприводимому полиному степени и.
С деталями соответствующих доказательств можно ознакомиться в [41, 70). Примеры упомянутых полиномов третьей степени, избавляющих от операции смены знака в (6.33), даны в табл. 6.6 для р < 31. Последние две колонки таблицы содержат значения немаксимального периода Ь линейной последовательности, генерируемой РСЛОС, и периода М результирующей троичной последовательности. Еще одним достоинством этих полиномов является то, что негатив, по меньшей мере, одного из коэффициентов полинома равен 1, а, значит, умножение на него сводится к простому соединению с сумматором.
Тиба»ща 6.6. Неиримитввиые полинины иад простым полем Пример 6.18. Сформируем троичную последовательность, с параметрами р = 3, и = 3 с помощью полнвома хз+2я+2 из табл. 6.6. Прн этом рекурсия (6.13) принимает вид 4 = И«з + «1«з и при начальном состоянии «Ее = 1, «1« — — Из = О генерирует линейную последовательность над «лГ(3) 1, О, О, 1, О, 1, 1, 1, 2, 2, О, 1, 2 периода Ь = 13. После отображения ее ненулевых элементов в характеры, а нулевых — в вещественный нуль формируется троичная последовательность периода А« = 13, идентичная построенной в предшествующем примере.
Описанная конструкция без особых затруднений распространяется на случай а = р, р > 2, «о > 1 без изменения правила (6.33). Единственное «внутреннее» отличие заключается в том, что «и-последовательность Я1 окажется теперь а-ичной, т. е. с элементами из расширенного (в отличие от простого) конечного поля СР(д). Арифметические операции в рас- 6п.п. ~ .. 5 5 Р д ЙАкем97 Таблица 6.7. Параметры трончиых посаедоаательностей с идеальной периодической АЕФ 292=4 х73 13 3 8 1,141 3 3 3 4 1,312 3 17 1,062 21 1,240 5 4 1,332 31 3 5 3 9 1,123 3 19 1,055 364 = 4 х 91 52 = 4 х 13 3 3 1,163 3 7 57 532 = 4 х 133 3 11 1,099 1,141 73 3 8 84 = 4 х 21 1,312 553 23 3 23 1,045 3 25 1,042 3 13 1,083 1,123 651 3 9 732 = 4 х 183 121 5 3 1,494 1,240 3 27 1,038 3 5 124 = 4 х 31 757 5 5 1,250 133 3 11 1,099 781 3 29 1,036 3 31 1,033 3 13 1,083 871 29 13 183 228 = 4 х 57 1,163 3 7 993 3 16 1057 3 32 1,032 273 1,066 В табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
