Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 63
Текст из файла (страница 63)
е. в сумму квадратов (3!). Таким прсобрззагависм является линейное ортогональное преобразование (5.103) 389 Здесь 1 К) — определитель корреляционной матрицы (5.33); йьр— элементы матрицы К ', обратной матрице К В матричной запвсн 1 Г ! ю(хо ..., х„) =-. — ехр [ — — хК- х ~, (5.99) (2я)" Вг(К( 1 ! ! 6 (о) =, — ехр ! — — хК-'х + Ьхдх [ с!х, (5.100) .) (2) У~К~ тле х, х — вектор-строка и вектор-столбец величин х„.
!!дт!ее везде знак обозначает транспонированную матрицу. Обозначим когда у= (), 'х, (5.104) 6, = б)-!' (5.106) (5.115) г=! (0 — К'! ( =0. (5.1!б) — ! ау =- у()! = у() (5305) (5.111) (Л,( = (О(. (5.119) (5.120) 391 где ьг, — матрица преобразования порядка 2пуг'2п, удовлетворяющая условию сьев!= 1, (5305) (1 — единичная матрица порядка 2пХ2п) или Подставляя (5.103) в (5.!02) н учитывая, что якобиан преобразования равен единице, получаем 8(о) = ~ р ~ — 2 ь)~у т!()~у1 бу. (5.!0!) (2я).
У)К) 3 Здесь ду= г)р! г)р, ... !!р! . Из теории матриц известно (31), что последний! переход вделан на основании (5.105). Таким образом, 8(о]= ~ехр ~ — — уб), ! 60,у1 Иу. (5.109) (2я)" К!К) Но нреобразовзние (5.103) выбрано так, что матрица Л = () †, !О(), = (Л'ьз„ь) (5.!!0) диагональна, в (5.1!О) Х', (8=1, 2,..., 2я) — собственные значеаия матрицы С; бар (К р=1, 2,..., 2л) — символ Кронекера.
Умножая слева обе части первого равенства (5.1!О) на () с учетом (5.105), (5.105), найдем Последнее равенство позволяет найти элементы преобразующей матрицы 0=-(д'ги), Действительно, если представизь матрицув виде вектора-строки (5.112) где сгр — р-й столбец матрицы (1, то зля элементов р-го столбца нз (5.111) инеем следу!ощсе уравнение: Од'в —— -'~'рд'р (р=-1, 2, ...,'„2п). (5.113) Для элемента д'ьг, стоящего иа пересечении й-й строкк и ф-гп столбца из (5.113) нетрудно найти Ыагй'!в=а'эЧьа (Гг, р=!, 2,..., 2п), (5.114) ! — ! где йы — элемент матрицы 6, стоящий на пересечении й-й строки н г-го столбца. Из условия (5.105) следует, что элементы матрицы (1 должны кроме того, удовлетворять следующему уравнению: за Х' ч'!ко!э = йьр.
обеспечивающего выполнение требований ортогонглнзации и нормирования линейного преобразовання. Накопал, собственные значеаия йл матрицы 6 находятся как решения характеристического уравнения Осуществив указанные преобразования, находим, что ыногократный интеграл в (5.109) превращается в произведение однократных интегралов 8()= .,— ~ р~- 2 УЛ,У1бу= (2.)- ) !К) )„', „П 1 р~-2'"рз]Ы„„.
(. Т) Л=! — ье Интеграл под знаком произведения табличный; вычисляя его, получаем (2г)ь ( ) (2 )Я )/-~~ф !!2 (~Л )!!2' Так как определитель матрицы инвариантен при ортогональном линейном преобразовании, то Рспомнаая (5.101) и подставляя в (5.113), имеем 1 8 (о)= () К! ) К- г( — 2!ой)) мз 1 [! — 2гоКА]ма Р«(з) .— ~ зр«(х) е-"«бх, о (5.! 21) (5.127) 1 ](» - «(1 — 2!оКА) 4»[П ! 1 з 1 2 .«+1,2 ' — +9 а Р()= (5.125) 1 р,(х) = — е илн ! 5 (о) 2» 1 П (! — 2!аЛ»)пн л=! л 1 Р,= 2е з [КА — Л!] = О, Известно, что определитель ,произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей, т, с.
Так как матрица КА действительная и симметричная, то можно подобрать такое новое ортогональное линейное преобразование !», которос ее диагоналпзирует. Используя инварнантность определителя к такоыу преобразованию, змеем [4»- И» — 2! !»- КАг»] и' ' (5.122) Но !» 'К»=-4! г!»=1, (5.!23) а матрица [» -»КА(» = А =- (Льдь»), (й, Р = 1, 2, ... 2п) (5.124) диагональна, так что зи ]! 2«оА]Мз =П (1 — 2гой )!!з э=! Таким образом, окончательно по,чучаем где Л„ находятся как корни уравнения что и требовалось доказать. 5 (к й 5.2). Многие задачи вычисления вероятностей ошибок при медленных релеевских замираниях (например, методом, описанным в предыдущем примечании) решаются значительно более просто, чем такие же задачи для случая отсутствия замираний.
Если рассматривается система с активной паузой„ то, зная вероятность ошибок р, при релеевских замираниях, можно вычислить вероятность ошибок р, без замираний, пользуясь методом, предложенным Н. П. Хворо«тенко (14]. На основании (5.3) при релеевских зами- раниях Р» (йа) = з ехр — э Р (Н') г(й. (5.1во) "а ) а 9 Обазначни х = й', з == 1, Ьэ . Тогда откуда следует, что функция р,(«) представляет собой преобразование Карсона — Лапласа функции р«(л)[32]. Следовательно, знвч «изображение» р«(з), можно найти «оригинал» р«(х) методаыи операционного исчисления, используя, например, теореыу разве»кения Хевнсайда, формулу обращения Римана — Меллнна и т.
д. Наконец, в большинстве случаев можно найти р«(л) с помощью одного из многих сутцествующнх справочников по операционному исчислению, например [33]. Так, из формулы (5.17а) для двоичной ортогональной системы ниееы и из любого справочника легко находим Таким образом из формулы (5.19), которая сравнительно легко выводится из корреляционной матрицы (см. стр.
354 — 357), можно получить формулу (4.61) более просто, чеи эта было сделано я гл. 4. 6 (к и 5.3). Во многих раба~ах (например, (34, 35]) вычисляется вероятность ошибки при совместноы действии ннтерферсицнонных (обычно релеевсьнх) и абсорбционных замираний. т. е. флюктуапнй поглощения в среде, в которой распространяется сигнал. Пля абсорбционных замираний предлагаются различные законы распределения, чаще всего, как уже упоминалосгч нормально-логарифмическое, а иногда гл-распределение. При этом не учитывается, что скорость даже весьма «медленных» (в смысле т«» Т) нитерференционных замираний обычае на несколько десятичных порядков больше скорости абсорбционных замираний. Поскольку вычисляется средина вероятность ошибочного приема символа, такой учет и не требуется.
Однако нельзя не заыеыыгь что такая «средняя» вероятность ошибки характеризует канал не лучше, чем средняя температура человека на протяжении 10 лет характеризует состояние его здоровья. Средняя вероятность ошибочного приема символа является полезной, хотя и не полной, характеристикой канала с замираниями лишь в том случае, когда длительность передаваемого законченного 393 (смыслового) сообщения превышает средний период замяяраняш.
При этом условии опа позволяет оценить ожидаемое число ошибочно принятых символов в сообщении. Для более полной характеристики, как уже отмечалось в й 5.3, следует указать, как группируются ошибки в канале, что определяется скоростью замираний. Такая ситуация обычно имеет место при иитерференционных замираниях. Так, в коротковолновых каналах тя колеблется н пределах ат нескольких десятков долей секунды до нескольких секунд, тогда как передача законченного сообщения дляпся обычно не менее нескольких десятков секунд '.
Аналогичные саогношения имеют место и в тропосферных каналах, в которых сообщения передаются значительно быстрее, но и скорость интерференцнонных замираний выше, чем а коротковолновых каналах. Иначе обстоит дело при абсорбциопных замираниях, когда величина тя нередко доходит до нескольких часов. Тогда деже при очень большой средней вероятности ошибок может оказатьсн, что многие сеансы связи проходят практически без ошибок, тогда как другие вовсе не проходят, С точки зрения практического использовании такой канал лучше харакгериаовать вероятностью тога, что за время Те сеанса связи верояпюсть ошибок .не превысит некоторой допустимой велнчнны. Если Т, существенно меньше средаего периода абсорбционных замираний, то эта вероятность не зависит от Те н ее часто называют коэффициентом исправного действия канала йе [38).
Приведем пример вычисления коэффициента исправного действия. Пусть в канале имеют место интерферепционные релеевские и абсорбционные нормально-логарифмические замврания, т. е. плотность распределения вероятностей коэффициента передачи р выражается формулой (5.3), где, однако, ре — медленно меняющаяся (вследствие абсорбционных замираний) случайная величина, имеющая нормально-логарифмическое распределение вероятностей 1 Г 1 ш (9.,)= — ехр ~ — у2 (1п р.е — а)~, (5,128) (Я»у)г 2г. где ц — математическое ожидание 1п 9,; ()з — его дисперсия.
Пусть канал считается исправным, если вероятность появления хотя бы одаой ошибки в 100-разрядной кодовой комбннапии не превышает 10-з. Как было показано в конце $ 5.3, для этого должно выполняться неравенство я 2РТ 2 " 900 ч где Р— мощность сигнала на выходе передатчика. * Если коротковолновый канал используется для передачи очень коротких сообщений (например, команд в системе телеуправления), то и средняя вероятность ошибок по интерференцпонным замираниям теряет практнческий смысл. Вместо нее нужно вычислять вероятность искажения команды. 394 Коэффициент исправного действия в этом случае равен вероятности тога что 900»2 !еО ~ ~РТ или 1 1 РТ !и р .— 1п 900 — — 1п —. е- 2 2 (5.!29) Из (5.128) легко определить, что эта вероятность равна (Л+2з Рл900 )1 (5.130) РТ где Л= 1п —, В частности, если Л=Ле — 1п 900 — 2а, то й =0,5.
Для того чтобы коэффициент исправного действия равнялся 0,9 согласно таблицам функции Краина, величина Л должна равняться А=2,58[1+Ля, А=4,73+Ля, а для де=0,99 При [1=-1 (что является весьма уягеренным аиачением для коротковолнового канала) зто значит, что для перехода от й„=-0,5 к й=0,9 мощность передатчика нужно увеличить на 2,58 нещ т. ц в е' "= — 13 раз, а для перехода от й =-0,5 к й„=0,99 в иа 4„7 иея или в есл !10 раз. С другая стороны, если можно ограничиться значением й„=0,1, то Л =Ля — 2,586, т.
е. требуемая мощность передатчика при й =0,1 оказывается на 2,58 пеп, т. е. а 13 раз меньше. чем при Й„=0,5, или почти в !500 раз меньше, чем при 8~=-0,99. Неудивительно, что ращмощобители-каротхаволмовики иногда устанавливают связь аа тысячи километров, имея в своем распоряжении передатчик мощностью в несколько ватт, тогда как для обеспечении достаточно регулярной профессиональной радиосвязи на той же трассе приходится использовать мощность в десятки киловатт. 7 (к й 5.4). Изложенный здесь метод учета влияния скорости замираний на вероятность ошибок публикуется впервые. Основная ега идея, состоящая в том, что только часть мощности сигнала может в даняых условиях рассматркваться как полезная, была впервые предложена Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
