Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 49
Текст из файла (страница 49)
6.7, суммирующей информацию о рассмотренных последовательностях с идеальной периодической АКФ для диапазона длин М ( 1057, даны значения порядка поля, длины и пик-фактора в зависимости от параметров р и п. Строки, в которых длины выражены произведениями, ширенных полях сложнее обычных операций по модулю д, и обсуждать их в нашем контексте вряд ли целесообразно. Любознательного читателя отсылаем за подробностями к ]40, 41, 70].
В отличие от рассмотренного, алгоритм построения троичных последовательностей при д = 2 , как и доказательство идеальности их периодической АКФ, основан на значительно более замысловатой математике, и в частности,на таких категориях, как квадратичные формы в конечных полях 143, 70]. Если любую из троичньтх последовательностей с параметрами (6.32) посимвольно умножить на единственную бинарную последовательность 1.,1,1, — 1, имеющую идеальную периодическую АКФ, результирующая троичная последовательность будет иметь учетверенную длину без ухудшения пик-фактора и утраты идеальности АКФ.
Подобным же образом посимвольное произведение двух троичных последовательностей с идеальной АКФ и взаимно простыми длинами А71, %2 будет вновь троичной последовательностью с идеальной АКФ, длиной М = А71%2 и пикфактором и = г 1и2, где к3 — пик-фактор 4-й исходной последовательности (г = 1, 2) [41, 70]. ~244 Г б. ВГр д у соответствуют последовательностям, получаемым посимвольным перемножением исходной троичной последовательности с бинарной последовательностью вида 1, 1, 1, — 1. При этом параметры д, р, и отвечают исходной троичной последовательности.
Как следует из таблицы, для многих приведенных кодов характерно малое (вплоть до пренебрежимого) отличие пик-фактора от единицы, что для системного дизайнера может означать предпочтительность троичных кодов по отношению к лучшим бинарным в ситуациях, когда желательна идеальность периодической АКФ. 6.! 2. Подавление боковых лепестков вдоль оси запаздываний Предположим, что проектировщик системы не склонен отказываться от бинарных 1хЦ последовательностей и в то же время не удовлетворен достижимым для них уровнем боковых лепестков периодической АКФ (рр П1~, > > 1/М).
В подобных обстоятельствах эффективно разрешить эти противоречивые запросы можно «имитацией» идеальной периодической АКФ за счет отказа от согласованной фильтрации в пользу специальной рассогласованной обработки, устраняющей боковые лепестки на всем периоде сигнала. Весьма схожие идеи лежат в основе снижения или подавления апериодических боковых лепестков ~39, 44, 45], как и в нейтрализации МСИ с помощью нуль-форсирующих эквалайзеров [2, 5, 71, однако в максимально прозрачной форме они проявляются при приложении к периодическим сигналам ~39, 46, 47, 701. 6.12.1. Фильтр подавления боковых лепестков Рассмотрим некоторую последовательность..., вч ь а„а,~ ь... периода Я, которая манипулирует чипы длительности Ь, и фильтр с конечным импульсным откликом, осуществвпощий суммирование Х сигнальных копий, задержанных на 1Ь и взвешенных коэффициентами йь 1 = О, 1,..., Ф вЂ” 1, как показано на рис.
6.19. В принципе обсуждаемая ниже обработка применима к последовательностям любого алфавита, тем не менее разумно сразу договориться об ограничении алфавита бинарным (хЦ, поскольку вне этого ограничения можно отыскать многочисленные последовательности с идеальной периодической АКФ, лишив тем самым задачу подавления боковых лепестков серьезной мотивации. В соответствии с этим можно положить все коэффициенты фильтра 5;, г = О, 1,..., М вЂ” 1 действительными.
При подаче на вход последовательности а;, 1 =..., — 1,0,1,... отклик фильтра описывается последовательностью с;, г =..., — 1, О, 1,..., элемен- б.о.лд 6 д .* д а24ф ты которой находятся сверткой Ж-1 п1 1Ь~, 1=О (6.36) г =...,-1,0,1, Рис. 6.19. Фильтр длл ...,а, оа;,аьн последовательности длнны 1У -~ ц я+о" аа = У снехр ~ — у — ), сч = — У адехр ~~у— г, к = О, 1,...,М вЂ” 1. Наша цель — получение на выходе фильтра дискретной дельта-функции (6.37), имеющей единственный ненулевой элемент на периоде. Спектр При периодической входной последовательности и; = о;.ь1п, г =..., — 1, О, 1,..., выходная также окажется периодической с тем же периодом Х: с; = с;+к, г = ..., — 1, О, 1,....
При этом Х элементов со, с1,..., си 1 полностью задают выходную последовательность, и (6.36) становится циклической сверткой, в которой вычитание в индексе осуществляется по модулю М. Наложим на фильтр следующие требования со~О, с;=0 1=1 2 ... Лг — 1 (6.37) означающие физически, что выходной сигнал фильтра имеет ненулевые главные пики, повторяющиеся с периодом ЖЬ, тогда как все боковые лепестки между ними равны нулю. Подобный фильтр, называемый далее фильтром одавления боковых лепестков 1ФПБЛ), имитирует своим откликом идеальную периодическую АКФ.
В связи с нереализуемосгью (за единственным тривиальным исключением) идеальной периодической АКФ в классе бинарных кодов ФПБЛ оказывается рассогласованным и, следовательно, проигрывает согласованному фильтру в выходном отношении сигнал — шум. Кратчайший путь отыскания коэффициентов фильтра в явном виде — применение дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Последовательность а;, г = 0,1,...,Х вЂ” 1 и компоненты ее ДПФ-спектра аь, к = О, 1,..., Х вЂ” 1 связаны друг с другом прямым и обратным ДПФ: (246 Г 6. и р . д .р такой последовательности равномерен: сь = со, Ь = 0,1,...,% — 1. Тогда на основании теоремы о свертке (1] спектр последовательности (6.36) на выходе фильтра се = йьЬь = со, 1с = 0,1,... Ж вЂ” 1, где спектр последовательности коэффициентов фильтра Ьь есть не что иное, как передаточная функция ФПБЛ: Ь„= — ", 1=0,1,...,%-1.
(6.38) йь' Как видно, передаточная функция ФПБЛ обратно пропорциональна спектру сигнала, благодаря чему фильтры подобного типа часто называют инверсными. Смысл инверсной фильтрации как раз и состоит в выравнивании спектра входного сигнала. Как показывает последнее равенство, ФПБЛ физически реализуем для любой периодической последовательности, ДПФ-спектр которой не содержит нулевых компонент. Вычислив обратное ДПФ от (6.38), приходим к явному выражению для коэффициентов ФПБЛ Ж вЂ” 1 Ь; = — ~~~ — ехр ~) ), 1 = 0,1,...,М вЂ” 1.
(6.39) со 1 /.2нзИ аь 6.12.2. Расчет потерь в отношении сигнал — п1ум Если бы фильтр рис. 6.19 был согласованным, его коэффициенты составляли бы последовательность, зеркальную ко входной: Ь1 = ан;, 1' = = 0,1,1ч' — 1, и амплитуда выходной последовательности оказалась бы М вЂ” 1 равной Ашу = ~", а1 = М, поскольку входная последовательность — би- 2 1=0 парная. Для входного шума, имеющего время корреляции в пределах,Ь и дисперсию н, дисперсия на выходе согласованного фильтра и 2 Ж вЂ” 1 М-1 = п2 ~ Ь2 = сс2 ~; а2, = Псгз.
Таким образом, отношение сигнал— 1=0 1=0 шум по мощности д~~у на выходе согласованного фильтра А2 % у= (6.40) о~за о2 Подобным же образом амплитуда выходной последовательности ФПБЛ А,1 = со, а дисперсия шума Ж-1 2 2 ~~, Ь2 1 Циклический сдвиг коэффициентов по сравнению со случаем апериодического сигнала (Ь; = ал. 1,) делает запись (6.38) более компактной, устраняя экспоненту линейной фазы. Для периодического сигнала при этом происходит лишь циклический сдвиг выходного сигнала без какого-либо влияния на его форму или отношение сигнал — шум. Согласно теореме Парсеваля и свойству временнбго сдвига ДПФ периодическая АКФ произвольной последовательности иш и1,...
и,ч 1 периода М связана с энергетическим спектром последовательности ~йс), )й1),..., )й,ч 1~2 обратным ДПФ: 1 2 у 2хтй'1 В (т) = ~ ~и;и,* = — ~~ ~йь~ ехр (у ), 1=0 ь=о т = 0,1,...,М вЂ” 1. (6.41) В частности Ф вЂ” 1 1 Ж вЂ” 1 Вр(0) = ~, )о;)~ = — ~~, 1йь~~. 1=0 л=о Использование последнего результата совместно с (6.38) в равенстве для дисперсии шума на выходе фильтра дает 2Ф 1 2 211' — 1 1 п2,=~ Е~ЬЬ12= ΠŠ— „ А' ь, !йьР' после чего отношение сигнал — шум по мощности д„1 на выходе ФПБЛ 2 принимает вид Теперь можно рассчитать энергетические потери у ФПБЛ по отношению к согласованному фильтру как 2 М вЂ” 1 (6.42) Для лучшего понимания последнего результата заметим, что ч-1 1 ж-1 /1 Ж-1 Е- 2~ 1 а ' ь=о 1Р ь=о ~й"~ 1 отвечают соответственно средним арифметическому и гармоническому энергетического спектра ~ал~~, й = О, 1,..., Л вЂ” 1 входной последовательности.
Среднее гармоническое любых неотрицательных чисел никогда не больше их среднего арифметического с равенством тогда и только тогда, когда все усредняемые числа одинаковы. Поэтому отношение этих средних может служить некоторой мерой разброса усредняемых чисел. В нашем случае это отношение р-~~ М вЂ” 1 и ~-')-' = !"~ в точности равно энергетическим потерям в ФПБЛ. Следовательно, поте- ~~( 248 Глава 6.
Широкополосные сиеналы длл излеренил ) Ф, т=ОпюдМ, ле, т у= 0 пюо Х. (6.43) Все минимаксные последовательности, как и многие другие, относятся к данному типу. Энергетический спектр такой последовательности, ри ФПБЛ в отношении сигнал — шум у определяются неравномерностью энергетического спектра ~аь~~, к = 0,1,..., Ф вЂ” 1 входной последовательности при оценке этой неравномерности степенью различия между гармоническим и арифметическим средними.
Возможность устранения всех периодических боковых лепестков по существу означает ориентацию на новый критерий синтеза бинарных последовательностей, альтернативный минимизации максимального бокового лепестка рр в . Действительно, какой смысл заботиться об уровне бокового лепестка, когда все боковые лепестки могут быть подавлены до нуля? Более естественной представляется минимизация цены устранения боковых лепестков, которой, разумеется, являются потери в отношении сигнал — шум у. Рассмотрим вначале бинарную последовательность (гипотетическую, если М ~ 4), обладающую равномерным энергетическим спектром: ~аь~з = М, й' = 0,1,...,Л вЂ” 1.
В свете равенства (6.41) зто равносильно идеальности периодической АКФ последовательности. Полностью предсказуемо, что, поскольку в этом случае устранять нечего, ФПБЛ совпадает с согласованным фильтром, т.е. обрабатывает сигнал без потерь в отношении сигнал — шум. Равенство (6.42) подтверждает этот факт, давая результат у = 1, или в децибелах — уоБ = = 10 1я у = 0 дБ. Поскольку среди бинарных последовательностей идеальная периодическая АКФ нереализуема, подавление их боковых лепестков оборачивается потерями в отношении сигнал — шум ( улн ) 0), оправдывая введение критерия синтеза у = ппп. Как и во многих задачах, касающихся бинарных последовательностей (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
