Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 45
Текст из файла (страница 45)
( Ц1ака Р— ф(т) . ф(у) (6 2О) 3. Свойство уравновешенности: сумма характеров всех ненулевых элементов поля Сг'(р) равна нулю: р — 1 р-1 ~~ ф(т) — ~~1 ' ( ц1ок * — О (6.2Ц а=1 а=1 Чтобы это доказать, заметим, что при пробегании переменной х всех р — 1 ненулевых элементов поля 1о8 т пробегает в некотором порядке множество р — 1 целых вида О, 1,..., р — 2. Вследствие нечет- ности р количество целых чисел в указанном диапазоне четно, так что (р — Ц/2 из них являются четными и (р — Ц/2 — нечетными. Таким образом, сумма (6,2Ц содержит равное число положительных и отрицательных единиц и потому равна нулю.
4. Найдем характер элемента, противоположного единице, т. е. ф( — Ц. Поскольку все элементы сг', 4 = О, 1,...,р — 2 различны, только два из них удовлетворяют уравнению хз = 1, а именно 1 и — 1. Так как элемент сг(Р 1)1~ удовлетворяет тому же уравнению, он не может быть равным ничему, кроме — 1. Как итог 1оя (-Ц = (р — Ц~2 и (6.22) 14 Пример 6.9.
Продолжая пример 6.8, отметим, что в поле СГ(5) ф(2) = ф(3) = = — 1 и ф(Ц = ф(4) = +1. Следовательно ф(2 4) = ф(3) = — 1 = ф(2) . ф(4) = = ( — 1) . (+1) = — 1, подтверждая мультипликативное свойство, и ф(Ц + ф(2) + д.д. Я .д Я д, Тф +д(д(3) + дед(4) = О, в согласии со свойством уравновешенности. Кроме того, 11д( — 1) = дд(4) = 1, что и предсказано (6.22), поскольку 5 = 4 1+ 1. Параллельно (особенно в теории чисел) двузначный характер называют символом Лежандра, с чем связано и наименование последовательностей, изучаемых в следующем разделе.
6.9. Последовательности Лежандра Сформируем бинарную последовательность нечетной простой длины Х = р, отождествляя номер позиции 1 элемента а; = х1 с элементом простого поля СГ(р). Тогда для любого 1 Е (1,2,...,Ф вЂ” 1) определен характер ф(1), и последовательность Лежандра есть просто последовательность характеров номеров 1, за исключением 1 = О, для которого элемент последовательности полагается равным1 +1. Для периодической версии последовательности Лежандра правило формирования определяется в виде +1, 1=0пюс1М, (6.23) 4(г), г ф 0 пюс1 Ж. Периодичность последовательности (6.23) с периодом Х следует из трактовки номеров 1 в 11д(1) как элементов поля Сг'(р), в котором сложение выполняется по модулю р, в результате чего тд(1 + Х) = ф(1+ р) = ф(1). Для исследования периодической АКФ последовательности Лежандра подставим (6.23) в (6.7) и выделим из суммы слагаемые, содержащие ао: Д вЂ” 1 И-1 Щт) = ~~ а;а; пд =аоа ~+а~аз+ ~ а1а; ~ = д=О 1=1 1фпд 1:д — 1 = д(д( — т) + ф(т) + ~~ д(д(г)уд(г — т).
(6.24) д=1 1Ф~ Разумеется, интересна оценка только боковых лепестков, т. е. значений суммы (6.24) при сдвигах т, не кратных Х = р. Используя мультипликативное свойство (6.20), имеем д)д( — т) = Од( — 1)д)д(т) и д(д(г — т) = = ф[г(1 — тг' 1)] = д((г)ф(1 — тг' 1), где обращение всегда имеет смысл, поскольку 1 = 0 исключено из суммы в (6.24). В результате р-1 Л (т) = ф(т)[1+4( — 1)] + у д(д~(г)тд(1 — т1 ').
(6.25) д=1 1фт Присвоение этому элементу значения — 1 приведет к тому же конечному результату. ~~~228 Глава б. Широнополоеньье еиеналы длл иэльеренил Обратимся теперь к (6.22). Для произвольной длины вида АС = р = = 1 пюс1 4, 44ь( — 1) = 1, и первое слагаемое в вышеприведенном соотношении равно 2ф(т) = х2 при любом т ф 0 пюс1 Аь. С другой стороны, для длин вида Аь = 3пьос14 сб( — 1) = — 1, и то же самое слагаемое в (6.25) обращается в нуль. Относительно второго слагаемого в (6.25) отметим, во-первых, что для любого ненулевого ь из СР(р) ьд2(ь) = 1.
Во-вторых, при пробегании ь всех ненулевых элементов СР(р) ь 1, как и — ть' '(т ф 0 шос( р), также пробегают то же множество, но в некотором другом порядке. Следовательно, 1 — ть 1 пробегает множество р — 1 элементов поля, включая нуль, но исключая 1, поскольку — ть' 1 не может принимать нулевого значения. На деле же нулевой элемент также следует изъять из множества значений 1 — ть', поскольку ь во втором слагаемом (6.24) не принимает значения ь = т, отвечающего 1 — ть' " = О, а тогда полный диапазон значений 1 — ть' " охватывает элементы поля от 2 до р — 1.
Принимая все сказанное во внимание, придем к результату р-1 р-1 р — 1 ,» ф'(ь)ф(1 — ть-') = ~ ф(х) = ~~ 'ф(х) — р(1) = -1, ь=ь а=2 х=ь ьрьн где финальный шаг следует из свойств характера (6.19) и (6.21). В итоге имеем два варианта периодической АКФ последовательности Лежандра в зависимости от длины (6 в нижеследующих выражениях — натуральное число): 1. Для длин вида ь ь' = 46 + 1, (т. е. М = 1 ьпос1 4) АС, т=Ошос(Ас, — 3 или + 1, т ф О шос( 141. 2.
Для длин вида ьсс = 46 + 3, (т. е. Ж = 3 ьпос1 4) АС, т= Ошос(Ас, ( — 1, тфОшос1М. (6.26) (6.27) Последний результат, повторяя (6.12), свидетельствует, что последовательности Лежандра длин М = 46 + 3 являются минимаксными, т.е. обладают оптимальными периодическими корреляционными свойствами среди бинарных последовательностей нечетных длин. Пример 6.10. Длина Аь = 7 принадлежит множеству вида Аь = 46+ 3. В поле 0Р(7) элемент 3 является примитивным, поскольку возведение его в степень О, 1, ..., 5 генерирует все различные ненулевые элементы СР(7): Зо = 1, 3' = 3, 32 = 2, Зв = 6, 34 = 4, Зв = 5.
Квк видно иэ этого ряда, логарифмы элементов 1, 2, и 4 четвы, тогда как элементов 3, 5 и 6 — нечетны. Следовательно, 41ь(1) = 44ь(2) = 44ь(4) = 1 и ьр(3) = ььь(5) = ьСь(6) = — 1. Теперь, согласно (6.23), рас- ббб В б р б р р б АКФ 229) становка символов +1 на позициях 2 = О, 1, 2, 4 и — 1 на позициях 2 = 3, 5,6 дает последовательность Лежандра длины Лб = 7. Вычисления, поясняемые табл. 6.5, подтверждают оптимальность корреляционных свойств полученной бинарной последовательности.
'Гнбббица 6.5. Вычисление периодической АКФ последовательности Лежандра последовательности Лежандра образуют достаточно мощный класс бинарных кодов с мииимакспой периодической АКФ. Условие их существования (любая простая длина Х = 4Ь + 3) значительно мягче, чем т-последовательностей (Х = 2" — 1), и поэтому набор длин последовательностей Лежандра значительно богаче. Так например, в диапазоне от 50 до 1500 имеется только пять длин, для которых существуют т-последовательности, тогда как для последовательностей Лежандра это количество равно 114.
6.10. Вновь о бинарных кодах с хорошими апериодическими АКФ Сведения, накопленные о бинарных последовательностях с хорошими периодическими АКФ, дают теперь возможность вернуться к идее, сформулированной в 3 6.4 и состоящей в использовании таких последовательностей в качестве исходного материала для поиска кодов с нужными свойствами апериодических автокорреляций. Рассмотрим некоторую кодовУю послеДовательность по,ам..., ак 1 Длины М. Любой ее Циклический СДВИГ абр аб+м..., аи м пор..., аб м 1 < Н < Ж вЂ” 1 ИМЕЕТ тУ жЕ ПЕРИОДИ- ческую АКФ, что и исходный код, так как периодическая АКФ инвариантна к циклическому сдвигу (см. задачу 5.5). Апериодическая же АКФ циклически сдвинутой копии может отличаться от АКФ первоначальной последовательности.
Вместе с границей (6.5) данный факт служит основой широко распространенного алгоритма поиска кодов с приемлемой апериодической АКФ, описанного ниже. На первом этапе для требуемой длины М тем или иным способом отбирается некоторое множество последовательностей-кандидатов, имеющих хорошие периодические АКФ. О~о может содержать все известные последовательности заданной длины М (34 — 37), уровень боковых лепестков периодической АКФ которых в соответствии с (6.5) дает надежду ~~~230 Глава 6. Широкополосные сигналы для измереиил на достижение малого значения ря,шзх, или включать лишь те последовательности, которые согласуются с технологическими предпочтениями дизайнера. Если, скажем, необходимы бинарные коды длины М = 63, подобное начальное множество может быть сформировано только из всех еп-последовательностей этой длины (так как А' не простое число, последовательности Лежандра для такой длины не существует) или включать и некоторые другие последовательности с обнадеживающей периодической АКФ.
Если же требуется, например, длина А1 = 127, то исходное множество может охватывать все т-последовательности наряду с последовательностями Лежандра1 или вновь содержать и другие последовательности с достаточно низкими периодическими боковыми лепестками. На втором этапе осуществляется полный перебор по критерию минимума максимального бокового лепестка апериодической АКФ среди всех однопериодных сегментов последовательностей-кандидатов. Именно, берется произвольный однопериодный сегмент первой последовательности-кандидата, вычисляется его апериодическзя АКФ и запоминается уровень максимального бокового лепестка наряду с номерами последовательности-кандидата и циклического сдвига сегмента. Затем сегмент циклически сдвигается на одну позицию, и вычисление апериодической АКФ повторяется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
