Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Если манипуляции подлежат только фазы чипов АФМ сигнала, а их амплитуды неизменны (~а; ~ = 1, г = О, 1,..., Ф вЂ” 1), АФМ сигнал именуют фазоманипулированным (ФМ). ФМ сигналы характерны для так называемых широкополосных систем с прямым расширением спектра (см. ~ 7.1). 3. Среди ФМ сигналов возможна дальнейшая классификация в зависимости от модуляционного алфавита. В случае бинарных комплексных амплитуд с алфавитом а; = х1 (или эквивалентно ~а;~ = 1, ~р; Е (О, я), 1 = 0,1,..., Ф вЂ” 1) сигнал является бинарным ФМ (БФМ), квадратурный ФМ алфавит а; = ~1, щ1 (или эквивалентно ~а,~ = 1, ~р, е (О, к, хя/2), 1 = О, 1,..., Ж вЂ” 1) порождает сигнал с квадратурной ФМ (КФМ или ФМ-4) и т. д. 4. Если управлению подвергаются только частоты чипов, а комплексные амплитуды неизменны, сигнал является частотно-манипулированным (ЧМ).
Кодовая последовательность подобного сигнала представляет собой последовательность частот (Р';, 1 = 0,1,..., % — 1). Сигналы этого типа используются, в частности, в системах с прыгающей частотой (см. ~ 7.1). 5.3. Корреляционные функции АФМ сигналов Корреляционные функции, характеризующие схожесть сдвинутых во времени копий сигналов, критически важны в задачах измерения времени (~вь г .. с л и разрешения (см. 3 2.11 — 2.16). Искусство дизайна широкополосных систем, как это демонстрируется далее, во многих аспектах подразумевает умение находить сигналы с должными корреляционными свойствами. Цель настоящего раздела состоит в получении обобщающего выражения для корреляционных функций АФМ сигналов.
Как следует из предыдущего, комплексная огибающая АФМ сигнала имеет вид Я(1) = ~ ~а;Яе(1 — ась). (5.2) Обратимся вначале к равенству для нормированной АКФ (2.67), учитывая, что в случае периодического сигнала подынтегральное выражение также периодично, и, следовательно, усреднение по времени (интегрирование) может быть выполнено в пределах одного периода с нормировкой к энергии однопериодного сегмента сигнала. Тем самым, в типичном для практики предположении1 Ьс < Ь, можно воспользоваться универсальным выражением р(т) = — / Я(1)Я'(1 — т) с11 1 Г ° Е/ (5.3) 0 пригодным как для апериодического, так и периодического сигналов, где Е = ~)а((зЕ0 — полная энергия для первого и энергия за период для второго. Здесь Ео обозначает энергию чипа, а йа!) — геометрическая длина (евклидова норма) кодового векзпора а = (ае,ам...,аи 1), ина- Ж-1 че говоря, ба((з = 2 (а, (2 — энергия Х-элементной последовательности ~=0 (ао, аы..., ал Подстановка (5.2) в (5.3) дает т р(т) = — т ~~~ а;аь / оо(1 — ЙХ)Я(1 — ЙЬ вЂ” т)Ж = Е.
~=-сс л=-со 0 сс Ж вЂ” 1 т = — ~~ а1а~ ~Ее(1 — зЬ)оо(1 — йл~ — т) ас, Ь=-сю $=0 0 1 Р (т) — — ~0(1)~0(1 т) с11 Ео l (5.4) 1 Конечный результат останется справедливым и без этого допущения, позволяющего, однако, упростить вывод за счет исключения некоторых второстепенных деталей. где последнее равенство следует из равенства интеграла нулю для 1 вне множества (О, 1,..., Д1 — Ц. Введение АКФ одного чипа 1.8. К ю г Ф~ АФМ 1В7)) придает равенству форму Теперь замена индекса суммирования й на т = г' — й представляет послед- ний результат как р(т) = ~ ~р(т)рс(т — тЬ), (5.5) где где Х вЂ” 1 "' '=~~"~~ ~~ ~) К'"""-- ВКФ кодовых последовательностей (аь о, аьд,..., ау,,,ч 1) и (аде,а~м ..., а~ а 1) (5.8) двух сигналов, характеризующая степень сходства первой последователь- 1 а-1 "-)=м~- '-- (5.6) с=а —.
АКФ кодовой последовательности (аш а1,..., аж 17, характеризующая схожесть последней со своей копией, сдвинутой на т позиций. Соотношение (5.5) допускает весьма красноречивую трактовку. Сравнение его с моделью (5.2) позволяет заключить, что АКФ АФМ сигнала может сама интерпретироваться как АФМ сигнал! При этом чипом последнего служит АКФ р,(т) исходного чипа, тогда как кодовой последовательностью оказывается АКФ (5.6) кодовой последовательности (аз, ам..., аа 1 ) исходного сигнала.
Следовательно, при заданном чипе Яе(1) АКФ АФМ сигнала полностью определяется АКФ р(т) кодовой последовательности (в дальнейшем АКФ хода), и синтез АФМ сигналов с хорошими корреляционными свойствами состоит в отыскании последовательностей с хорошими АКФ. Отметим также, что, как и любая нормированная АКФ, р(т) при т = 0 равна единице и является четной функцией своего аргумента: р(т) = р*( — т). Для построения многопользовательских СОМА, систем требуются семейства дискретных сигналов с приемлемыми взаимными корреляционными свойствами (см. ~ 4.5 и гл.
7). Повторяя проделанные выкладки для двух различных (й-го и 1-го) АФМ сигналов одной длины с идентичными чипами, придем к следующему равенству для их нормированной ВКФ ры(т) = ~~~ ры(т)р,(т — тЬ), (5.7) ности со сдвинутой на т позиций репликой второй. Очевидно, ВКФ (5.7) вновь представляет собой АФМ сигнал, у которого роль кодовой последовательности выполняет ВКФ двух исходных кодовых последовательностей (ВКФ кодов). Тем самым, синтез семейства дискретных сигналов с требуемыми взаимно корреляционными свойствами сводится к отысканию множества последовательностей, обладающих подходящими ВКФ. Соотношения (5.7) и (5.8) обладают максимальной универсальностью, так кзк годятся и для АКФ: АКФ к-го сигнала есть рьь(т), что автоматически распространяется и на кодовые последовательности.
Полученные результаты будут широко использованы далее, иногда без нормирующих множителей в (5.6) и (5.8), т. е. в вариантах ненормированных корреляционных функций Ж-1 К-1 Й(т) = ~ ~а,а; *„Л«в«(т) = ~ а«в,ва«',,„. (5.9) 1=0 ва=я 5.4. Вычисление корреляционных функций кодовых последовательностей Рассмотрим кодовую последовательность (ао, а«,..., а«««1). Если она используется для формирования импульсного сигнала, то в общей модели (5.2) а; = 0 для всех отрицательных в' и г ) Ф, так чго согласно (5.6) апериадическал или импульсная АКФ вычисляется как «««- « — аа,*, т)0, р (т)= (5.10) '9а'5~ В принципе, вторая строка в (5.10) избыточна, поскольку любая АКФ обладает свойством четности и, в частности, р„( — т) = р„*(вп).
Очевидно также, что без нормирующего множителя апериодическая АКФ представляет собой скалярное произведение вектора а = (ае,а«,...,а««««) с собственной копией, неииклинески сдвинутой на т позиций. Последнее означает, что при сдвиге вектора а вправо (т ) О) или влево (т ( О) сумма в (5.10) учитывает только перекрывающиеся компоненты а и его сдвинутой копии, а все остальные полагаются равными нулю. Например, для вычисления р„(1) первоначально следует записать одну под другой исходную последовательность и ее комплексно сопряженную копию, сдвинутую вправо на одну позицию, а затем выполнить позлементное перемножение и просуммировать полученные произведения: «.4. В ру «р ь 6 д * «д й 1Д9Л ао аз аз аз ал -з М вЂ” 1 ао а1 а2 аж-2 Р (1) = Е а«а.— =~1МР = Обратимся теперь к периодическому сигналу, т,е. положим а«ььч = а;, « = ..., — 1,0,1,...
Тогда (5.6) окажется периодическо«1 АКФ рг(т), сумма в которой всегда содержит Х слагаемых, поскольку а « = ан «, а з = аа з и т. д. М вЂ” 1 рр(т) = — з ~ ~а;а,',„. (5.11) «=о В этом случае скалярное произведение вычисляется для исходной кодовой последовательности и ее циклически сдвинутой копии, где при т > 0 т крайних левых «пустых«позиций заполняются символами, «вытолкнутымиэ вправо.
Например, схема вычисления рр(1) выглядит следующим образом: ао аз аз аз ... аа' М вЂ” 1 а)« з ао а( аз ... а«~ з Р (1) = †, 2 , 'а,а* з. Р ~щ2 ««вЂ” Поскольку рр(т) вычисляется в предположении о периодичности кодовой последовательности, то она сама периодична с периодом А«, т.е. рр(т) = рр(т + М), т = ..., — 1,0,1,..., что непосредственно следует из (5.11), и, в свою очередь, трансформирует свойство четности к виду рр( — т) = рр(г1 — т) = р*(т — И).
(5.12) Это равенство показывает, что рр(т) полностью задается своими значениями только при сдвигах т = 1,2,..., (г1/2), где (А«/2~ означает округление в направлении нуля. Другое важное свойство периодической АКФ вытекает из (5.11) после расщепления суммы на две части: н — з Р )~а~~2 «« — т '5Ц2 «« — т~ Первое слагаемое здесь является апериодической АКФ р,(т) (см. (5.10)), тогда как второе есть р,(т — М), что непосредственно проверяется путем вычисления р„(т — Х) из второй строки (5.10).
В результате получается равенство, связывающее периодическую АКФ с апериодической: рр(т) = р (т) + р (т — Я), т = О, 1,..., ««'. (5.13) Соотношению (5.13) принадлежит важнейшая роль в синтезе импульсных сигналов с хорошими корреляционными свойствами (см. 3 6.10). Пример 5.1. Таблица 5.1 иллюстрирует вычисление апериодической и периодической АКФ бинарной последовательности длины Х = 8 (+ + + — — + ~~( 190 Глаза Б. Дисирепьные широкополосные сигналы Таблица 5.1. Вычисление АКФ последовательности длины 8 Рис.
5.2. Аитокорреляци- онные функции бинарного сигнала длины 8 1,0 0,8 0,8 0,4 0,2 0,0 — 0,2 8 10 12 14 16 т/Ь 0 2 4 8 Говоря о взаимной корреляции двух последовательностей одной длины, можно вновь различать апериодическую р ы(т) и периодическую — — ). Здесь, как это обычно принято, символы бинарного алфавита +1 и — 1 представлены знаками + и — соответственно.
Два последних столбца таблицы содержат значения ненормированной АКФ, а затененные клетки отвечают символам, не участвующим в вычислении апериодической АКФ. На рис. 5.2 построены нормированные АКФ БФМ видеосигнала с прямоугольными чипами длительности Ь, = Ь, модулированными рассматриваемой кодовой последовательностью. Сплошная, пунктирная и штрих-пунктирная линии представляют периодическую АКФ ри(т) и сдвинутые копии р,(т) и р,(г — Т) апериодической АКФ соответственно. Разумеется, графики подтверждают справедливость равенств (5.12) и (5.13). рр м(тп) ВКФ, определяемые как 1 Ра,и(та) = !!аь11 - !!М! 1 ))аь )! ((ар )) Ж-1 ~, 'аь,;а~; Ф=тй .ч.~-т — 1 Е авда~,а — и» 1=0 т>0, (5.14) т< 0, ь — 1 Рр,ы(та) = ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ аь,,а~"; ~. (5.15) Соотношение (5.13) остается в силе и для ВКФ: Рр,ы(та) Ра,ы(та) + Ра,и(та 77)~ (5.16) однако ни четность, ни равенство единице в нуле, присущие АКФ, не являются обязательными свойствами произвольной ВКФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
