Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 38
Текст из файла (страница 38)
5.5. Корреляционные функции ЧМ сигналов Решим теперь ту же задачу, что и в двух предыдущих разделах, но в приложении к ЧМ сигналам. Следуя определению из о 5.2, комплексную огибающую ЧМ сигнала можно записать как Я(Ф) = ~~~ а;Яо(1 — гЬ) ехр(~2яГД, (5.17) 2= — СО где для периодического сигнала все а; равны единице, тогда как для импульсного сигнала длины М а; = 1, 0 < г < М, и а, = 0 при всех 1 за пределами диапазона 0 < г < Х. Вне зависимости от периодичности или конечности сигнала можно на прежних основаниях воспользоваться универсальным равенством для АКФ ов ч-1 т Р(т) = / Я(1)Я" (~ — т) <Й = ~~ ~ а;аьехрЦ2яРьт) х ХЕо з о АРЕо й=-со э=о х ~ Яо(о — гЬ)Яо(й — ЙЬ вЂ” т) ехр(32х(Р; — РьЯ ао, о где использован тот факт, что теперь все чипы с ненулевыми амплитудами обладают одинаковыми энергиями Ео, т.
е. ~1а~)~ = Х и Е = ХЕо. Типичным для ЧМ является использование равномерного частотного алфавита, в котором Г; б (О,хР,+2Р,...), где шаг по частоте Г не меньше полосы, занимаемой чипом. Таким образом, спектры двух чипов с частотами Р, и Рю не перекрываются, а сами чипы ортогональны ~~~~92 Глава о. Дискрептые широкополосные сигналы независимо от их временного рассогласования 1см. ~ 4.5) всякий раз, как Р; ф Рю Учитывая это, имеем оо Ж-1 р(т) = — ~ ~~ ~аваьехрЦ2яРст)5(Р1 — Рь)рс(т — 11 — к)Ь) = Ас а=- =О оо Ж вЂ” 1 — а;а; „, ехр(у2кРвт)6(Р1 — Р; „, )РЯт — т'Ь), 15.18) т'=-со 1=0 где р,1.) — как и ранее, АКФ чипа, а (1, х=у, ~ О, х~у.
В отличие от АФМ сигналов АКФ (5.18) в общем случае нельзя упро- стить до вида, подобного 15.5). Общепринятой практикой является перво- очередной анализ поведения АКФ ЧМ сигналов при задержках, кратных длительности чипа: т = тЬ, где т — целое. Предполагая, что на дли- тельности чипа укладывается целое число периодов 1 каждой из частот алфавита 1РЬ = 1), и принимая во внимание, что р,10) = 1, рот) = О, ~т > Ь~, подстановка т = тЛ в 15.18) оставляет там только одно слагае- мое в сумме по т', отвечающее т' = т, так что а1 — 1 р(тЛ) = — ~~ а;а; о1Р1 — Р; т).
(5.19) 1=0 В случае импульсного сигнала и т > 0 все слагаемые с индексами вне множества т, т + 1,..., Ф вЂ” 1 исчеза1от, и апериодическая АКФ ЧМ сигнала р(тЬ) = р 1т) принимает вид Ж-1 Ра1т) = л' ОЯ Р1 — т)~ т ~Э 0~ Рв( т) = Ра(т)~ (5.20) в=т где надобности в комплексном сопряжении во втором равенстве (выра- жающем четность) нет в силу действительности значений ра1т). Для периодического сигнала сумма в 15.19) не содержит нулевых про- изведений а,а; „„и периодическая АКФ р(тЬ) = рр1т) имеет вид Ь-1 р„(т) = — ~ Б(Р1 — Р';,„). (5.21) 1=0 Суммы в (5.20) и (5.21) аккумулируют число совпадений частот в ЧМ сигнале и его копии, сдвинутой на т чипов. Поэтому для вычисления АКФ ЧМ сигнала в точке тЬ достаточно подсчитать число пар Я, Р; ) с одинаковыми значениями Р, и Р;,„, где индекс 1 пробегает диапазон 1т,т+ 1,...,А1 — Ц 1апериодическаяАКФ) ит > Оили10,1,...,Х вЂ” 1) (периодическая АКФ).
Понятно, что равенство (5.13), связывающее периодическую АКФ с апериодической, остается справедливым и для ЧМ сигналов. Одним из широко используемых представлений ЧМ сигнала является решетка размера М х Х,в которой горизонтальное и вертикальное направления закреплены соответственно за временем и частотой, причем М есть мощность частотного алфавита (т. е. число частот, используемых при манипуляции). В 1-м столбце этой решетки маркируется меткой (например, точкой или затенением) единственная клетка, соответствующая частоте г-го чипа. Тогда для вычисления апериодической АКФ при некотором т достаточно лишь просуммировать по всем строкам число пар меток, находящихся на расстоянии т, и отнормировать итог, если требуется.
Если же нужна периодическая АКФ, указанные суммы находятся для значений т и Х вЂ” т, а затем складываются. Пример 5.2. На рис. 5.3 с помощью решетки представлен закон модуляции ЧМ сигнала с параметрами Х = 8, М = 5. Его ненормированная АКФ В,(т) = д(г1 — гь ) принимает значения 8, 1, 1, О, 1, О, О, 0 при т = 0,1,...,7 в=а соответственно, поскольку имеется единственная помеченная пара вдоль единственной линии на расстоянии 1, одна подобная пара на расстояния 2 и т.д.
Непосредственно из (5.13) могут быть найдены значения ненормированной периодической АКФ как 8, 1, 1, О, 2, О, 1, 1. Обобщение результатов (5.20), (5.21) на случай ВКФ не требует никаких усилий, кроме смены обозначений ч-1 — б(Гь; — Х), ), т>0, Ра,ы(т) М-~-тз — 1 ™ 1 =о (5,22) р .
8.8. ЧМ с раметрами Ж = 8, М = 5 м-1 рр ы(т) = — ~~ 5(Рь; — Р~з ), (5.23) ю=е где 1.са,;, г' = О, 1,..., М вЂ” 1) — частотная кодовая последовательность й-го сигнала. Очевидно, вычисление ВКФ вновь сводится к подсчету числа совпадений частот в паре сигналов, сдвинутых на т чипов. ( Ю4 Глава 5. Дискретные широкополосные сиеналы 5.6.
Выигрыш от обработки Вернемся к общей модели (5.1), имея целью оценку выигрыша от обработки, присущего дискретным сигналам. Предположим, что все Р; принадлежат алфавиту мощности М с расстоянием между соседними частотами, равным полосе чипа и гарантирующим тем самым ортогональность чипов с разными частотами. Рассматривая каждую из М доступных частот изолированно от других, мы бы имели сигнальное подпространство размерности Х, поскольку никаких ограничений в выборе амплитудно-фазовой кодовой последовательности, т.е.
М-мерного вектора а = (ао, ам...,а,ч 1), при этом бы не было. Ортогональность таких подпространств означает, что размерность полного сигнального пространства, охватывающего все М частот, равна ММ. В 3 2.5 показано, что размерность пространства радиосигналов совпадает с полным доступным частотно-временным ресурсом. Имея интерес исключительно к широкополосным сигналам, каждый иэ которых утилизирует весь отведенный ресурс, можно считать частотно-временнбе произведение дискретного сигнала, т. е.
выигрыш от обработки, равным ММ. Подтвердим зту оценку прямым расчетом, положив Ье = Ь. Аппроксимируя полосу чипа значением 1/Ь и учитывая, что доступные полоса и временной ресурс соответственно составляют И' = М/Ь и Т = ХЬ, получим и'Т = МЖ. Понятно, что для АФМ сигналов М = 1 и выигрыш от обработки И'Т = М. Задачи 5.1. Дискретный сигнал длины Х = 5 имеет комплексные амплитуды ав = = 1 + 1, а1 —— — 1 +,1, аг = 1 + у, ае = — 1 — ~', а4 = 1 — з и частоты К; = О, 1 = О, 1, 2, 3, 4.
Найдите фазы и амплитуды его чипов и классифицируйте сигнал по способу модуляции. 5.2. Дискретный сигнал задан своими амплитудно-фаэовым и частотным коДами а; = ехР(ух1(з'+ 1)/2), Ре = О, г = ..., — 1, О, 1,... НайДите амплитУДы и фазы чипов. Классифицируйте сигнал по способу модуляции. Является ли данный сигнал периодическим? Если да, найдите его период. 5.3. Докажите четность периодической и апериодической автокорреляционных функций кодовых последовательностей АФМ сигналов. 5.4. АФМ сигнал построен из прямоугольных чипов длительности Ь, = Ь и модулировав кодовой последовательностью, выраженной вектором а = = (1, 1, О, 1, О, О, — 1).
Вычислите и постройте его апериодическую н периодическую АКФ. Сделайте то же для случая Ь, = Ь/2. 3 д . МАТЬ ~В Я~~~ Что произойдет с периодической и апериодической АКФ АФМ сигнала при следующих трансформациях кодовой последовательности: 5.5. а) циклическом сдвиге элементов; б) изменении знака всех элементов; в) изменении знака только у элементов с четными позициями; г) умножении всех элементов на одну и ту же константу; д) зеркальном переупорядочении последовательности (т. е.
чтении справа налево)? Возможна ли для ФМ кода комбинация )Н,(1)~ = 3, (Вр(1)! = 1? Что можно сказать о комбинациях В,(1) = -2,1, Вр(1) = 0,8 †.у0,6; В,(1) = = 0,6+ у0,8, Вр(1) = 1,1+ у? Каково возможное значение (Щ,(1) — В,(1)) для ФМ кода? Расстояния между частотами ЧМ сигнала кратны величине Г = 1/Ь. До- кажите, что синхронизированные по времени прямоугольные чипы с раз- личными частотами ортогонэльны. 5.7.
ЧМ сигнал длины Ю содержит М ( Х частот. Чипы с разными частотами ортогональны. Возможно ли, чтобы АКФ данного сигнала имела нулевые значения при всех ненулевых сдвигах вида т = тЬ? 5.8. Задачи в пакете МАТЮКАВ Напишите программу, отображающую на экране АФМ, БФМ, КФМ и ЧМ дискретные сигналы. Положите Ю = 6 — 10, несушую /е = (10 — 20)/Ь, длительность чипа Ь, = Ь и частотный шаг г' = 1/Ь. Выполните программу для разных способов модуляции и форм чипа (например, прямоугольной и полуволны синуса), подберите кодовую последовательность„ обеспечивающую удобную визуализацию и прокомментируйте наблюдаемые осциллограммы.
Пример дан на рис. 5.4. Используйте программу также для иллюстрации периодичности и апериодичности сигнала. 5.9. является АФМ сигналом, чипом которого служит АКФ исходного чипа, а кодом — АКФ исходного кода. Рекомендуемые шаги: а) Сформируйте простой чип (например, прямоугольный или полволны синуса); б) Сформируйте действительную (например, бинарную или троичную) кодовую последовательность, содержащую 7-10 элементов; в) Сформируйте и выведите на дисплей сигнал с выбранными чипом и законом манипуляции; г) Используя соответствующую команду МАП АВ, вычислите напрямую и отобразите на дисплее АКФ сформированного сигнала; 5.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
