Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Иначе будет при сигналах с различными энергиями, когда правило решения (4.28), полученное в предположении, что коэффициент передачи известен, существенно отличается от правила (5.23), выведенного для случайного коэффициента передачи р, о котором известно только то, что он имеет релеевское распределение вероятностей и среднее значение его квадрата равно р,. Поясним это на примере двоичной системы АТ. В этом случае оптимальное некогерентное правило регвения (4.50) при известном коэффициенте верезач1г приводит к схеме с пороговым устройством, в котором пороговый уровень завнснт от величины и.
Применение этого правила в канале с мезленнымн аамираниями предполагает непрерывную регулировку порогового уровня по измериемым значениям р. Вероятность ошибки определится усреднением зависимости, изображенной на рис. 4.!2, по р. Это усреднение можно произвести методом численного интегрирования, в результате чего был построен график рис.
5.9 (кривая 1), 350 и' 192 га З 62 с Рнс. 5.9. Вероятность ошибок для двоичной системы АТ при релеевских замираниях: à — пра еззесгеых заачеаеях р (еекогереегеый прием); 2 — прн неизвестных П е В (еекегереегеый преем!г Э вЂ” при езеесгных П е В (хегереегеый прием). ной) мощностью сигнала н спектральной плотностью помехи. При таком правиле решения вероятность ошибки при релеевских замираниях мозкет быль выражена в конечном виде и равна 1 эй +! 2а2 щ ц ~о+ 2 !) ъ о Ц Эта зависимость изображена также нз рис. 59 (кривая 2). Таким образом, отсутствие сведений о мгновенном значении коэффициента передачи несколько увеличивает вероятность ошибки.
Кривая 3 на том зке рисунке построена по формуле (6.10) для когерентного приема, т. е. в предположении, что известны мгновенные значения как и, так и О. Рассмотрим также случай двоичной системы с актив- ной паузой при .неортогональных сигналах. Так как для 351 величины: (1) = — ~ й (с) ехр ( — 1 о1) "" =— 1 ко 1 1' ехр ( — 1 о$) — П (1 — в хк)п' о=-! 1кок 1 е к, Кк Кэ где (5.
37) Полученный интеграл обычно (хотя и не всегда) удается вычислить методом вычетов. Применим изложенный метод для нахождения плотности распределения случайной величины В (5.30) (6). Полагая к, = ~ 1 (ь Р'+ ц; Г1 01 ~0 11 я'(1) ==и .(1)+р.з (1)+11(1) кк='(5 — "11 где р, н р.— в случае релеевских замираний нормально распределенные величины с нулевым математическим ожиданием, легко убедиться, что Хь Г1, Хо и уя также имеют нормальное распределение и нулевое математическое ожидание.
Нетрудно найти и их корреляционную матрицу: Р Ьо+ 1 где Р, р, и р, определяются формулами (4.57). Матрица квадратичной формы равна (5. 39) или зо4 Ьо + 1 0 Рк(йо+ Ц Р,(ь,'+ Ц О Р (Ьо+Ц ь, '+ 1 — Р,(ь„ '+ Ц вЂ” Р. (ь,' + Ц Р'ь,' + 1 Р.(ь' ,+ ') 10 0 0 01 0 0 00 — 1 0 00 0 — 1 Р.(ь'.+ Ц Рк(йо+ Ц 0 Представим матрицу К в виде к,= ' (ь'+ц,.
к,= ' ' (ь'+ц; К, — транспонированная матрица К,. Тогда где для сокращения постоянный множитель ие но~к к1оо т имеющий существенного значения для последующего, обозначим — > О. 1 Теперь уравнение (5.35) примет вид где 1 †единичн матрица порядка 2 )~ 2, или ~ — (К, — сИ) (Кк+ сЩ+ К,К. ~ = О. Произведя умножение матриц и подставив их значения, получим уравнение 11 — (Ь'+ ц(Ьр'+ ц — сХ(Ь'+ ц+сцЬ'Р +ц+ +С ~+Р (Ь',+цк)11=0 1с "к' — с"Ь, (1 — Р') — (Ь + Ц (1 — Р')]' = О. (5.40) 365 (5.41) Хв Ях Ал 12' 1 "о" ! — Р р= — !в $/'(А, + 2) — Ьер (5.45) $5>(l (г=!, ..., т; ГФ1), 1 ! о — .
и о2 21х, 2(ер ех р (з/2лл) 2! л, (1 — л,!*ел) Таким образом, при $(0 ехр ~ — „) 2(л, л0 (5.43) Решая это уравнение, найдем четыре его корня: Поскольку корни кратные, характеристическая функция (5.34) величины $ равна 1 (! — 2!елл) (! — 2(е)а) н ес плотность распределения (5.37) 1 1' ехр ( — !ез) "(') 2. )  — 2(л,)(! — 2 х,) "о Для вычисления вероятности ошибок нас интересуют только значения теЯ) при ~(0. Учитывая, что при к<0 и Еще>0 подынтегральная функция при (о( — +ее стремится к нулю, и пользуясь леммой джордана, можно утверждать, что этот интеграл равен сумме вычетов подынтегральной функции в полюсах верхней полуплоскости, умноженной на 2п(.
В данном случае подынтегральная функция имеет два полюса: Но, как видно из (5.41), 7.1>0 й Хе<0. Поэтому в верх- ней полуплоскости комплексной плоскости лежит только полюс ое вычет в этой точке равен Следовательно, вероятность ошибок равна , = ~- (1)11=- 2(,',) ~ р(,, ) (1 —. (5.44) Подставив значения 2,,, из (5.41), получим что совпадает с (5.19), Мы не будем подробно останавливаться на приеме сигналов с неизвестными значениями р и О при квазирелеевских замираниях. В работе (9) получено правило решения в предположении, что регулярная составляющая рр коэффициента передачи и фааа регулярной составляющей Ор известны.
Известным считается также отношение Ах мощностей регулярной и флюктуирующей составляющих. Там же получено более простое правило решении в предположении, что все значения фазового сдвига О равновероятны. Для систем с активной паузой это правило существенно упрощается и сводится к условшо что совпадает с оптик!альным иекогерентпым правилом для каналов без замираний и с релеевскими замираниями.
В этом случае вероятность ошибки при ортогональных сигналах совпадает с (5.16). Заметим, что описанные в этом разделе правииа решения являются оптимальными и для такого гипотетического канала. в котором коэффициент передачи р изменяется скачком при смене элемента сигнала, а на протяжении элемента остается постоянным. Хотя таких каналов в действительности не существует, такое представление пригодится в % 5.4. Прием при неизвестном законе замираний Е1а практике распределение вероятностей коэффи- циента передачи в канале с замираниями часто бывает неизвестным.
В некоторых случаях оно может сущест- зе7 к ш(г'~ г ) = йГехр — —.;~, [(Л» — Р а,» — Р (Гг») + ,,Ъ, [- (В» — 1Г,Ь„»+ Рга, »)'[ (5 г)5) венно отличаться от обычного и обобшенного релеевского распределения. Если замирания очень медленные и имеется возможность непрерывно и достаточно точно измерять 1! и О, то незнание закона замираний никак не скажется на построении решающей схемы.
Однако, как уже отмечалось, необходимость оценивать Р и 0 сильно усложняет приемное устройство. Поэтому интерес представляет получение правила решения для случая, когда значения Р н 0 неизвестны и неизвестны даже распределения их вероятностей. Одним из возможных путей для построения такого правила является применение обобщенного критерия максимального правдоподобия [10). Для случая замираний с нулевой скоростью будем считать, что при приеме некоторого элемента сигнала Р и 0 — постоянные (не случайные)„но неизвестные параметры.
Согласно обобщенному критершо максимального правдоподобия[11) нз нескольких гипотез выбирается та, для которой максимум функции правдоподобия больше, чем для остальных гипотез, причем максимум берется по всем неизвестным параметрам. В данном случае функция правдоподобия сигнала г„(Г) при некоторых значениях )г и О выражается формулой (5.20). Для упрощения последующих выкладок перейдем от параметров р и 0 к РО=Р сов О и РО=Рз(пО. Тогда К (Аллгл -1- В»ОГО) »=-! РО= К (лг» + ~го» ) »=! К ~~, (В„л,„— А»1гг-л) »=! Р'= к (Л~»+ Гг~» ) »=! Подставив (5.48) в (5.47), найдем (5.48) Для этого прираванваем нулю частные производные (5.47) по р, и )лг, в результате чего получим систему уравнений К У а»(А» — 1лг໠— Р(Г»)+ »=1 К +~ й„,(В,— Р,Ь„„+Р„„,) =О, »=! к 6„» (А» — Р,а„» — Р.,б„»)— Гг=- ! К вЂ” ~О аО»(В» — РОВ.»+Р а„») =О, »=..
! решая которую относительно )л, и )л„находим значения эпГх параметров, определяющих максимум функции правдоподобия для г,о )ппГ(г ~ гО) =1п Л' 2О- + Ггг В, 2 — — 2 —, гГ Вт =1 ЛГ+ 2ООГгу зза где йà — некоторая постоянная не зависящая от г„, )лг и РгВместо того, чтобы отыскивать максимум этой функции, найдем лГаксимул! ее логарифма )поп(г'~г„)=1пйà — — '. ~Р [(А» — Рга, — Ргй,»)'+ 2'о Гг — ! + (В» — Р.й,»+ Р.а,»)'[.
(5.47) (х! !Го (Х~+ У„)=- 1пЛГ+,," . (5.48а) 2Оогггу Сигнал з1 имеет, таким образом, наибольший максимум функции правдоподобия, если (5.49) что и является правилом репютрации символа д~ по критерию максимального правдоподобия, когда закон замираний неизвестен. Для систем с активной паузой, когда Р,=Р„ это правило, как и следовало ожидать, совпад ( .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
