Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Широкополосные сиеналы для измерения 6.11.1. Бинарные последовательности с непротивоположными символами Замена противоположного алфавита (+1, — Ц на некоторый бинарный не- противоположный позволяет обратить в нуль все периодические боковые лепестки любой бинарной минимаксной последовательности, удовлетворяющей (6.12). Простейший путь построения упомянутого алФавита — добавление константы с (в общем случае комплексной) к начальной (+1, — Ц последовательности ао,а1,...,аь 1 с заменой тем самым символов +1 и — 1 на 1+ с и — 1+ с соответственно. Периодическая АКФ модифицированной таким образом последовательности вычисляется непосредственно: М-1 М-1 Л„(т) = ~ ~(а1+ с)(а; + с*) = ~~ а1а1 + 2Не(сао) + %~с~~, (6.28) 1=0 1=0 М-1 где ао = 2„аь как обычно, постоянная составляющая исходной после1=0 довательности ао, а1,..., ан 1.
Равенство (6.8) показывает, что для любой минимаксной последовательности, удовлетворяющей (6.12), ~ао~з = М-1 Л (т) = Х + (1н' — 1)( — 1) = 1 =~ ао = х1. Так как измене- =О ние знака всех элементов последовательности не меняет АКФ, можно, не ограничивая общности, считать ао = — 1. Далее, для любой минимаксной последовательности с АКФ (6.12) первая сумма в правой части (6.28) равна — 1 при любом т ф 0 шо11 М.
Поэтому потребовав равенства боковых лепестков последовательности а; + с, 1 = ..., — 1,0, 1,... нулю, получаем уравнение для комплексной неизвестной с: 2 1 з 2 1 (с ) + — Не (сао) — — = (с! — — Ве (с) — — = О. (6.29) Х Х И М Это уравнение при двух действительных неизвестных (реальной и мнимой частях с) имеет несчетное множество решений. Найдем потенциально наиболее интересные из них. Когда желателен действительный алфавит, Не (с) = с и ~с ~з = с~, так что (6.29) превращается в квадратное уравнение 2 1 с — — с — — =0 Х Д1 с корнями с1 2 = (1 ~ ~(Л+ 1)/Х.
Новые бинарные непротивоположные символы 1+ с и — 1+ с теперь можно поделить на 1+ с с целью сохранения +1 как символа нового алфавита. После этого правило преобразования бинарной минимаксной последовательности с периодической АКФ вида (6.12) в последовательность с идеальной АКФ предстает в виде: все символы — 1 заменяются на д.дд. Л д д д д д дАКФ 235«) — 1+с — Я+ 1 ~ у~Я+ 1 — 1~ 2 1+с Х+1~~/И+1 ~/Я+1' тогда как все элементы +1 остаются без изменения. Пример 6.13. Последовательность Лежандра или т-последовательность длины Х = 127 трансформируется в последовательность с идеальной периодической АКФ путем замены элементов — 1 на — 1 ~ 1/4~/2.
Описанное решение приводит к алфавиту из двух противоположных символов разной амплитуды, т. е. к амплитудной модуляции (рис. 6.17, а). Альтернативным решением служит непротивоположный ФМ алфавит, к которому легко прийти, положив с чисто мнимым: с = «сь Тогда (6.29) имеет решения с = х«/~/У, а новые символы 1 х «'/~/У и — 1 ~ «/д/Ж после деления на 1 ~ «/ъ/де' принимают вид 1 и ( — ~/М ~ «)/(~/Ж ~«) = = -(М вЂ” 1)/(%+1)~2«~/У/(%+1) = — ехр(«Ф), где соя Ф = (А7 — 1)/(%+1) (рис. 6.17, б). Рис. 6.17.
Непротивоположвые бинарные алфавиты — 1+с 1+с « б) а) Пример 6.14. Для Х = 127 сое Ф = 63/64 и Ф = ~ агссое(63/64) — ~10'8д30". Заменив все отрицательные элементы бинарной т-последовательности или последовательности Лежандра длины Л = 127 иа — ехр(«Ф), придем к последовательности с идеальной периодической АКФ. Представленный непритязательный способ преобразования алфавита, неоднократно предлагавшийся и переоткрывавшийся (38, 39], едва ли можно признать эффективным в практическом отношении. Как видно и подтверждено примерами, его результатом являются довольно экзотические значения комплексных амплитуд кода, установка и поддержание которых с требуемой точностью технологически достаточно проблематичны.
6.11.2. Многофазные коды На основе небинарной (М ) 2) ФМ можно строить разнообразные многофазные последовательности с идеальной периодической АКФ. Известен ~236 Г 6.Вар ~ р ряд правил их конструирования, которые в большей или меньшей степени родственны двум наиболее популярным алгоритмам. Первый из них, приводящий к кодам Чу (или квадратичных вычетов), состоит в прямой дискретной аппроксимации закона линейной частотной модуляции (см. ~ 6.2).
Код Чу существует для любой длины Х и генерируется как 6Л ехр — М вЂ” четное (, х)' /,12яд ~ ехр , Х вЂ” нечетное, (6.30) где в' =..., — 1,0,1,.... Легко проверить, что о; = а,~.ь для всех 1 и, значит, Л, по крайней мере, кратно периоду кода. В ходе вычисления периодической АКФ вопрос о периоде прояснится окончательно. Для кода четной длины ненормированная периодическая АКФ ь — ~ / ргт~ 1 /~'2гггт~ / ° 2~1 ь~ — 1 Лр(т) = ~~ а;а,* = ехр — ~ ~ехр ( ). в=о с=я При т = 0 шоо' Х последняя сумма равна М, тогда как коэффициент, стоящий перед ней, обращается в 1. Для любого другого тл ехр(/2ягт/М) зависит от ю', а упомянутая выше сумма представляет собой сумму корней некоторой степени из единицы, или, что эквивалентно, геометрической прогрессии со знаменателем ехр(у2ят/М). Суммирование прогрессии дает ( ргт~ '( 1 — ехр(/2тт) Ж / 1 — ехр (у2~гт/Л) В„(т) = ехр Знаменатель последней дроби не обращается в нуль ни при каких т ф.
0 шоо М и, следовательно, Лр(т) = 0 при всех сдвигах, не кратных Ж. Таким образом, код Чу четной длины имеет период Ж и идеальную периодическую АКФ. Подобные же свойства кода нечетной длины доказываются аналогично (см. задачу 6.29). Хотя коды Чу служат достаточно красивым академическим примером ФМ последовательностей с идеальной АКФ, их практическая ценность далеко не бесспорна, поскольку объем фазового алфавита для них линейно растет с длиной, и при значительных М интервал между соседними фазами становится чрезвычайно малым.
Из-за этого требования к точности установки и поддержания значений фаз, устойчивости к влиянию окружающей среды и т.п. могут оказаться технологически невыполнимыми. Аналогичные оговорки (хотя и в меньшей степени) справедливы и в отношении другого часто упоминаемого семейства многофазных последо- р р рргр гррр) вательностей: кодов Франка. Последние также базируются на ступенчатой аппроксимации линейной частотной модуляции, однако значительно более грубой, и существуют только для длин, являющихся квадратами целых чисел Л = Ьэ = 4,9,16,25,36,49,....
Правило их генерирования имеет вид 1=... — 1 О 1 (631) ар = ехр где, как обычно, 1х) символизирует округление неотрицательного х в сторону нуля. Доказательство идеальности периодических корреляционных свойств кодов Франка отличается от приведенного выше для кодов Чу лишь некоторыми деталями и вынесено в задачу 6.30. Из сравнения (6.31) и 16.30) видно, что фазовый шаг алфавита для кодов Франка меньше, чем для кодов Чу, в ~ггпу раз, так что объем алфавита первых растет с длиной Аг значительно медленнее. Пример 6.15. Положим Аг = 4 =~ Ь = 2.
Тогда после приведения фаэ к интервалу !0,2я) имеем 2," ,ЯЬ) = я1!г/2) = 0,0,0,я, г = О, 1,2,3, и код Франка +1, +1, +1, — 1 совпадает с единственным бинарным ~~Ц кодом, имеющим идеальную периодическую АКФ. Пример 6.16. Если Аг = 16, Ь = 4, и фазовый алфавит содержит 4 символа ( ~1, хй), так что такой код Франка генерируется с помощью квадратурной ФМ. Так как 2яг'!г'! гг1!г! 7Г 37Г Зя я то код имеет вид +1, + 1, +1, +1, +1, + у, — 1, — ~, +1, — 1, +1, — 1, +1, — г', — 1, +1. Иде- альность его периодической АКФ может быть проверена прямым расчетом. Завершая знакомство с многофазными кодами, подчеркнем еще раз, что в аппаратном отношении они значительно менее удобны, чем бинарные ~~1) коды. Существуют ли вообще коды, которые, не проигрывая бинарным в реализапионной простоте, обладали бы — в отличие от последних — идеальной периодической АКФ? Ответу на этот вопрос посвящен следующий раздел.
6.11.3. '11эоичные последовательности Перейдем к рассмотрению последовательностей, чьи элементы аг могут принимать наряду с бинарными значениями ~1 еще и нулевое. Другими словами, введем троичный алфавит 1 — 1, О, 1), технически означающий комбинирование бинарной ФМ с паузами, т. е. интервалами времени, в те- (238 Г б.Шр «д р. чение которых чипы отсутствуют. Нетрудно понять, что расширение бинарного алфавита (х1) до троичного 1 — 1, О, 1) не ведет к сколько-нибудь ощутимым усложнениям в части формирования и обработки сигнала, однако оно, как показано ниже, открывает дорогу к построению последовательностей с идеальными периодическими корреляционными свойствами. Напомним, что одним из главных стимулов интереса к расширению спектра в задачах временнбго измерения и разрешения служит стремление к высоким показателям при низкой передаваемой мощности, т.е.
при рассредоточенни энергии сигнала на большом временнбм интервале. Естественная мера эффективности распределения энергии во времени — значение пик-фактора и (см. подпараграф 2.7.1), т.е. отношения пиковой и средней мощностей. Для любой ФМ, в частности бинарной последовательности, энергия сигнала равномерно распределена на периоде, так что пиковая и средняя мощности совпадают, и ь = 1. Введение Ар пауз на периоде последовательности Х, как это имеет место при троичном алфавите, нарушит равномерность распределения энергии и увеличит пик-фактор до значения и = М/(Х вЂ” Ф>).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
