Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 66
Текст из файла (страница 66)
На его выходе напряжение пропорционально У»(1) = ф111[я'г(060 ы~р, 1) +я'г( — ОН>, — гопр 1)[ (6.8б) где я'1(6„ыяр. 1) — принимаемый сигнал, сдвинутый по частоте на величину ыяр и по фазе на 6115 Первый член в (6.8б) обычна легко 40Т полнения неравенства (6.11) Учитывая, что г р ~ г (г) <й —.= Р,Т, (6.9) отсеивается фнлгиром, тяк кзк его спектр лежит пз выев ныше спектра второго члене.
Второй же член с точностью до сдвига чзстоты совпядяет с выряткениеи, фигурирующим в правиле решения (6.7). другими словами, нв выходе перемножителей начальные фазы сигналов не ззвпскт от номера петен и совпздзгот с фззямн местных сигнячов но(!). Это позволнет произвести когерентное сзоженне, з затем иснользоветь местяые сигналы в качестве опорных для когерентного приеме.
Перейдем к вычислению вероятности ошибок для некоторых случаев когерентного разнесенного приема. Условная вероятность ошибочного приема элемента сигнала прп когерентном сложении для заданных значений 1<<<! и 6<<! опредепяется как вероятность невыполнения неравенства (6.7) прп передаче символа у<, Полная вероятность ошибки находится путем усреднения условной вероятности по рш и 6<<! в соответствии с характером замираний. Вычисление этой вероятности в общем виде затруднительно. Ограничимся некоторыми частными случаями, которые позволят судить о порядке величины выигрыша в помехоустойчивости при разнесенном приеме методом когерентного сложения. Будем рассматривать двоичную систему с активной паузой, для которой правило (6.7) приема символа у! можно записать ~ (в< <1 ~ г'т ( — 6 < <1, () г, (() <й ==- г=! о я г =-~;,.<г1 ~ гг (--(1<п () г (1) й.
о Если действительно передавался символ у„ то" г'г( — 0<<1, 1)= — р<гэгг(Г)+и<<!((), (6.10) где и<<1(Г) — шум, действующий в <-й ветви. Подставив (610) в (6.9), получим„что условная вероятность ошибок при данных значениях (т<п и при передаче символа у! представляет собой вероятность вы- * Выряжсние (6.10) следуе~ из того, что поворот фвзы принимвемого сигняля в'<(11 не — Ви! компенсирует сдвиг фазы, имевший место в канале. 408 о г Ъ' р<г)е 1 гз(1) Сй+Х,«) 1 г,(Г)и<з! (Г) й~ ;-! <=-! о г г р<г!') г, (!)г,(1)<й+ у 0<<1) г,(!)им1(()<Й. <=! о <=! о можно записать (6.11) в следующел! виде: г о ~~ и<!!з р.<<1 ~(г (() — и (г)) и«1 (!) <й ч,еРсТ р ! —,.
(6.11а) <=! о г=! р'о Здесь у определяется выражением (3.61а); напомним, жо при ортогональных сигналах у=1, а пря противоположных у= рг г. Интегралы в левой части этого неравенства представляют собой независимые* нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием. Их дисперсия может быть вычислена аналогично тому, как это сделано в гл. 3, и равна ч Т вЂ” Р,. Поэтому дисперсия суммы, записанной в левой . части (6.11а), равная Правая часть этого неравенства при фиксированном зна- чении (<<в также фиксирована.
Отсюда вероятность вы- полнения этого неравенства или условная вероятность ошибки равна * Неэввисимость следует иэ того, что здесь рассматриваются взаимно неэввнсимые помехи в рвэлвчных ветвях. 409 1 2 (6. 12) аз о г)р!'! (р!'! ". (Р(гл (6.13) 1 = 2 И вЂ” Ф (уйр )) (6.14) — — ц (и! ! + р(луг). г г 7) с з г=! л=! (6.16] о с~ гцчл , !"о 1 — Ф о ъ Т рхг!' Р,~ Т рс Полная вероятность ошибок (учитывая симметричность двоичиого канала при когереитиом приеме) может быть получена путем усреднения (6.12) по всем зиачеииям рп Рзсслготрпл! некоторые частные случаи: а) Предположим, что величины рп! случайные, но нв протяжении приема сообщения не изменяются, т. е. замирания практически отсутствулот, а коэффициенты передачи для разных ветвей различны. р!ч' При этом везичинам')а= —,И представляет собой отношение г о энергии сигнала в 1-л! ветви к спектральной плотности помехи.
Полная вероятность ошибки в отсутствие замираний совпадает с условной вероятностью (6.12) г ч где й „= лэз ИЧ' — результирующее отношение энергии сигнала г=! к спектральной плотности помехи после когерентного сложения с оптимальными весовыми коэффициентами. Этот результат мощно кратко сформулировать так! при оптимальном когерснтноч свеженин результирующее отношение сигнала 410 к помехе равно сумме отношеаий сигнала к помехе в каждой ветви *. Заметим, что (6,14) можно легко вывести„не налаган условия равенства спектральных плотностей шума в разных ветвях (31.
Выигрыш в помехоустойчивости (по сравнению с одиночным приемом при р=-Иа) в этом случае получается только при приеме на разнесенные антенны, когда показатель Л в (6.2) равен нулю. Прк разнесении по частоте, если Л= 1, йг = Ьо, т. е. никакого г выигрыша не получается, Волн же Л>1, то разнесенный прием в отсутствии замираний дает уменьшение помехоустойчивости по сравнению с одиночным приемом. б) Г1редположим, что замирании во всех ветвях полностью коррелнрованы (йл=!).
Поскольку для всех ветвей рз одннановы, вз этого предположения следует, что все Ип' также одинаковы в каждый данный момент, р!!!==и. Тогда из (6.13) получим. Р=- 2 ) ш(р) ~ 1 — Ф ~т )Iгч' — йч)1 слр. (6.15) а В глучае релеевских замираний, подставляя ю(р) пз (5.3) н производя интегрирование,получаем "* — (6.15а) Г г;~' Сравнивая результат с (5.10), можно заметить, что в этом случае когереитный прием на разнесенные антенны (когда Л=О и Ьо=йа) обеспечивает энергетический выигрыш в О раз. Молино получлггь аналогичный результат, и не вводя предположения о равенстве среднего коэффициента передачи во всех ветвях приема, если под йоз понимать значение отношения энергии сползла к спектральной плотности шума, усредненное как по времени, так и по всем ветвям.
При Л=-1 и Ял=! когерентный разнесенный прием выигрыша не дает. в) Предположим теперь, что коэффициенты передачи в различных ветвях, попарно иекоррелироваиы (!г!л=о). Обозначим через й положительную случайную величину; ч Закон суммирования опюшеняй сигнала к помехе при оптилгалылол! когерентном ело!кении был получен иным путем Бреннаном [2) (см. примечание 1 к гл. 6).
ч" См. вывод формулы (5.10). 411 гб г гйз «зйз гр 3 4746~ 1 Л 0 Л Л ! — Л 0 (6.196) (6.20) 0 — Л 1 Л Л 0 Л ! 1 — Л 17 0 Л 1--Х вЂ” Л 0 бе! (К вЂ” )г() =- =- О, (6. 21) 0 — Л 1 — Л Л О Л 1 — Л 413 Теперь вместо (6.13) можно написать 1 Р— 6) (1-- Ф(уйг7 )гЫ г(1. (6.17) а При релеевских заыиранинх величина й представляет собой сумму квадратов независимых нормально распределенных величюг )ь~,'1 и !ьйО (1 = 1, ..., г;г). как известно. распределение вероятности величины й называется „распределением Хз " с 2Я степенями свободы: 1 ш(в) = О в е при йрвО, (6 !8) 2 (13 — 1)1 ш($) = 0 при йк.О. Подставив (6.8) в (6.7), путем последовательного интегрирования по частям получим 1 ~ (/ 7 г7 ( 4~3 (2й — 1)О ей 2 з-! В частности, прн сдвоенном приеме (Гй = 2) р== — ! — ., ! 1 ' (6.19а) При удовлетворительной связи, когда 7'йз )) 1, можно получить вместо (6.19а) приближенное выражение Сравним этот результат с (6.10а).
Если при одиночноы приеме в канале с релеевскими замиранняии вероятность ошибки приблизительно обратно пропорциональна мощности свгяалз, то прн сдвоениоц когерснтнои нрйсме па разнесенные антенны (йч=йа) оиа обратно пропорциональна квадрагу иощпоспг. При допуспгмой вероятности опшбок порндка 1О-' сдвоенный прием прн когерентном сложении н иекоррелнроваиных коэффициентах передачи обеспечивает энергетический выигрыш зо 20 дб. В случзе же полной корреляции между коэффициентами передачк в ветвях сдвоенного приема энергетический выигрыш прн Ач —.Ьч сосгавляст всего лишь 3 до (6.16а). На рис.
63 ггоказаны аависииости вероятности ошибок от параметра улйчз прн различных Гс' для Лз=! н Лч=О. 412 Очевидно, что пра пекоррелпрованпых козффнцпенгах перетачн сгноенный прием может дать выигрыш н прн л>0, сслн только значение 1гз лостаточно велико. г) Пусть теперь 9=2, коэффициенты передачи в ветвях коррслированы пронзвольныи образок, а замирания релеевские. Вероят Рис. 6.3. Вероятность ошибок прн когерептиои разнесен- ном прнелге. ность ошибок по-прежнему определяется вырамсеппем (6.17), в котороы, однако, квадратичная форма $ (6.16) уже является суммой квадратов коррелнрованных нормальных величин. Для нахождения плотности распределения ш(Ц применим матричный метод, описанный в прниечаннн 4 к гл.
5. В данном случае матрица Л квадрап~чной формы является единичной, так что КА= К. Корреляционная матрица величин гхг,н, !с~~1, 1х10, 8.1З1 равна Собственные числа этой матрицы найден как ко1чпз уравнения решая которое получим (6,22 «'о,в= 1+ )ов) )ов.о =' ! )«4 тле )~.=.-. )«в 4- )(в. Поскольку корни имеют парную кратность, плотность расправе пения $ в соответствии с (5А2) рави) [3) ехр ( — 2) ) ехр ~ — -2) ) 2Хо(1 — ) ) 2Хв ~1 — —,) =чй ~ ехР— )()) — ехР~ — 1 )«)1, (Я >О), (6.23) шЯ=О (йС О). Подставив (6.23) в [6.!7) и произведя интегрирование, найдем вероятность ошибок Ттйе(1+«(4) + 2 (1 )«) « / твйя (1 )ос) (6.24) Легко видеть, что при )ос= 1 зта формула совпадает с (6.15а). При )44=.0 предельнын переходом можно почучить (6.19а), При ° вйв (! — )() ~~ ! 3 (6.24а) — 4 4(1 й,г)йч ' Сравнивая почученное асимптотическое выражение с (6.19б), убеждаемся, что если бга(0,6, то вознвкаюший вследствие корреляпин энергетический проигрыш не гревьшгаст 1 дб, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
