Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 59
Текст из файла (страница 59)
) (10) и не зависит от того, известен ли закон замирания. Что же касается вероятности ошибок при использовании реша|ощей схемы, основанной на (5.24), то она, конечно, зависит от распределения вероятности и. %.3. Память а канале с медленными замираниями. Некоторые вопросы кодирования В предыдущем параграфе были вычислены вероятности ошибочного приема элемента сигнала для различных систем связи при замираниях. Сравнение этих результатов с полученными в гл.
3 и 4 (при отсутствии замирания) показывает, что вероятность ошибок в канале с замираниями (особенно с релеевскими) значительно превосходит вероятность ошибок в канале без замираний при том же отношении средней энергии сигнала к спектральной плотности помехи. Так, например, чтобы обеспечить вероятность ошибок порядк р ка 10-' п и некозтв м приеме в двоичной ортогональной системе герентвом пр а аний достас активной паузой, в канале без з мир точно иметь Ь'=18, а в канале с релеевскими замираниями ~=10000. Не следует, однако, думать, что канал без замираний при Йз=!8 и канал с медленными релеевскими замираниями при и йз=10000 будут эквивалентными по верности ло в том, что приема или по пропускной способности. Дело в том, б з замираний, когда помеха аппроксимируется канал ез з р белым шумом, является (в дискретном о р' ) каналом без памяти, тогда как канал с медленными замираниями является каналом с памятью, причем эта па- 360 мять охватывает тем большее число элементов, чем медленнее замирания.
Таким образом, вероятность ошибки, вычисленная для канала без замираний, не изменяется, если известно, как принимались предыдущие элементы сигнала. В канале же с медленными замираниями вычисленные выше вероятности ошибок являются только безусловными вероятностями, которые могут весьма существенно отличаться от условных вероятностей ошибок, при условии, что задан результат приема одного или нескольких предыдущих элементов. В качестве примера вычислим условную вероятность ошибки при некогерентном приеме элемента сигнала в двоичной ортогональной'системе с активной паузой, учитывая лишь результат приема одного предыдущего элемента сигнала. При этом замирания будем считать релеевскими и настолько медленными, что значения 1г в соседних элементах сигнала будут практически одинаковыми.
Предположим, что предыдущий элемент сигнала принят правилыш. Тогда, очевидно, условная вероятность ошибочного приема следующего элемента р (опг 1 прав) = ) р (ош ) р) а (и ~ прав) др., (5 50) а где р(ош(н) — условная вероятность ошибки при некотором значении Н; гв(к~прав) — условная плотность вероятности и, если предыдущий элемент принят правильно. Для нахождения гв(Н)прав) воспользуемся формулой Вайеса ш (и ( прав) =-, (5.51) р(пр 1 где Р(пров~к')=1 г ехр э йв — вероятность правильного приема при данном значении Нй 1 р(прав) =1 — —, з,'+г — безусловная вероятность правильного приема.
36! Подставив оо(п) из (5.3), получим гя(р.) прав) = =2 —, —., ехр — —,, 1 — — ехр — —,„й' (5.52) Отсюда, учитывая, что 1/ нЛ р (оги ) и) =. — — — "'„Ь 2~ 2" о)' о получим — — ехр — >", (1+ Ь' ) г1й= — „ до+2 ЗЦ+2 (5.53) 4(ло'+Ц 4()з 1 Ц.- При й, ~ 1 эта условная вероятность ошибок составляет 314 ог безусловной вероятности ошиоок. Аналогично можно вычислить условную вероятность ошибочного приема элемента, если предыдущий элемент п иият ошибочно, р р (о>и(оги) = 11>+ 2 (5.54) 4 (Ьз+ Ц С увеличением й от нуля до бесконечности условная вероятность р(о>и ~ош) уменьшается от 0,5 только до 0,25. Поэтому даже при очень большом превышении сигнала над помехой вероятность ошибки велика, если предыдущий элемент принят ошибочно.
Следовательно, в таком канале ошибки с большой вероятностью группируются. С увеличением мощности сигнала этн всплески или пачки ошибок наблюдаются все реже, но средняя длительность пачки меняется очень мало и зависит главным образом от среднего периода замираний. Как уже отмечалось в гл.
2, это обстоятельство необходимо учитывать при выборе корректирующего кода. 362 Такой код в канале с медленными замираниями должен позвол>ыь обиаружива>ь или исправлять пачки ошибок, тем более длинные, чем медленнее замирания в канале. Одним из наиболее простых методов (хотя и далеко не оптимальным) является построение кода с декорреляцией ошибок, т. е. такое размещение символов, входящих в общие проверки на четкость, чтобы они были разделены по времени на интервалы, превышающие время корреляции замираний.
Рассмотрим в качестве примера условия применения одного из наиболее простых двоичных корректиру>ощих кодов — трехэлсментпого кода (3,1), позволяющего исправить одну ошибку. Такой код сводится к тому, что каждый элемент сигнала повторяется трижды и регистрируется тот символ, который принят хотя бы два раза из трех. Неисправленные ошибки при этом будут иметь место в том случае, если по крайней мере два элемента будут приняты ошибочно. Претположпм, что такой код используется без декорреляцип ошибок, т. е.
все три элемента кодовой комбинации передаются подряд. Замирания будем полагать настолько медленными, что на протяжении трех элементов величина м практически не изменяется. Пусть коэффициент передачи р принял некоторое определенное значение. Тогда условная вероятность ошибочного приема элемента (предполагается некогерентный прием ортогональных в усиленном смысле сигналов) равна р р(о>и1)о) 2 ехр~ ' 2 1"о Условная вероятность неисправленной ошибки в комбинацни из трех элементов р (нелспр ~ )о) = р' + Зро (1 — р) .—— 3р' — 2р' = з / >" ° '11 / з р.* = — ехр — — й 1 — ехр ~ — — — „Ь .
(5.55) по Роз Усредняя это выражение по р, получаем для релеевских замираний 5~Я + 2 (2Ь~~ + 2) (3~~+2) 363 Может оказаться полезной также рекуррентная форму. ла, легко получаемая из (5.59): ! -1- Р'- щбч Ч~+1= Т з'~ 2 2" (! +и С увеличением длины кодовой комбинации и вероятность безошибочного приема д„, конечно, уменьшается. Однако она уменьшается значительно медленнее, чем в канале с независимыми ошибками.
Пользуясь формулами (5.59), можно вычислить, например, что при Ь„ = 20, когда безусловная вероятность ошибки равна ., =.. 4,5 10 ', вероятность безошизо+ з бочного приема кодовой комбинации длиной в 10 символов равна 4„=0,79. Заметим для сравнения, что в канале без замираний, т. е. с независимыми ошибками при р=4,5 10-', вероятность правильно принять !О-элементную кодовую комбинацию равна дю= (1 — р) м=0,955ю= =0,63. Правда, для этого достаточно иметь 6'=4,82. Тем ие менее отсюда видно, что если сраанивать каналы ио вероятности правильного приема сравнительно длинных кодовых комбинаций, то наличие медленных замираний пе в такой степени ухудшает качество канала, как при сравнении по вероятности правильного приема отдельного сигавола. Для подтверждения этого приведем еще один пример.
Как уже отмечалось, вероятность ошибочного приема символа р=10-' при ортогональной системе с активной паузой и некогерентном приеме обеспечивается в канале без замираний, если йт=!8. В этих же условиях вероятность ошибочного приема кодовой комбинации из 100 символов приблизительно равна 1О-'. Для того чтобы обеспечить такую же вероятность ошибочного приема одного символа при релеевских замираниях, нужно иметь /Р=10г, т. е. среднюю мощность передаваемого сгпиала нужно увеличить примерно в 550 раз.
Если же требуется обеспечить только вероятность ошибочного приема 100-разрядной кодовой комбинации, равной 10-', то оказывается достаточным й,=900, т. е. мощность передаваемого сигнала для компенсации влияния замираний Збб придется повысить всего лишь в 50 раз. Разумеется, при этом предполагается, что на протяжении !00 символов коэффициент передачи практически не изменяется.
5.4. Впияние скорости замираний на вероятность ошибок через (р,> и (1ы>: т ('~.> = — ~ Ь(1) ~~ 1 Г т <Ь>= — „~р (1)~! ! !' о (5.61) В этом параграфе мы по-прежнему полагаем зами- рания медленными в том смысле, что в формуле (5.6а) или (5.6б) тз существенно превышает длительность эле- мента сигнала Т. Однако мы не будем считать это пре- вышение столь значительным, чтобы р,, н р, практически не изменялись на протяжении Т. При этом правила ре- шения, выведенные для отсутствия замирания или для замираний с нулевой скоростью, уже не будут, вообще говоря, оптимальными.
Тем ие менее, учитывая медлен- ность замираний, можно полагать, что эти правила реше- ния останутся достаточно близкими к оптимальным. По- этому предположим, что производится некогерентный прием по правилу, определенному для замираний с ну- левой скоростью (которое в случае системы с активной паузой совпадает с оптимальным правилом для канала без замираний), и попытаемся хотя бы приближенно оценить, насколько изменится вероятность ошибок, если учесть, что величина р за время Т в небольших преде- лах изменяется, Итак, пусть принимаемый элемент сигнала г' (1) =- и" (Г) . (1) + р. (1) з (1) + д (1), 0(г(Т; г= — 1,...,т, (5.60) где з,(1) — передававшийся элемент сигнала; р,(1) и р,(1) — медленно изменяющиеся функции, являющиеся реализациями двух сопряженных гауссовских процессов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
