Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Для доказательства необходимости и достаточности вышеуказанного выбора обратной связи потребовался бы очередной экскурс в абстрактную алгебру, что не вполне согласуется с концепцией книги. Заинтересованный читатель может ознакомиться с детаапли по многочисленным источникам (например, [31, 32]). Примитивные полиномы подробно табулированы в ряде руководств по современной алгебре и теории кодирования, а также (в основном для р = 2) в некоторых книгах по широкополосной связи (5, 6, 18, 321. Не со- 6.7. Пр д АКФ .
д 6 221) ставляет труда и их поиск с помощью компьютера (см. задачу 6.47). Соответствующие команды, в частности, имеются в среде МАТЬАВ (см. Сопшшшса11опв Тоо1Ьох). В целом синтез генератора т-последовательности весьма прост. При заданном порядке поля (объеме алфавита) р память и выбирается из условия получения необходимой длины Ь, после чего нахождение соответствующего примитивного полинома исчерпывает задачу. Возвращаясь к примерам 6.4 и 6.5, заметим, что бинарная тв-последовательность длины 7 построена на основе примитивного над с»г(2) полинома 7(х) = из + х+ 1, тогда как для генерирования троичной последовательности длины 26 использовался примитивный над СР(3) полипом У(х) = яз+ 2я+ 1 6.7.
Периодическая АКФ ш.последовательностей Результаты предыдущего параграфа немедленно приводят к правилу построения минимаксных бинарных последовательностей с АКФ (6.12). Рассмотрим бинарную и»-последовательность («1»1 памяти п, т.е. длины Ь = = 2" — 1. Отобразим ее символы 0 и 1 в бинарный алфавит х1 согласно правилу )'+1, 1»=О, (6.15) где при возведении — 1 в степень д; последняя величина формально трактуется как действительное число 0 или 1.
Полученная таким образом последовательность (а» ) действительных бинарных символов ~1 обладает периодом Ф = Ь = 2" — 1 и является взаимно-однозначным отображением исходной т-последовательности («Ц. Представляется естественным сохранить за ней то же самое наименование бинарной т-последовательности. Для устранения риска перепутывания можно при необходимости использовать дополнительную маркировку типа «бинарная (хЦ последовательность» или «бинарная (О, Ц последовательность». Найдем ненормированную периодическую АКФ (6.7) последовательности 1а«1: И-1 ь-1 Лр(т) = ~ а«п« = ~' „( — Ц~«( — 1)~' = ~', ( — 1)~*~~' (6.16) ««=в «=0 »=О Воспользуемся теперь свойством сдвига и сложения бинарных (О, Ц т-последовательностей. Суммирование в показателе степени здесь можно выполнить по модулю 2, так как это даст тот же итог возведения в степень, что и обычное арифметическое сложение.
При этом («1,'1 («(» + «(» 1 окажется (О,Ц т-последовательностью периода Ь при ~~~222 Глаеа 6. Широкополосные сигналы дел измерения т ф О пюс1 Ь или последовательностью из одних нулей в противном случае. В силу свойства уравновешенности при т ф О пюс1 И на одном периоде (д',) = (е(я+е1,,„) содержится Хо = 2" ' — 1 нулей и1о = 2" ' единиц, поэтому сумма (6.16) состоит из Х,е положительных и Ь| отрицательных единиц, давая в итоге ~ Х, т=ОшобХ, ( — 1, т ф О шой )у'.
Как видно, полученный результат в точности повторяет (6.12), доказывая тем самым, что бинарные зп-последовательности относятся к числу минимаксных1. Пример 6.7. Вернемся опять к последовательности примера 6.4. Ее отображением на алфавит (хЦ в соответствии с (6.15) является бинарная (хЦ т-последовательность — 1, +1, +1, — 1, +1, — 1, — 1,...
Таблица 6.4, содержащая минимально необходимое число строк, поясняет вычисление периодической АКФ этой последовательности. Интересно также проследить процесс согласованной фильтрации дискретного сигнала, модулированного ею. На рис. 6.13 приведена схема фильтра, согласованного с одним периодом периодического видеосигнала с прямоугольными чипами. Все ее блоки полностью идентичны представленным на рис. 6.7. Эпюры напряжений в характерных точках показаны на рис. 6.14. Можно видеть, что выходной отклик содержит главные пики, повторяющиеся с периодом ЯЬ, и равномерный фон отрицательных боковых лепестков, уровень которых в семь раз меньше уровня главных пиков. Таблица 6.4.
Вычисление периодической АКФ бинарной та-последовательности Дискретные сигналы, основанные на бинарных зп-последовательностях, чрезвычайно популярны в современных информационных системах благодаря оптимальным периодическим корреляпионвыи свойствам и простоте формирования и обработки.
В числе наиболее наглядных примеров их практического применения можно упомянуть 2С стандарт мобильной связи се)таОпе (18-96), в котором т-последовательности различной 'Отображение (6.15) обобшаетсе иа последовательности над Се (р), р > 2 как а, = = ехр(12лд,/р), приводя к многофазным (р-фаэиым) кодам, периодическая АКФ которьтх по-прежнему удовлетворяет (6.12). Однако миогофеэиые коды этого типа менее интересны практически, чем мииимексеые бинарные последовательности. 6.7. Пр д Аке . д г 223~ длины используются как пилот-сигналы начальной синхронизации и зондирования канала, а также коды мультиплексирования сигналов базовых станций и скремблирования данных. л(с) Рис. 6.13.
Согласованный фильтр длл бинарной т-последовательности Рнс. 6.14. К согласованной фильтрации т-последовательности Помимо этого т-последовательности служат базисом для формирования других важных семейств сигналов (Касами, Голда и др., см. гл. 7). ~~~~24 Глава 6. Широкополосные сиеналы Аы и лэеренил 6.8.
Дополнение о конечных полях Возьмем некоторый элемент х конечного поля СГ(р) и умножим его на себя пз раз, обозначив результат как т-ю степень элемента х: х х ... х=х"'. т 1эзз Стандартные правила обращения со степенями обычной алгебры остаются в силе в любых полях, включая конечные. В частности х х"=х х.... х х х ... х=х х.... хазхт~", т 1>зз и 1>зз т+и раз ( г=* и раз Более того, обозначая п-ю степень х 1(х ф О) как х ", имеем х х- х.х. .х.х — 1.х — 1. .х — 1 т раз п раз Повторное использование определения обратного элемента хх 1 = 1 при- водит к правилу пъ — и » ' лэ — и т — п > (, — 1)п — т В частности, равенство х. х.....
х х ' х 1 ... х 1 = 1 = х"'х ™ = х™ '" >и 1эзз т 1>зз и единственность обратного для любого ненулевого элемента позволяют заключить, что (х ) 1=х ™. х =1 и Пример 6.8. В поле 42Е(5) (см. табл. 6.3) 20 2'=2, 22 22 2 4 2 3 24 2з 2 3 2 1 2-2 (2-1)2 32 4 2 3 (2-1)З 33 4 3 2 22=2 2=4, 2 '=3, 2-4 (2 — !)4 34 В то же время, множество длин Ээ>" = 2" — 1 = 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, ..., при которых данные последовательности существуют, достаточно разрежено, что в определенных ситуациях может сузить диапазон маневра проектировщика. По этой причине целесообразно исследовать еще один интересный класс бинарных последовательностей, для чего, однако, понадобится более глубокое знакомство с основами алгебры конечных полей. >.а Л. - ° ., * 225) Рассмотрим теперь последовательные степени элемента х ф О поля СГ(р): хв = 1, х!, х~,....
Поскольку члены этого ряда лежат в СГ(р), все оии пе могут быть разными в силу конечности поля и, следовательно, равенство х' = х~ =~ х' " = 1 будет иметь место для некоторых з, Й, !' > Й. Предположим, что существует элемент а, у которого первые р — 1 степеней о~ = 1,с!~,!х~,...,>э!> ~ различны. Поскольку р — 1 есть число ненулевых элементов СГ(р), то вьппеприведеиные степени в точности исчерпывают все ненулевые элементы СГ(р). Таким образом, элемент о, если ои действительно существует, позволяет построить все поле СГ(р), кроме нуля, возведением а в степени О, 1,...,р — 2.
Подобный элемент называется примитивным. Один из ключевых фактов абстрактной алгебры состоит в существовании примитивного элемента в любом конечном поле. Доказательство этого тезиса можно найти во многих руководствах по современной алгебре или теории кодирования (например, [30, 32, ЗЗ!). Примитивный элемент не является единственным: в любом конечном поле порядка большего трех имеется несколько таких элементов.
Как видно из примера 6.8, элементы 2 и 3 оба примитивны в поле СГ(5). Поскольку для примитивного элемента степени схв = 1, а!, оз, ..., !ха ~ пробегают все ненулевые элементы СГ(р), степень а!> ! должна совпадать с каким-то из них. В действительности она пе может равняться ничему, кроме 1, так как равенство а" ' = >х! при О < 1 < р — 2 означало бы, что о!> ! ! = 1. Это, однако, невозможно, поскольку 1 < р — 1 — 1 < р — 1, и среди элементов а!, аз, ..., а" ~ ии один не равен единице. Следовательно, сР ' = 1. Теперь легко увидеть, что то же верно для любого ненулевого элемента конечного поля, а ие только для примитивного. В самом деле, любой ненулевой элемент х е СГ(р) представим как 1-я степень примитивного для соответствующего целого 1: х = >х~, так что (малая теорема Ферма) р — ! ( !)р — ! !О-!1 ( р — !)! Следующее понятие имеет вполне естественное название, подчеркивающее преемственность к категориям обычной алгебры.
Целое значение показателя степени 1, в которую следует возвести >х для получения х = о!, есть логарифм х по основанию а с обозначением 1о8 х. Согласно этому определению, а!о~ " = х. Сосредоточимся теперь только на простых полях нечетного порядка (р > 2) и введем функцию, именуемую двузначным характером !!>(х) ненулевого элемента х: 8» > ( ц!ов х (6 18) — 1, 1оя хфбшо>12, ~~(226 Глава 6. Широкополосные сигналы для измерения Ясно, что двузначный характер есть просто отображение поля Сг (р) на пару действительных чисел (+1, — Ц, трансформирующее ненулевой элемент х в +1, если его логарифм четен, и в — 1 в противном случае. Заметим, что это отображение не зависит от выбора конкретного примитивного элемента (задача 6.24). В дальнейшем понадобятся следующие свойства двузначного характера.
1. Характер единицы поля СР(р) равен единице: (6.19) ф(Ц =1, посколькУ сге = 1 =о 1оба 1 = О. 2. Характер — мультипликативная функция, иными словами, характер произведения ненулевых элементов есть произведение их характеров. Действительно, из (6.17) и (6.18) следует ф( ) ( ц1оК (ар) ( ц1вК *+~оК | — ( Ц1ока а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
