Маковеева М.М., Шинаков Ю.С. Системы связи с подвижными объектами (2002) (1151874), страница 32
Текст из файла (страница 32)
) дго . з дго . (-Ф (г-~ . (5.2) л(х(г)(з - ~ = гпах л(х(г)(э,„~. т (5.3) В соответствии с правилом (5.3) выбирается максимально правдоподобная гипотеза; поэтому этот метод синтеза правила выбора решения при демодуляции обычно называется методом максимального правдоподобия. Лрнмечание. Отметим, что в выражение (5.3) не входят априорные вероятности гипотез ГГ, которые при рвссмзтриввемых здесь усповиях одинаковы и равны Р(н ) = 1ли дпя всех рк теория потенчивпьной помехоустойчивости В.А. котепьниковв предпегвет другой критерий принятия решения: при попученной реализации хрз процесса (5.1) в кзчестве спрзведпивой принимается тз гипотеза, епостериорнея вероятность которой наибольшая.
Этот метод синтезе впгоритмв демодупяции нвзывзккт методом максимума згостериарной вероятности. Однако и этот метод при рввноеероятных гипотезвх приводит к алгоритму (5.3). Итак, равенство (5.3) определяет алгоритм демодуляции, оптимальный по выбранному выше критерию оптимальности.
Теперь необходимо решить вопрос о практической реализации этого алгорит- 173 Это выражение записано при предположении (гипотезе), что в реализации х(Г) процесса (5.1), полученной на очередном интервале времени (г — 1) Ткс <Г < 1Ткс, несущее колебание содержит информационный символ с номером т. Дпя этого предположения удобно ввести специальное обозначение — гипотезу Нм.
Значение этого функционала можно вычислить для разных гипотез Н гп = ОЛ2....,М вЂ” 1; чем больше значение этого функционала, тем более правдоподобным представляется утверждение, что справедлива гипотеза Н,„, т.е. что в этой реализации содержится информационный символ с номером гл. Оптимальный алгоритм демодуляции теперь можно описать следующим образом: для реализации х(Г) процесса (5.1), полученной на очередном интервале времени (г — 1)Т, <(<гТ„,,вычисляются зна- чениЯ фУнкционапа отношениЯ пРавдоподобиЯ Л(гх(Г)) з, ), длЯ каждой гипотезы Нм, т.е.
для каждой возможной формы несущего колебания. Решение о форме несущего колебания, содержащейся в этой реализации, принимается в соответствии со следующим правилом; гипотеза Н;, считается справедливой, если (5.4) кТ„с 1(кс ~к(Е)з,„(Е)Л1- - ~зэкам(ЕЕ . (1 т(тис р-1)т Вторые слагаемьке а обеих частях этого равенства представляют собой ожидаемые значения энергий соответствующих сигналов. Значения этих энергий в рассматриваемой задаче можно считать известными.
равенство (5.4) можно записать в виде совокупности неравенств: иткс Лис х(Е)зе(Е)(ЕЕ- Еи > ~ хЩз (Е)(ЕЕ- Ес, ( г 1 2 ' Е 2 (5.5) (Г-1(ткс (1-1кт. ДЛЯ ВСЕХ Л1 и 1П. Это правило дополнительно упро(дается, если несус(ее колебание при любых информационных символах име т одинаковую ма.
Очевидно, что при реализации важным является вопрос о вычислительной сложности алгоритма, под которой обычно понимают число математических операций, которые необходимо выполнить над реализацией х(б, чтобы принять одну из возможных гипотез. Поэтому равенство (5.3) желательно записать в дрзможно наиболее простой с вычислительной точки зрения форме. Один из вариантов такой формы записи можно получить следующим образом. Запишем равенство (5.3) с указанием явных выражений для левой и правой частей: иткс ехр ~хЯз,о(Е)(ЕЕ- $зе(Е)(ЕЕ "Ео ЕУо (1-1)7 ( -1(т иткс иткс = п(эх ехр - — ~хЯз„,(Е)(ЕŠ— .- ~зс,(Е)(ЕЕ . т Е(Ео . Е(Ео .
(1-пт . Поскольку показатели экспонент являются вещественными числами, а экспонента является строго возрастающей функцией, то при выборе решения можно сравнивать показатели этих экспонент; в этом случае оптимальное правило выбора решения можно записать в более простой форме: кгкс 77 ')х(Е)зко(Е)(ЕЕ- -. Гззкф(ЕŠ— ° 2 (к 1)тис (1-((Ткс энергию, т.е если Е = Е при любых значениях пк ~хДв х р)6) > ~хЯз», (06г (5.5) «-ег в- вт„ для всех ти гй. Наконец, если Я = 2, то правило выбора решения можно сформулировать следующим образом. в качестве справедливой принимается гипотеза Нн если гг„» ~хяз„яг)Г > ~хязвясй; (5.7) й-1)т„» «-»дт„» в противном случае принимается гипотеза Нв. Выражения (5.5) — (5.7) определяют правило выбора решения при демодуляции в рассматриваемых условиях.
Каждое из этих выражений записано, пожалуй, в наиболее простой с вычислительной точки зрения форме для соответствующего частного случая. Поэтому теперь перейдем к обсуждению вопроса о практической реализации полученного оптимального алгоритма демодуляции. Из (5.5) следует, что дпя полученной реализации х(1) случайного процесса Х(Г) на входе демодулятора необходимо вычислить корреляционные интегралы. В )1] достаточно подробно изложены два технических способа этих вычислений — с применением корреляторов или согласованных фильтров.
Здесь мы воспроизведем только первый из них, наиболее подходящий для последующего изложения, поскольку оба способа эквивалентны. Соответствующая функциональная схема демодулятора представлена на рис. 5.1. Заметим, что на каждом очередном интервале времени,интегрирование начинается при нулевых начальных условиях Юитегратора. Это означает, что после получения отсчетов на выходе интеграторов интеграторы должны быть переведены в нулевое состояние с помощью устройств, которые на данном рисунке не показаны. Кроме того, здесь молчаливо предполагается, что форма канального символа выбрана таким образом, что можно пренебречь влиянием возможных перекрытий соседних по времени канальных символов. В реальных системах подобные перекрытия возможны из-за наличия формирующих фильтров, и их следствием являются межсимвольные искажения.
Однако, как правило, параметры этих фильтров выбираются таким образом, что влияние межсимвольных искажений действительно оказывается пренебрежимо чалым ы Отсчеты в моменты времени г =!Ты Рис. 5.1. Функциональная схема реализации алгоритма демодуляции с применением корреляторов Возможна и иная интерпретация полученного алгоритма демодуляции, которая особенно полезна будет в дальнейшем при анализе качества демодуляции.
Для пояснения этой возможности рассуждения начнем с записи алгоритма в виде (5.4). Дополним левую и правую части этого равенства до полных квадратов путем добавления одного и того же слагаемого О„~ [к~И (г. и-ег В результате вместо (5.4) можно записать л„, — ~~х(() -зе(г)) гй = вэх 1 2 ы р-эт„, или, после сокращения множителя 1/2 и изменения знака с последующей заменой операции поиска максимального значения на операцию поиска минимального значения, ~г.с [[х(Г) -з„,(Г)[э К = Эп ~[х(1)-з„,(Гу1Г~ . р-вт в-1>т„ Обратим внимание на то, что произвольной функции з(г), О < г < Т, с интегрируемым квадратом в функциональном простран- 176 стае Гильберта ставится в соответствие вектор в, длина которого 1 т г )з'(г)а о называется нормой этой функции.
Обратимая к равенству (5.8) и предположим для примера, что М = 4. Каждому сигналу з„,(г), (г - 1)Т „< ( «(Т „, поставим в соответствие вектор в„, пространства Гильберта с нормой ~в„,~, которые пока расположим произвольно так, как это представлено на рис. 5.2. Кроме того, на этом же рисунке изобразим вектор х, представляющий в пространстве Гильберта реализациго х((), (à — 1)Т«<Г кг7<, процесса (5.1) с нормой т г ~ х~(г)ггг о -[ Заметим, что интегралы в обеих частях равенства (5.8) также можно интерпретировать как квадраты норм функций ~„(г) = х(г)- з„,Я, (г'-1)Т„, <(< гТ„,, которые в пространстве Гиль- берта можно представить как вектор, равный разности двух векторов: х — в,„.
Чем меньше длина ~т~с з х-з = )(к(Г) — з (()кТ (г ~ кс вектора х — в,п, тем ближе вектор х к вектору в„,. Теперь можно указать новую интерпретацию полученного выше алгоритма демодуляции: решение принимается в пользу того сигнала, который оказался ближайшим к полученному вектору х. Если каждый сигнал на рис. 5.2 представить точкой, обозначающей конец соответствующего вектора, то приходим к сигнальному созвездию, изображенному на рис.
5.З. Такой способ графического представления сигналов уже бып использован в гл. 3 при описании методов модуляции. Реализация наблюдаемого процесса при этом также представляется точкой. Полученное выше правило выбора решения при демодуляции теперь можно сформулировать следующим образом: решение принимается в пользу того сигнала, изображающая точка которого на сигнальном созвездии оказалась ближайшей к точке полученной реализации. Рис.5.2.
Векторное' представление сигналов и реализации наблюдаемого процесса в пространстве Гипьбе рта Рис. 5.3. Сигнальное созвездие и точка реализации наблюдаемого процесса в пространстве Гипьберта Часто такое графическое представление сигналов и наблюдаемой реализации в метрическом пространстве используется при технической реализации данного алгоритма демодуляции: демодулятор должен вычислять расстояния (метрики) от полученной точки х до всех точек сигнального созвездия и среди полученных метрик находить минимальную.
5.2. Синтез оптимальных алгоритмов демодуляции сигналов с памятью В предыдущем параграфе мы рассмотрели проблему демодуляции последовательности сигналов без памяти. когда каждый очередной канальный символ не был связан с предшествующими. В атом случае методы синтеза, изложенные в $5.1 приводят к оптимальным алгоритмам демодуляции. При атом показателем качества демодуляции была выбрана средняя вероятность ошибки, а критерием оптимальности — минимум средней вероятности ошибки. Как следует из гл 3, а современных системах связи с подвижными объектами широко испогьзуются методы модуляции, при которых между канальными,имволами имеет место существенная информационная связь. В этом случае посимвольная демодуляция, не учитывающая наличие такой связи, уже не является оптимальной и, следовательно, необходимо построение иных алгоритмов демодуляции, учитывающих ве нагичие..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
