Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Я) превосходит каждую из остальных (гп1;) — 1) величин 3п). г 432 Вероятность правильного приема позтому равна о» х Π— 1 х )н» вЂ” )) Π— =о[,~а (,в)»» [) н)».] о о о )3 ехр »г х х »е:,»-в ~ в~+в ] Х'1)» (»»» -»в х рн — 1) О Ю о о х х 1гт — ))о Х [ 1 — ехр ~ — — 11 сгх =- 2»» о-) )т — )) о — $~ ~~)~ ( — 1)п+"С«,С",т „, Х 2 (аа + 1) А~1 «=о н=о н('.»[ — ( '," н+]]» = о — )гт — ))о — 1 «+ "С С" ( ) ~О ) <, ))О „«а+ 1+«+1» о «=о =о а вероятность ошибки о-1)Ф вЂ” )) о у=1 — а~ ~)' ( — Ц+.С',,С,".
„,Х «=о и=о 1 и(«~~+ )),+ «+ 1 (6.47) Эта вероятность ошибки, конечно, больше, чем в случае оптимальной схемы квадратичного сложения (6.38). Однако вычисления показывают, что различие между этими вероятностями всегда незначительно. 23 — 2И7 433 В частном случае сдвоенного приема в схеме сравнения, подставив в (6.47) О=2, получим 9 . !) ~' 1>!!) -- Ч 1!ои (6.51) у=2 Ч ( 1) -'С,"... . (6.48) (л)!" -1 л + 1)(лл1+ л + 2) Для сдвоенного приема двоичных сигналов, подставив в (6,48) т=2, после простых преобразований найдем ! (6.49) (Л', + 21 (кг+ 3) 123, '+ 31 или при й ~) 1 3,5 Р= ),! (6.49а) Схема линейного сложения Одной из наиболее простых схем разнесенного приема является схема линейного сложения, которая реализует следующее правило решения для приема символа у,: 434 Зависимость (6.49) представлена на рис.
6.9 (кривая 3). Различие помехоустойчивости схем сравнения и квадратичного сложения практически неощутимо. Энергетический проигрыш в схеме общего сравнения относительно оптимальной схемы квадратичного сложения при сдвоенном приеме двоичных сигналов не превышает 0,4 дб. Для двоичных систем при Я>2 в схеме общего сравнения из (6.47) находим !) — ! Я р=Я ~Ъ Ъ" ( — 1)ь+"-'С С" . (6.50) Ю-! О л(аз+11+в+! а=о =! Эта вероятность мало отличается от (6.38). Энергетический проигрыш по сравнению со схемой квадратичного сложения при Ц(4 не превышает 0,8 дб. Схема общего сравнения наиболее просто реализуется при разнесенном приеме по частоте. Здесь в каждой ветви имеется своя схема вычисления величин ре такая же, как при одиночном приеме, а окончательное решение производится по результатам линейнего суммирования значений Гн Такое правило может быть реализовано в схеме рис, 6.4, в которой исключается операция возведения в квадрат.
К сожалению, в общем случае вероятность ошибки в схеме линейного сложения не удается выразить в элементарных функциях. Тем не менее для сдвоенного приема двоичных систем при независимых релеевских замиранияхэту вероятность удается получить относительно просто. Плотность распределения вероятностей случайных величин )>1)) 1 ))!2) !з) ! можно получить в следующем виде (7, задача 3.101: 213~+ 11 ~ 2(32+ тгл при х=0.
при х(0; ге (х) = 0 (У) = Ф Р 1 — й+ — 22 ~ 2, — 1 М ;л',ехр ~ — — ~ <р( У ), при у О, Ы=0 при у(0, (6.52) где Ф(х) — функция Крампа. 28' 435 Теперь вероятность ошибки можно найти обычным путем: р =- ( и (х) с(х ( ш (р) с(д. (6.53) Подставляя (6.53) в (6.52) и производя несложные, но довольно громоздкие вычисления, получаем 2(Ь~~+ 1)' агой 1 а +з (6.54) а~+2 ~/ аз+З При высокой верности приема, когда Ь~>) 1, формула (6.54) допускает простое асимптотическое представление: 3,24 Р= 14 2.
(6 55) Сравнивая этот результат с (6.37) убеждаемся, что энергетический проигрыш при,переходе от квадратичного сложения к линейному не превышает 0,2 дб. Таким образом, более простая схема линейного сложения имесз практически такую же помехоустойчивость, что и оптимальная схема. Резюмируя выводы этого параграфа, можно утверждать, что все практически применяемые методы разнесенного приема обеспечивают помехоустойчивость, мало отличающуюся от потенциальной. Поэтому нельзя получить заметный выигрыш в помехоустойчивости путем применения каких-либо новых схем разнесенного приема.
Не следует, однако, забывать, что все полученные результаты применимы к реальной аппаратуре лишь при условии, что она действительно функционирует в соответствии с рассмотренными правилами решения. Фактически помехоустойчивость реальной аппаратуры разнесенного приема часто оказывается значительно хуже теоретической вследствие отклонений от правила решения. 436 астпости, такие отклонения вызываются различием ления в ветвях разнесенного приема. Лальиейшее обдение этого вопроса выходит за пределы настоящей оты (4). 6.5. Дискретное сложение В некоторых случаях удобно применять простой, хотя алекий от оптимального, метод разнесенного приема, ованный на том, что в каждой ветви используется састоятельная решакпцая схема, доводящая решение до еделения вероятного переданного символа по сигнапринятому в данной ветви. Окончательное решение нимается на основании сравнения «частных» решений, ученных в каждой из ветвей. При этом не учитывася ни различия правдоподобия частных решений, ни личия в мощности принимаемых сигналов в отдельх ветвях, как это имело место в схеме выбора.
По- ольку все ветви считаются равноправными, наиболее авдоподобным является тот символ, который зафиксиван в наибольшем числе ветвей. Такой метод разненого приема оказывается особенно удобным при разении по времени, поскольку он требует запоминания лько дискретных величин. Вообще говоря, такое правило решения может привек неопределенности, если два или более различных мволов зарегистрированы в одинаковом числе ветвей.
пако в частном случае, когда система двоичная, а чио ветвей нечетное, такая неопределенность возникнуть может. Сравним помехоустойчивость такого метода скретного сложения, ограничиваясь этим частным слуем. Если число ветвей приема 9=24 в 1, то вероятность ибки р равна вероятности того, что в д или большем числе ветвей зарегистрирован ошибочный символ.
Если обозначить вероятность ошибки в одной ветви через рь то еч — ! р —. '), С' р'(1 — р,)"- †. (6.56) Этой формуле можно дать следующую интерпрета- цию. Предположим, что производится серия каких-то ис- 4зт йытаний с вероятностью положительного исхода в каждом испытании. Серия состоит из 2!! — 1 испытаний.
Условимся, что событие А наступило в том случае, если в этой серии имелось г! или больше положительных исходов, Тогда, очевидно, вероятность наступления события А выразится бинохгиальным законом ьг- ! Р(А)= ~ С,", р'(! — р,)Π— —, СО-' рч-' (! — р,) — р, = с'-' р', (! — р,)-- . "Событие А может быть констатировано не раныпе !тг-го .испытания. Таким образом, вероятность наступления события может быть представлена как сумма вероятиостей констатации события А после и-го испытания, взятая по всем и, от и — г! до и=2!7 — 1, т. е.
2д — ! Р (А) = 7' С' ' р', (!— (6.57) 438 что совпадает с (6.56). Но можно, рассуждая несколько иначе, получить друное выражение для Р(Л). В действительности, для того чтобы определить, что событие А наступило, вовсе не обязательно доводить серию испытаний до конца. Достаточно продолжать испытания до тех пор, пока мы не *,получим г! положительных исходов, после чего можно утверждать, что событие А наступило, так как последую.щие испытания не смогут изменить этого факта. Только !в том случае, если было проделано 2г! — 1 испытаний, .а положительный исход не наступил г! раз, следует сде.лать вывод, что событие А не наступило. Определим с этой точки зрения вероятность того, что ,наступление события А констатировано после и-го испытания.
Это означает, что в предыдущих (и — 1) испытаниях имелось (д — 1) положительных исходов и и-е .испытание дало также положительный исход. Вероят.ность этого равна Если теперь обозначить через п число испытаний, проведенных после г1-го испытания, т. е. п=и — д, то Π— ! Р (Л) =- ~ С„'-,' р', (1 — р,)". (6.58) л=О Отсюда вытекает тождество ОΠ— ! Π— ! ~~' С~, ! (1 — р,)"г О-г= ~СО ' р', (1 — р,)".
(6.59) ~=.О л=-О Предположим теперь, что в каждой ветви схемы дискретного сложения осуществляется оптимальный некогереитный прием. Тогда согласно (5.17а) аг + ! Р!= О ° ! — Рь=- а,+2 Йгг+2 и правая часть (6.59) совпадает с выражением (6.38) для вероятности ошибки при оптимальном квадратичном сложении, если Я=!1, так как С' =С „ Полученный результат означает, что вероятность ошибки в схеме дискретного сложения при 9=2!! — 1 равна вероятности ошибки в схеме квадратичного сложения при О=г!. Таким образом, потери, вызванные переходом от оптимальной некогерентной схемы разнесенного приема к схеме дискретного сложения, могут быть в точности скомпенсированы увеличением числа ветвей с г! до 2г! — 1. При этом, конечно, предполагается, что при увеличении числа ветвей мощность сигнала, приходящаяся на каждую ветвь, сохраняется.
Так, например, сдвоенный прием на разнесенные антенны при оптимальном квадратичном сложении эквивалентен по помехоустойчивости приему иа три раздельных приемника с выбором символа, зарегистрированного по крайней мере двумя приемниками. Для того чтобы заменить таким же образом строенный прием, потребуется пять раздельных приемников с разнесенными антеннами. Полученные результаты позволяют легко сравнивать метод дискретного сложения с другими более эффективными методами разнесенного приема и оценивать, в каких случаях требуемое увеличение числа раздельных приемников окупается простого!! схемы дискретного сло,жения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
