Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Поскольку постоянная составляющая бинарной последовательности может принимать лишь целочисленные значения, сумма в (6.8) является квадратом целого. Предположим теперь, что бинарный Ж-1 код имеет идеальную периодическую АКФ. Тогда Л (0) = ~ (а1)э = М 1=0 б.б. Ид. щ д . АКФ 2!3)) ных кодов.
Пусть Х«.«, Х+, А7 «обозначают число произведений а;а; „, в (6.7), сомножители которых имеют знаки, указанные индексами, например 67+ — число произведений, в которых а; = +1, а;,„= — 1. Поскольку как А«««+М«, так и Х««+ Х е дают один и тот же результат — общее число положительных злементов на периоде кода, то Х« —— Х «. Тогда разность М вЂ” 1 Х вЂ” В (т) = ~~ (1 — а;а;,) = 2(Х«+М «) = 4%+ '=о всегда кратна четырем. Следовательно, для любого бинарного кода »енормированная периодическая АКФ всегда отличается от длины М некоторым кратным четырех: Вр(т) = Ф вЂ” 46, (6.10) где 6 — целое.
Очевидно, что в отсутствие бинарных кодов с идеальной периодической АКФ следующими по привлекательности являются последовательности, для которых Вр(т) принимает значения ~1 при т = 1, 2,..., Х вЂ” 1, т. е. рр,„—— 1/А«. Как следует из (6.10), значения В (т) = +1 возможны только при длинах вида 67 = 46 + 1, а В (т) = — 1 — только при длинах А7 = 46 — 1, где 6 — целое. Отсюда видно, что бинарные последовательности с рр я„— — 1~67 могут иметь только двухуровневые ненормированные периодические АКФ: 1 Х, т=ОшобИ, ~ +1, т у~ОшобМ, (6.11) если Х = 46+ 1, либо ~( А7, т=Ошос1А7, — 1, т ф 0 пюс1 Ф, (6.12) если Х = 46 — 1.
Последовательности, удовлетворяющие соотношениям (6.11) — (6.12) и, следовательно, обладающие теоретически минимальным уровнем боковых лепестков периодической АКФ (рр, — — 1/М) для бинарных кодов нечетной длины, называются минимакснььви. Известны лишь два примера (М = 5 и г7 = 13) подобных последовательностей со свойством (6.11).
В то же время существуют чрезвычайно мощные регулярные правила генерирования минимаксных последовательностей с периодической АКФ (6.12)! 9 6.6 — 6.9 содержат описание двух наиболее популярных из них, хотя как минимум еще три хорошо известны и представлены во многих источниках. ~~~214 Глава б. Широкополосные сигналы длл иэмереиил 6.6. Начальные сведения о конечных полях и линейных последовательностях б.б.1. Понятие о конечных полях Для объяснения вьппеупомянутых конструкций минимаксных бинарных последовательностей необходимо некоторое начальное представление о конечных полях. Предлагаемое их описание будет менее формальным, чем в «чисто» математических источниках.
Назовем полем множество элемен- тов, на котором определены две операции, именуемые сложением и умножением и обозначаемые привычными символами «+» и «.» (либо «х», либо записью одного элемента за другим). Термин <определены» означает, что обе эти операции замкнуты, т.е. если х, у — элементы поля Г, то их сумма и произведение также принадлежат Р: х + д Е Р, ху Е Р. В любом поле обязательно присутствуют нулевой «О» и единичный «1» элементы, которые оставляют любой элемент поля неизменным в операциях сложения и умножения соответственно: х+ 0 = х, х 1 = х.
Таблицы сложения и умножения в поле строятся таким образом, чтобы указанные операции были коммутативны (х + у = у + х; ху = ух), ассоциативны Нх + у) + з = х + (у + х); х(ух) = (ху)з) и обратимы. Последнее означает, что наряду со сложением и умножением определены также операции вычитания и деления на ненулевой элемент: х + д = х ~ х = х — у; ху = х, у ~ 0 =~ х = г/у. В частности, у каждого элемента х имеется противоположный, обозначаемый как — х = 0 — х, и для любого ненулевого х существует обратный, обозначаемый как х 1 = 1/х. Наконец, операции сложения и умножения подчиняются дистрибутивному закону: (х+ у)з = хе+ уж Очевидно, что поле представляет собой множество, в пределах которого операции с элементами подобны операциям с действительными числами в обычной арифметике. Тем самым поле допускает трактовку как всего лишь абстрактное обобщение множества действительных чисел или, иными словами, множество действительных чисел есть простейший пример поля.
Другими примерами поля служат множества рациональных чисел, комплексных чисел и т. п. Все подобные числовые поля обладают бесконечным порядком, где последний термин означает число элементов поля. В противоположность этому, изучаемые далее конструкции базируются на конечных полях (полях Галуа), порядки которых конечны. В курсах современной алгебры доказывается (см., например ~30!), существование конечных полей любых порядков (и только их) вида р, где р — простое, а т — натуральное числа. Традиционно принято обозначать поле Галуа порядка рт как СР1рп«). Для целей нашего конкретного д.д. Н д д д 21~5 рассмотрения достаточны лишь простые поля СР(р), т.е.
поля простых порядков (т = 1). Самым легким для понимания представлением простого поля СР(р) является отождествление всех р его элементов с целыми числами вида О, 1,..., р — 1, сложение и умножение которых выполняются по модулю р. В табл.
6.3 приведены таблицы сложения и умножения для трех первых простых полей СР(2), СР(3), СР(5). Заметим, что в СР(2) любой из двух элементов противоположен самому себе, поскольку О+ О = = 1 + 1 = О, и единственный ненулевой элемент 1 является обратным самому себе. Операции в остальных простых полях не столь вырожденны, например в С.г'(5), 2+ 3 = О =ь — 2 = 3, и 3 2 = 1 ~ 3 1 = 2.
таблица 6.3. Таблицы сложения и умножения в простых полях 6.6.2. Линейные последовательности над конечными полями Введем в рассмотрение последовательность дно, Аь... с элементами (символами) из заданного конечного поля Сг'(р)д подчиняющуюся линейной рекурсии: д2д = Уо-1пд-1 Уп — 24 — 2 ' ' ' 10пд — пд т = пд и+ 1д д (6.13) где коэффициенты Д, уь..., (дн 1 фиксированные константы, принадлежащие СР(р). Такая последовательность называется линейной (рекрррентной) последоватпеяьностпью над полем СУ(р) памяти п. Элементы линейной последовательности вычисляются один за другим, причем каждый последующий определяется и предшествующими, так что, задав п начальных элементов оо, пь..., и'„ь можно сгенерировать всю последовательность. ~~~~1~6 Глава б. 1Пирокоп сизналы длл измерения Пример 6.4.
Построим линейную рекуррентную последовательность памяти и = 3 над полем СЕ(2) (последовательностн над СР(2) называются также бинарныжи) с коэффициентами рекурсии 5з = О, ~~ = 1, Д = 1, отправляясь от начальных элементов 4> = 1, Н~ — — О, Нз = О. Так как в рассматриваемом поле любой элемент противоположен себе, рекурсия (6.13) имеет вид б; = б; э+Н, з, 1 ) 3, порождая последовательность 1,0,0,1,0,1,1, 1,0,0,1,0,1,1,....
Дзнная последовательность периодична с периодом 7. Пример 6.5. Построим последовательность над полем СК(3) (тирвичирю последовательность) памяти п = 3 с коэффициентами рекурсии (6.13) 5 = О, (~ = 2, Д = 1, начиная с символов до —— 1, А =- О, с~э —— О. Поскольку в СК(3) — 2 = 1, — 1 = 2, рекурсия (6.13) принимает вид И, = 6; э+ 26; з, 1 > 3, генерируя последовательность: 1, О, О, 2, О, 2, 1, 2, 2, 1, О, 2, 2, 2, О, О, 1, О, 1, 2, 1, 1, 2, О, 1, 1, .... Заметим, что полученная последовательность опять периодична с периодом 26 и состоит из двух блоков длины 13, второй из которых повторяет первый, поэлементно умноженный на 2.
Обратимся к рис. 6.11, на котором показан стандартный генератор линейной рекуррентной последовательности. По принципу построения он представляет собойрегистр сдвиза с линейной обратной связью (РСЛОС). Регистр состоит из п р-ичных ячеек памяти (разрядов, триггеров), обозначенных квадратами, каждая из которых имеет р возможных состояний и хранит тот или иной элемент Сг'(р) в течение тактового интервала. Схема тактовой синхронизации (на рисунке не показана) управляет работой регистра таким образом, что после каждого тактового импульса состояние любого разряда передается следующему слева направо. Схема обратной связи содержит умножители элементов (состояний), хранящихся в разрядах, на константы — Л и сумматоров.
Обе арифметические операции выполняются, разумеется, по правилам поля СР(р). Рис. 6.11. Генератор линейной рекуррентной последовательности Предположим, что начальные состояния (т. е. начальные символы последовательности) И„м Й„з, ..., 4~ записаны в разряды регистра слева направо, как это показано на рис. 6.11. Тогда состояние выхода петли обратной связи определится равенством — ~„ ~д„ ~ — ('„ ~дв з— б.б. бб д .. аг д ЪЯ вЂ” )ес(о = И„и после подачи тактового импульса содержимое ячеек регистра сдвига примет вид б(„, 4, ы..., 4, генерируя состояние обратной связи -)'„~д(„— ~„з0„~ — ... — ~об(~ = д(„„ь После очередного такта ячейки регистра будут содержать элементы д(„+ы И„, ..., д(з и т.
д. Обобщая, можно видеть, что в каждом такте текущее содержимое регистра б(б ы б(; з, ..., б(, „формирует состояние обратной связи д(б. Таким образом, полностью линейная рекуррентная последовательность может быть непосредственно считана с крайнего правого разряда, начинал с самого первого символа б(ш или с любого другого разряда, но с определенным опережением во времени. Естественно, тот или иной разряд подсоединен к сумматору через умножитель лишь тогда, когда соответствующий коэффициент ); в обратной связи не равен нулю, в противном же случае необходимость в соединении вообще отсутствует. Пример 6.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
