Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Обозначим средние за время Т значения !г,(1) и р,(1) ошибок. Но это влияние может быть различным в зависимости от вида сигнала. Для того чтобы пояснить это, рассмотрим два крайних случая. а) Дополнительный член добавляется к полезному сигналу. Это имеет место в том случае, когда коэффициент взаимной корреляции между полезным сигналом н дополнительным членом равен единице, например, в такой системе, где сигналы з,.(г) представляют собой очень короткие импульсы, возникающие в различные моменты времени 7«(считая от момента начала отсчета элемента сигнала). Легко убедиться, что при этих условиях дополнительный член действует на решающую схему так же, как и полезный сигнал, Очевидно, что в этом случае вероятность ошибок выражается такими же формуламн, как и при нулевой скорости замираний. б) Дополнительный член добавляется к помехе. Это происходит в тех случаях, когда дополнительный член статистически независим от полезного сигнала и может рассматриваться как случайный шум.
Типичным примером может служить система, в которой сигналы з,.(7) представляют собой различные реализации нормального шума с равномерным спектром в некоторой достаточно широкой полосе частот Г. Тогда й~(() будет также нормальным шумом практически в той же полосе частот. В первом приближении к этому случаю можно отнести системы ФТ и ОФТ, а также системы ЧТ прп малом разносе частот соседних сигналов (порядка )(Т). Между этими двумя крайними случаями возможны н различные промежуточные.
Так, дополнительный член может оказаться ортогональным ко всем реализациям сигнала. Тогда его мощность вычитается из мощности сигнала, но не добавляется к помехе. Возможны также случаи, когда лишь часть дополнительного члена следует отнести к помехе.
Однако, поскольку нас интересует лишь приближенная оценка влияния скорости замираний, можно ограничиться рассмотрением случая б). Составляющие коэффициента передачи для «полезного сигнала» (1г,> и <р,> на протягкении одного элемента не изменяются, а могут меняться только скачком в момент смены элемента. Как указывалось в предыдущем параграфе, при этом остаются справедливыми все зависимости, полученные для замираний с нулевой скоростью.
Необходимо только учесть, что энергия «полез- 370 його сигнала» в (5.65) уменьшилась иа величину энергии процесса Ь|(1), которая добавилась к помехе. На основании (5.63) легко видеть, что средняя мощность Р'«полезного сигнала в (5.65) равна Р +дн„, ~г 17 Р' =Р ~, ' ==Р— с — с з 3 — «~~+~ Рр+и« (5.66) где Р, — исходная мощность сигнала; Аз — отношение мощностей регулярной и флюктуирующей составляющих; Š— безразмерная величина.
зависящая только от коэффициента корреляции замираний )с(т) и длительности элемента сигнала Т и равная (5.67) При замираниях с нулевой скоростью, когда на всем интервале интегрирования можно полагать Й(т) = 1, из (5.67) следует, что А=1. Поскольку уменьшение мощности полезного сигнала вследствие конечной скорости замираний касается только его флюктупрующей части, то коэФфициент А' несколько увеличивается и становится равным 9 /Р г,„з Д' (5.68) (1+ ~') (5. 69) где Р†условн полоса частот системы; В = 2РТ вЂ” ее база. 371 Одновременно мощность помехи увеличивается на величину Р ' ', а ее спектральную плотность можно м — е.) ~+ь считать в первом приближении равной (5.7!а) 1йп ет= — (1 — 1).
1 2 аз-~ю е (5.72а) (5.7О) получим а при рвлеевских замираниях 1 Р= Е~зг+2 (5.73а) 1ип )7= е ! — Е м о" (5. 72) Таким образом, все формулы, полученные для замира ний с нулевой скоростью, остаются справедливыми для итого случая, если ,'в них заменить й на Й' и й на Ьо, где Ест 7ьт (аз+ Ц В О,з 2 т' т 1 2А;,(! — Е)~1 т (аз+!) (В+ (, (й +Е)В ~о (, В частности, для двоичной ортогональной системы ЧТ с разносом частот, равным ЦТ, учитывая, что В=4, получим из формулы (5.17) 1 Е~о (! — Е) + 2й'+ 2 ( й'йо Р=— 2 Е,з ! 2йз 1 2 ~ доз 1 2йт 1 2/' При 7.=1 (т. е. при замираниях с нулевой скоростью) зта формула переходит в (5.17).
С уменьшением Ь вероятность ошибки довольно быстро возрастает, особенно при больших Ьо и малых й. Если увеличивать мощность сигнала, т. е. величину 2 г Ье, то в пределе при Ь со, в отличие от всех рассмотренных ранее случаев, вероятность ошибки стремится не к нулю, а к конечному значению Этот результат не следует считать неожиданным. Замирания с конечной скоростью представляют собой мультипликативную помеху, которая с некоторой вероятностью может сделать сигнал гг(Е) более похожим на другой сигнал гг(1), даже при полном отсутствии аддитивной помехи, Эта вероятность стремится к нулю, когда скорость замиракий уменьшается, т. е.
7. стремится к единице. 372 При релеевскнх замираниях (А=О) из формулы (5.71) получим Еь (1 — й)+ 2 2 бе+2 а предел, к которому стремится вероятность ошибки когда Ье стремится к бесконечности, равен 2 В такой же двоичной системе ЧТ, если разнос частот значительно больше 117, предельная вероятность ошибок оказывается значительно меньше, чем (5.72).
Если положить в (5.70)  — ьсо, то Ь" =...й,+ и вместо (5.71) йт+1 йтЯ ЯЕ-+2(й" +1) ~ бой+2(й'+') Здесь с увеличением 6' вероятность ошибок стремится к нулю хотя и медленнее, чем при замираниях с нулевой скоростью ". * Строго говори, к системе ЧТ с большим разносом частот приведенные рассуждения ие применимы. Здесь нельзя считать дополнительный член б~(Е) помехой с равномерным спектром в полосе частот В.
Более близким к действительности является предположение, что при достаточно медленных ззмиранпих спектр лежит вблизи спектра г,(Е) и не перекрывается со спектрамн других сигналов г,(Е!. Поэтому мощность процесса йг(Е) следует только вычесть из мощности сигнала, но не добавлить к мощности помехи. Это же относится к любой системс, в которой спектры сигналов г,(Е) зннчзтельно разнесены друг от друга.
Легко убедиться, что исходя из такого представления мы придем опять к формулам (3.73), которые, по-видимо. му, правильно оценивают вероятность ошибок уже при сравнительно умеренных значенинх В. в» О. ч и д о »» т ~»,>=-,— „')».2)а. .г*>- — -р~ )».(2»» — г 15. 74) »222»2 3»» 3 й,г д' где о и а На рис. 5.10 построены кривые, рассчитанные по формулам 15.7!) и 15.73) для различных значений Е при В=4 и В=со.
Они наглядно показывают, что следует проявлять большую осмотрительность прн попытках уменьшать разнос частот в системах ЧТ, если скорость замираний в канале заметно отличается от нулевой. Таким же образом можно рассмотреть и другие системы. Мы остановимся несколько подробнее на двоичной системе ОФТ. Используем такой же подход, как и в гл. 4, т. е. будем исходить из того, что зту систему можно считать ортогональной, если рассматривать сигнал на интервале — 'Т =1=-.
+Т, Поэтому усреднение составлявших коэффнцпента передачи будем производить на указанном интервале, полагая Рассуждая таким же образом, как и ранее, найдем, что скорость замираний прн некогерентном приеме двоичных сигналов ОФТ можно в первом приближении учесть, заменив в формуле 15.13) величину п на й»2 12 а +лг О 21д» 1 !)1! ! л21! ц)1 а величину й'2 на ,Ч= — '. 11'1 — ' ~Л!,,)г1,, 2 В результате такой замены получим я",1! —.и)+е !л )г игг 1.(.) Эта зависимость при различных значениях Л4 и й» приве дена на рис.
5.1!. зта м н »»»» ~2, Ю о ~ »~ ». »» »» м о д Е~ » о ~ »» »» Ф»» » ы ы »:» я Ь О С о М »» ж и 22 (5.76а) т 2 "I гг / г'Х т / тг- 1Р-5 7г 7..— 1 — —. г ' 4та (5.78) ггтиалогично (5.78а) тй 377 Г!ри релеевских замираниях (й'=-О) Я,',11-511+! Р= 2 ая 1 во +! Пределштая вероятность ошибки, когда йо стремится к бесконечности, равна при квазирелеевских замираниях 1пп р= — — (1 — Л)е (5. 77) Ьг-ггг Рис. Б.11, Влияние скорости замираний на вероятность ошиоох для двоичной системы Огьт. а при релеевских замираниях 111п Р= 2 (1 — Л). 1 (5.77а) !гг.гго Поскольку всегда М<А (если не считать случай замираний с нулевой скоростью, когда М=7.= 1), то предельная вероятность ошибок в системе ОФТ больше, чем в системе ЧТ (с разносом 11Т) при работе в том же канале и с той же скоростью. 373 Если система ЧТ (с разносом частот 11Т) позволяет в некотором канале с медленными замираниями получить заданную вероятность ошибки Р при каких то значениях Р, и Т, то такая же вероятность ошибки будег в системе ОФТ при том же значении Р, и вдвое меньшем Т (т.
е. вдвое большей технической скорости передачи). В этом легко убедиться, сравнивая формулу (5.76) с (5.71) и формулу (5.75) с (5.67). Значения 1. и М можно вычислить, зная коэффициент корреляции 77(т) замираний и длительность элемента сигнала Т. В частности, если 14(т) аппроксимируется колоколообразной кривой (5.6в), то При тя>> Т (а только для этого случая можно считать допустимым применяемый здесь подход) Если учесть, что при этих условиях значение коэффициента корреляции для т = Т Тг Т' Я(Т)=ехр~ — - —,) = 1 — —,, 2ть ) то полученный результат можно записать так: т ] р~ или при Т (~-„ь 1.=-1 — —. з7~ (5.79) Аналогично Л=-1 — —.
4Т зъ„' Т.„„„=- .„Р 8р. (5.80а) чт Ра= Т 1— (! — 2р) 1 — 2р Т~ ТЗ вЂ” е +2р — 1 2рТ вЂ”вЂ” 'А ~А (5.82) 379 Для экспоненциального коэффициента корреляции (5.6г) г .~. = ф ~ (1 — —.) ехр ( — — ' ~ с(т = В системе ОФТ (а также в других системах, в которых мощность дополнительного члена В>(1) добавляется к мощности помехи, например, ЧТ при малом разносе частот) увеличение длительности элемента сигнала Т при неизменной мощности не всегда повышает верность приема. С увеличением Т уменьшается величина М (или 1.), что может привести иногда к увеличению вероятности 2 ошибки, несмотря на возрастание 7>, Поэтому в таких системах должно существовать оптимальное значение 7', обеспечивающее наиболее эффективную передачу информациии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
