Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 67
Текст из файла (страница 67)
е. в этих условиях корреляция практически не влияет на зфг)зсктивносгь разнесенного приема. Более общий случай ьогерептного разнесенного приема рассмотрен в 141. пых возможностей предсказание. ожидаемых значений ы и коэффициента передачи невозможно. В этих овиих совместная условная плотность приема снгнаг'г(«) ()=1, ..., Я) при передаче г.(«) и при опреденых значениях «((и и ОШ в ветвях приема выражается мулой (6.5). Однако поскольку значения «((и и О(*) таются заранее неизвестными, для нахождения праа решения воспользуемся обобщенным критерием маума правдоподобия, т. е. потребуем, чтобы приемник нимал решение о том, что передавался сигнал гг(!), )пах п)(г'„..., г' (гг, р.п', «з('), ..., р(о), )з(о)) > [г) [г) " ' ' О ис ° ив ) шах п)(гг„..., г' )г «з(') рш 'о' «ь(о)) (г) (!) ' ' о )"с ° Ьв г = 1, ..., лг; г -И.
(6.25) Но при фиксированных значениях р.( ', «з(0 функции г'е(«) ются взаимно независимыми (поскольку помехи в разых ветвях мы считаем независимыми). Кроме того, дая из гт зависит только от р'!) и р.'' с тем же индек!. Поэтому ьб и) )'с ив =П ш ',ш(г;);, „",,'». (6.26) ( „(г)„(г) Нс яв тавив (6.26) в (6.25) и прологарифмировав, полу- правило решения о том, что передавался сигнал в следующей форме: (0 (г)) ~ (О (О) с в (6.27) 415 г==!,..., т; г~й 6.3. Неиогерентный оптимальный разнесенный прием Рассмотрим, какой должна быть оптимальная решающая схема разнесенного приема при априорно неизвестном законе замираний, когда из-за большой скорости замираний, либо из-за неопределенности фазы прн передаче, либо, наконец, вследствие ограниченных аппара- 414 шах 1и и)(г'4)г), (=(я, иа и) (О .ь з шах 1пыг(г'ф„, и) '0 [=г)"с ['в О )гн)2 О )гшз (=( !=1 «=-1, ...~, и; г~1.1 (6.26) о е у ((ж - т)а нж лы (=( )=-( г=1, ..., т; г-~1.
(6.29) (6.30) Согласно (5.46а) (ьн)з шах 1п ш (г';(а„)а", ~Ю) = 1п У + (и (и * 2ч"Рг )"с ка где У вЂ” постоянная, не зависящая от а,. Подставив ' это выражение в (6.27), найдем правило решения Для систем с активной паузой, когда Р,==Р„ по всем г, получим Поэтому .правилулегко построить решающую схему, называел(ую схемой квадратичного сложения. Как было показано е гл. 4, величины 1(„(или пропорциональные им) могут быть получены с помощью квадратурной схемы или с помощью согласованных фильтров и детекторов огибающей.
На рис. 6.4 показана решающая схема с согласованными фильтрами при сдвоенном приеме. В частном случае сдвоенного приема двоичных сигналов с активной паузой решающая схема может быть несколько иной. При этом неравенство (6.29) сводится к следующему правилу регистрации символа у(. (гим ( )г(ьз ~(()а+ (з)з которое можно преобразовать следующим образом: )г(()з 1)(()з ( )г(2)2 1)(а)2 > 0 а ~ а а Легко видеть, что для выполнения этого неравенства необходимо и достаточно, чтобы та из разностей (а( ')'— — ) или ()г( ' — 17( ' ), которая имеет наибольшую 416 абсолютную величину, была положительной, Отсюда следует, что оптимальная решающая схема может быть построена следующим образом (рис.
6.5): величины 1~з получаются таким же способом, как и в схеме рис. 6.4, затем образуются указанные разности и из них выбирается та, которая болыпе другой по абсолютной величине. Рнс. Ц4. Скена кзалратнчного некогерентного сложения для снсте- ны с актпаной паузой. Решение принимается в соответствии со знаком этой разности.
При этом каждый элемент сигнала принимается фактически с помощью одной ветви, но в качестве этой ветви выбирается та, в которой разность 1»а — (г а максимальна по абсол(отной величине. Такой метод разнесенного приема назовем методом выбора по максимальному правдоподобию. Заметим, что прн (~>2, а также при Я=2, но для недвоичных систем этот метод нс является оптимальным.
Найдем вероятность ошибки при опт(п)(альном квадратичном сложении для случая релеевских замираний 27 †24 417 Здесь Агт П1 Р.от х р г о (спи+. и)')„ Л.= ~, а',"+;1аи). Р= Р(Л <Лг). ш(Л,)=0, Ле (О, (6.31) 418 в двоичной системе с активной паузой и ортогонадьиыми сигналами. Вероятность правильного приема при передаче некоторого символа уг является вероятностью выполнения неравенства (6.29). Эту вероятность можно вычислить„зная плотность вероятностей суммы квадратов величин Г Рис 6.5.
Схема выбора по максимуму правдоподобии. Исходя из (6.3), легко убедиться, что случайные величины Х1г1 и у~'1, входящие в (4.25) и (4.29), имеют нормапьиое распределение вероятностей, попарно независимы для определенного индекса й имеют нулевые средние р г значения, а их 1дисперсии равны — ' при г~ь1 и ногу г — р,'(1+6 ) при «=й Тогда правило решения можно рига и переписать в следующем виде при приеме: е К (Хин+ у1н ) ) Уа (Хп1 + У1а1 ) 1 $ а а 1~! ьы Р,ъ~ разделив обе части неравенства на —,, получаем р„',т ' о ~ (11г1 + 1г> ) ~ У (~<11 + РМ Введем следую1цие обозначения: Эти величины являются квадратичными формами нормальных случайных величин.
В силу предположения об ортогональности в усиленном смысле сигналов а1(1) и аг(1) зти величины статистически независимы. Вероятность ошибочного приема определится как невыполнение неравенства (6.30), т. е. равна Распределение величины Л, будет определяться следую щим выражением; ехр ~ — 2а ~ ш(Л,)=~~)', ', Л„>О, ' =-,й(--;;) где уи — собственные значения матрицы 0=КА и опре- деляются как решение уравнения де( (КА — х1) =О.
(6.32) Матрица квадратичной формы в рассматриваемом слу- 27* 419 чае будет А=1, а матрицакорреляционныхкоэффициея- тов К = — ($~~!~ с! л) = (т)~'~т!~~~), т, 1= 1, 2, ..., (,). Вычисление элементов корреляционной матрицы дает" (6.33) — + 07!Л,'„1=1, Л„!)7!!Ь,', (ф)„ где о,1= ~ (1 прн « =1 — символ Кронекера; 0 при «ф1 Яту — коэффициенты корреляции квадратурных составляющих коэффициентов передачи 1 и 1 ветвей приема, определяемый по формуле (6.1). Легко убедиться, что при «Ф1 матрица КА= 1, а Х!= 1 при 1= 1, 2, ..., Я и путем последовательного раскрытия неопределенностей в (6.31) можно получить распределение Х„в виде тт-распределения с 2(1 степенями свободы: и!(Л„)= — Л1~ "ехр/ — — "1!, Л,)0, 20(Я вЂ” 1)! " ~, 2 « Л,<0. (6.34) Вероятность ошибочного приема теперь можно найти, учитывая (6.31) и (6.34), из выражения р= Р(Л,<.Л,) =~ш(Л,) (Л,Я ш(Л,) (Л,= о а, Л! 1 еар ~ Л П !' ,"П1, Ц~, ~ ' Наломаем, что рассматриваетси случай передачи ситиала а!(1).
420 Изменяя порядок суммирования и интегрирования, а затем интегрируя по Лт и Л!, получаем о о (х )а-!— р='5' а " ° (6.36) , „ , Ц (л„ - л, )(хе, + 1) р=! рд! Для наиболее иятересного случая, когда имеют место независимые релеевские замирания сигналов в ветвях приема, решая (6.32) с учетом (6.33) при «=1, находим, что ),!!=1+ Ло по всем 1=1, 2, ..., Я. Подставляя р.п в (6.35) и последовательно раскрывая получающиеся в ней неопределенности, можно найти следующее выражение для вероятности ошибки: Р= (20 — — 2р 4+1)о ' ' (!в' 1)1Я ' 1)! (Ь~ + 2) 2~ =Е (6.36 г=о о Для случая сдвоенного приема двоичных сигналов, полагая в (6.36) (;) ==2, получаем за,'+ч (о, '+ 2)' (6.37) Формулу (6.36) можно представить в более удобном виде, обозначив /г= — Я вЂ” ! — 1: о-! «2 а(С (ат.( 2)о 7~ ото — '~ йт ( 2 1 а=о или (6.38) где р! =, в соответствии с (5.17а) представляет- 1 Ьо+ 2 вероятность ошибки при одиночном оптимальном некогерентном приеме, если Ь = Ь, .
Ф Ь~~+ 1 При Л ~) ! можно полагать е = 1 и, учитывая 0 Ье +2 известное тождество а .о Со ь ! =Сто ! ° а=о получить простое приближенное выражение вероятности ошибок О Ю р=С„,, ', =-С„,р . (Ьо + 2) На рис. 6.6 представлена зависимость вероятности ошибки от й' в двоичных системах при сдвоенном, строен- о ном и счетверенном приеме. ,-г гя ч !0-г Рис. 6.6, Вероятность ошибок при квадратичном сложении в двоичных артогоиальяых системах (релеевские за- мвраиия), Таким образом, вероятность ошибок оказывается приблизительно обратно пропорциональной мощяости сигнала в степени (,).
При приеме на разнесенные антенны, когда Ьо —— Ао увеличение числа ветвей (Т уменьшает вероятность ошибки. При разнесении по частоте или по времени с увеличением () вероятность ошибок сначала уменьшается, а затем растет вследствие уменьшения йо. В работе [51 приводятся результаты вычисления на электронной пифровой машине оптимального числа ветвей при частотном или 422 времевнбм разнесении в предположении, что Х.†.1. Это оптимальное виачение Я тем выпча, чем больше внерпгя сигнала.
Так, для йат-- =27 . 30 Очаг= 10, а лля !гчх=-100 Я,,=ЗО. Очевидно, что при Х>1 оптимальное число ветвей будет меншпе указанных. До сих пор мы рассматривалн помехоустойчивость оптимального некогерентного приема в предположении некоррелироваппости коэффициентов передачи в различных ветвях. В действительности всегда существует некоторая корреляция, измеряемая коэффициентом взаимной корреляции между квадратурными составляющими Лгь определяемыми по формуле (6.1). В результате этого существует корреляция между величинами Р!" и Г!и при приеме символа г.=1, которую можно характеризовать коэффициентами корреляции нх квадратурных составляющих, определяемых формулой (6.33). Правило (6.29) получено в предположении априорно неизвестных величин р!" н )ь(~!.
Совершенно естественно, что при заранее известном совместном распределении этих неличин можно было бы без особого тру~да усреднением получить условную вероятность принимаемых сигналов, реализовать оптимальную в этом случае решающую схему и тем самым несколько улучшить помехоустойчивость приема. Однако такое определение оптимальной решающей схемы по своей практической ценности не выходит за рамки математических упражнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
