Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Выходной отклик окажется зеркальным отображением сигнала, т. е. в точности импульсным откликом согласованного фильтра. На рис. 6.8 представлены осциллограммы, пронумерованные соответственно точкам схемы рис. 6.7 и воспроизводящие подробности согласованной фильтрации видеосигнала Баркера с прямоугольными чипами.
Когда последний чип сигнала приходит на вход фильтра, все предшествующие чипы появляются на входах сумматора в положительной полярности н суммируются в фазе, генерируя главный пик АКФ. До и после этого момента на выходе фильтра наблюдаются боковые лепестки, полярность и уровень которых соответствуют данным табл. 6.2. К сожалению, бинарные коды Баркера существуют только для длин, перечисленных в табл. 6.1.
Еще в начале 60-х годов Турин (Тпгуп) и Сторер (о1огег) доказали их несуществование для любых иных нечетных длин и для четных, по крайней мере, в диапазоне 4 ( гд' < 12 1001. Значительные усилия неоднократно предпринимались по поиску небинарных ФМ кодов Баркера с эквидистантным фазовым алфавитом 1многофазные или 'Согласно публикации ~22) верхняя граница теперь отодвинута до 1898884, н вероятность существования бинарных кодов Баркера четной длины вне этого диапазона крайне мала.
~~~208 Глава б. 1Пирокоиолоеные сиеналы длл измерения М-ичные ФМ коды), однако достигнутые на этом пути результаты пока далеки от обнадеживающих. Оказалось, в частности, что даже весьма скромный прирост длины можно получить только в обмен на значительное увеличение объема М фазового алфавита.
Рис. 6.7. Согласованный фильтр для бинарного сигнала Баркера длины М = 7 Рис. 6.8. Согласованная фильтрация бинарного сигнала Баркера длины Х = 7 По-видимому, наиболее длинные известные на данный момент многофазные коды Баркера, найденные случайным поиском, характеризуются объемами фазового алфавита от сотен до десятков тысяч (М = 32...
Зб) [23], или 60, 90, 120 (Х = 37... 45) [24[. Болыпой размер алфавита неизбежно сопряжен с серьезными усложнениями аппаратной реализации, а также резким ужесточением требований к допустимым реализационным погрешностям, дрейфу параметров и т. п. Как можно понять, длины существующих кодов Баркера слишком малы для удовлетворения многих практических нужд, что подталкивает к поиску приемлемых бинарных последовательностей большей длины с уровнем боковых лепестков вьппе границы (6.4).
Поскольку ненормированная АКФ (5.9) любой бинарной последовательности есть сумма слагаемых х1, возможные значения р ь»»л для «небаркеровских» кодов принадлежат множеству 2/Ж, 3/Х, .... Гарантию нахождения глобально оптимального (т. е. имеющего минимально возможное значение Р, > 2/Ж при заданном Ф) бинарного кода может обеспечить лишь полный перебор всех возможных кодов. К сожалению, вычислительный ресурс, необходимый для подобной оптимизации, экспоненцизльно возрастает с увеличением длины М и выходит за грань реальности при длинах Ж больше 50. По крайней мере, по сведениям автора длины глобально оптимальных бинарных кодов, найденных на момент выхода книги, не превышают 50 [25, 26). Если согласиться с тем, что поиск глобально оптимальных бинарных последовательностей большей длины практически бесперспективен, требование (6.3) можно сформулировать в менее жесткой редакции: найти бинарный код с приемлемо малым — без гарантии глобальной оптимальности .
уровнем апериодического бокового лепестка Р««„. Общая идея ряда алгоритмов решения такой задачи сводится к предварительному отбору некоторого достаточно узкого подмножества последовательностей, в котором подозревается наличие кодов с подходящими корреляционными свойствами, и последующему полному перебору, минимизирующему Р „, только в пределах отобранного подмножества. Одним из примеров подобной стратегии является эволюционный алгоритм [27[, посредством которого были найдены бинарные коды длин до ста включительно, среди которых некоторые оказались несколько лучше кодов Баркера.
Так, для кода Баркера длины 13 р,,„= 1/13 = 0,077, тогда как для лучшего в смысле р кода из [27[ р,,„= 6/88 = 0,068. Другой продуктивный поход основан на соотношении (5.13); связывающем апериодическую АКФ с периодической. Обозначая через р„,, максимальный боковой лепесток периодической АКФ Рр,т»х = швх ([Рр(™)[)~ и используя неравенство шах([х+ у[) < шах([х) + [у[) < шах [[х[) + шах[[у[), (2!«Г «. «7 р « * » р« приходим к оценке рр ц«««~ (2р„,„„или 1 Ра,«п»» ~ 1Рр,п«ах ° 2 (6.5) Полученное неравенство позволяет сделать весьма примечательный вывод: необходимым условием «хорошей» апериодической АКФ является хорошая (имеющая малый максимальный боковой лепесток рр „„) периодическая АКФ. Иначе говоря, последовательности с хорошей апериодической АКФ могут быть найдены только среди последовательностей с хорошей периодической АКФ. Как будет показано позднее, существуют достаточно продуктивные аналитические инструменты построения последовательностей с хорошими периодическими АКФ.
Таким образом, мы в состоянии сформировать некоторый набор последовательностей с хорошими периодическими АКФ, а затем осуществить среди них поиск последовательностей с хорошими апериодическими АКФ. Эта возможность закрепляет за периодической АКФ приоритетную роль в синтезе последовательностей с приемлемыми корреляционными свойствами и оправдывает акцент следующего раздела на изучении свойств периодической АКФ.
6.5. Идеальная периодическая АКФ. Мининаксные бинарные последовательности Мотивация интереса к последовательностям с хорошей периодической АКФ не ограничивается лишь их привлекательностью как исходного материала для построения хороших апериодических последовательностей. Для многих приложений характерно использование дискретных сигналов в периодическом варианте (непрерывная локация, навигация, пилотные каналы мобильной связи и т. п.), что предопределяет критическое влияние свойств периодической АКФ на качество функционирования системы. Будем именовать «идеальной» периодическую АКФ, все боковые лепестки которой (т.е.
значения между основными пиками, повторяющимися с периодом Ф) равны нулю. Используя нормированную версию АКФ, запишем названное условие как ь-1 где сравнение «и = 0 «поб Х означает «т делится на Л (или кратно г«')». Очевидно, что для идеальной периодической АКФ рр „—— О. На рис. 6.9 изображена АКФ дискретного видеосигнала с прямоугольными чипами, манипулированного кодом с идеальной АКФ.
Практические выгоды идеальной АКФ поясняются рис. 6.10, на котором зпюры (а) и (б) пред- ба. Нд р д АКФ 2!1)) ставляют две сдвинутые во времени копии одного и того же периодического радиосигнала, АКФ кода которого удовлетворяет соотношению (6.6). При поступлении на вход фильтра, согласованного с однопериодным сегментом сигнала, суперпозиции этих копий на его выходе наблюдаются две сдвинутые копии сигнальной АКФ.
Если временная задержка между сигнальными копиями больше длительности основного лепестка АКФ 2Ь (но меньше (Х вЂ” 2)Ь), отклики фильтра на оба сигнала полностью разрешены без взаимных помех (рис. 6.10, в). Рис. 6.9. Идеальная периодическая АКФ % яе д ь~ м ИЛ вс б) в) Рис.
6.10. Разрешение копий сигнала с идеальной периодической АКФ Исследуем ненормированную периодическую АКФ бинарной последовательности с алфавитом 1ш1) ~~( 212 Глава б. 3Пироконолосные сигналы длл измерения Ж вЂ” 1 Вр(т) = ~ а1а~ — т (6.7) 1=0 где знак комплексного сопряжения опущен за ненадобностью, поскольку все а; = х1. Просуммировав обе части соотношения (6.7) по т = = 0,1,2,...,Х вЂ” 1, получим М-1 Х вЂ” 1Ж вЂ” 1 М вЂ” 1 М вЂ” 1 Л (т) = ~~ ~~ а;а;,„= 'у а; ~~~ а; ю = ~по~~, (6.8) т=о 1=0 1=0 и В (т) = О, т = 1,..., М вЂ” 1, что дает Ж-1 Лр(т) = Х = (ао)~. (6.9) то=о Полагая т ф 0 пюс1 М, обозначим через М, и Жл число произведений а;а; в сумме (6.7), равных +1 и — 1 соответственно.
Тогда из Л (т) = = М, — Мд = 0 следует М, = Мд и М = Х, + Хл = 2Ж,. Таким образом, согласно (6.9) и последнему результату, длина Х представляет собой четный квадрат целого числа, т.е. необходимое условие идеальности периодической АКФ для бинарной последовательности имеет вид Х = 4аз, где Ь вЂ” целое. Все подобные длины (4, 16, 36, 64, ...) были проанализированы Турином в начале 60-х, который показал, что в диапазоне И < 12100 единственным бинарнь1м кодом' с идеальной периодической АКФ (ПАКФ) является тривиальный код длины 4 вида: +1 +1 +1 — 1 (28]. Согласно более поздним результатам несуществование подобных последовательностей установлено вплоть до длин М ( 4 х 165~ = 108900 [291 Возможность их существования за пределами названного диапазона представляется крайне сомнительной.
В свете сказанного возникает необходимость оценить потенциал минимизации максимального бокового лепестка периодической АКФ бинар- 1 Мы (как это принято повсеместно) не считаем новыми последовательности, получаемые иэ исходных пнклическим сдвигом, зеркальным отображением или изменением знака всех элементов. Указанные преобразования не влияют на периодическую АКФ (см. задачу 5.5) и последовательности, получаемые одна из другой подобным путем, можно трактовать как отличные тривиально или попросту эквивалентные. Х-1 где ао = 2 а; — постоянная составля1ощая кодовой последовательности 1=0 (ао, а1, ..., а1у 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
