Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 51
Текст из файла (страница 51)
4.5.4.2. Дуальные соотношения Инженерную концепцию дуальности можно определить следующим образом. Два процесса (функции, элемента или системы) дуальны друг другу, если описывающие их математические соотношения идентичны, пусть даже они описываются разными переменными (например, время и частота). Рассмотрим передачу сигналов ГБК, где, как показано на рис. 4.20, модулированные сигналы имеют спектр вида функций з(пс()Т). Данная длительность тона определяет минимальное расстояние по частоте между тонами, необходимое для получения ортогональности.
Зто соотношение в частотной области имеет дуальное ему во временной области — передачу импульсов (рис. 3.16, б), где прямоугольным участкам полосы соответствуют импульсы вида гйвс (ггТ). Данная ширина полосы определяет минимальное расстояние (на временной оси) между импульсами, необходимое для получения нулевой межсимвольной интерференции. Пример 4.3. Минимальное расстояние между тонами для ортогональной ГЯК Рассмотрим два сигнала соз (2кбг+ ф) и соз (2ябзг), используемые для некогерентной передачи сигналов ЕЗК, где У~ > бь Скорость передачи символов равна 1!Т символов/с, где Т— длительность символа, а ф — произвольный постоянный угол между 0 и 2я.
а) Докажите, что минимальное расстояние между тонами двя ортогональной передачи сигналов ГБК с кекогерентным детектировакаем равно УТ. г л и та опнле~ич и лнмодчляция т сов (2лтгг + ф) сов 2тфгг й = О. о (4.45) Используя основные тригонометрические соотношения, приведенные в формулах (Г.б) и (Г.1)-(Г.З), можно переписать выражение (4.45) в виде т Т совф [сов2лугг со52лГггй — вшф [яп2лу!г со52ЛГггй=О, о о (4.46) так по сов ф ~фсов 2ЛЯ + Д!)с + сов 2лЯ вЂ” Г!)г) й— о т — ып ф )~ып 2л( Г! +~!)г+ вгп2Л(Г! -7зг))уг = О о (4.47) что дает СО5 ф ст яп2Л(Г! + Гг)г яп 2л(Г! — Гг)г + + 2Л(Г! + Гг ) 2л(7! — 72) (4.48) +япф т со52л(т! + 12)г со52л(т! — тг)г + =О 2л(т! + 22) 2л(т! .Г2) [5!п2л(Я!+~2)Т Яп2л(Я!-,Гг)Т1 СО5ф + 2Л(Д!+Гг) 2л(Я!-,Гг) (4.49) со52лЯ+ЯТ-1 со52Л(Я; Гг)Т-1 +ыпф 2л(.т!+Тг) 2л(т! .Тг) Далее можно предположить, что Г! +Г! >> 1; это позволяет записать следуюшее: яп 2Л(Г! + Яг) Т сов 2л(Г! + 12) Т 2Л(Г! + ~2) 2Л(У! + Гг) (4.50) Затем, обьединяя выражения (4.49) и (4.50), можем записать следуюшее: (4.51) сов ф 5!и 2л(Г! — тг) + 5гп ф [сов 2Л(т! -1!)Т- Ц = О.
Отметим, по при произвольной фазе ф выражение (4.51) всегда справедливо, только если 5(п 2л(Г! -ЯТ= О и при этом сов 2л(Г! — ЯТ= 1. Поскольку 229 4.5. Некогерентноедетектирование б) Чему равно минимальное расстояние между тонами для ортогональной передачи сигналов ГБК с кагерентным дегнекгнироеаниеи? Решение а) Чтобы два сигнала были ортогональными, они должны удовлетворять условию ортогональности, которое дается выражением (3.69): япхыО прих=лп сов х= 1 при х=2Й$, где л и к — целые, условия з!и х = О и соз х = 1 удовлетворяются одновременно при и = 2к.
Следовательно, нз формулы (4.51) для произвольного ф можем записать сле- дуюшее: (4.52) 2 (/,-/з)т=24 илн Л -/З ы(Г/К Минимальное расстояние между тонами двя ортогональной передачи РБК-модулированных анпилов с некоггрентныы детектированием получаем при А. = 1, при этом (4.53) б) з!и 2иф -ЯТт О (4.54) или (4.55) Минимальное расстояние между тонами лля ортогональной передачи сигналов гЗК с когерентныы детектированием получаем при н = 1, при этом Л-Лы «2т.
(4.56) Следовательно, при одинаковых скоростях передачи символов когерентное детектирование требует меньшей ширины паласы, чем некогерентное, обеспечивая при этом ортогональную передачу сигналов. Можно сказать, что передача сигналов гЯК с когерентным детектированием более эффективно использует логосу. (Вопрос эффективности испольлования полосы подробно рассмотрен в главе 9.) При когерентном детектировании тоны расположены более плотно, чем при некогерентном, поскольку, если расположить два периодических сигнала так, чтобы их начальные фазы совпадали, ортоганальность будет получена автоматически в силу симметрии (четности и нечетности) соответствующих сигналов в течение одного периода передачи символа.
Это является о~личием от способа получения ортогональности в п. а, где мы не уделали внимания фазе. В случае когерентного детектирования регулировка фазы в разрядах коррелятора означает, что мы можем расположить тоны ближе (по частоте) друг к другу, при этом по-прежнему поддерживая ортогональность в наборе тонов гЯК.
Вы можете доказать это самостоятельно, изобразив две синусоиды (или косинусоиды, или о«гт Гпяия 4 Полосовав модчпинми и демодуляция Напомним вопрос, сформулированный выше. Имея два тона /) = !0000 Гц и /з= 11 000 Гц, мы спрашивали, являются ли они ортогональными? Теперь у нас достаточно информации для ответа нв поставленный вопрос. Ответ связан со скоростью передачи сигналов гБК.
Если манипуляция сигналами (переключение сигналов) происходит со скоростью 1 000 символов/с и используется некогерентнае детектирование, то сигналы ортогональны. Если манипуляция происходит быстрее, скажем со скоростью 10 000 символов/с, сигналы не ортогонвльны. При некогерентном детектировании, рассмотренном в п. а, расстояние между тонами, преврашаюшее сигналы в ортогонвльные, было найдено пасредспюм выполнения уравнения (4.45) двя любой произвольной фазы. В случае когерентного детектирования расстояние межлу тонами находится, если положить ф = О. Причина в том, что мы знаем фазу приюпого сигнала (ее дает контур ФАПЧ).
Этот принятый сипив будет коррелировать с каждым опорным сигналом, причем в качестве фазы опорного сигнала используется фаза прнюпаго сигнала. Уравнение (4.51) можно теперь переписать с учеюм ф = О: последовательности прямоугольных импульсов), Начальная фаза всех сигналов должна быть одинаковой (удобиее всего взять ее равной 0 радиан). Используя миллиметровку, выберите удобную временную шкалу для представления одного периода передачи символа Т. Изобразите тон с периодом Т, а затем изобразите другой тон, имеющий такую же начальную фазу, как и предыдущий, и период 2гЗТ.
Выполните численное суммирование произведений тонов (смещенных относительно друг друга на 1!2Т) и докюките, что они действительно являются ортогонапьиыми. 4.6. Комплексная огибающая Описание реальных модуляторов и демодуляторов облегчается при использовании комплексной формы записи, введенной в разделе 4.2.1.
Любой реальный полосовой сигнал»(г) можно представить в комплексной форме как г(г) = »се[8(г)е'"" ~, где л(г) — «омлле«сная огибающая, которую можно записать следующим образом: 8(г) = х(г) +!у(г) = [8(г)[е'»ге ы )1(г)еяге. Амплитуда комплексной огибающей выражается как ка~=ь»»=(р»[.Рп. а фаза определяется следующим образом: (4.57) (4.58) (4.59) Е(г) = с»8 в . у(г) х(е) (4.60) г(г) = Не[ [«(г) + !У(г)[[соз о~г+ ! гйв огег) ) = (4.61) = х(!) соз оз»г — у(г) 5!и гдф. Отметим, что модулирование сигналов, выраженное в обшей форме (а+»6), умножен- ное на (с+ Ы), дает сигнал с переменой знака (в квадратурном члене несущей волны) вида ас — Ы. 4.6.1. Квадратурная реализация модулятора Рассмотрим видеосигнал 8(г), который представлен последовательностью идеальных импульсов х(!) и у(г), передаваемых в дискретные моменты времени 1= 1, 2, ....
Таким образом, 8(г), х(г) и У(г) в уравнении (4.58) можно записывать как л», х, и уь Пусть значения амплитул импульсов равны х» = у» = 0,707А. При этом комплексную огибающую можно выразить в дискретной форме следуклцим образом: (4.62) 8, = х» + !у» = 0,707А + »0,707А. 4.6. Комплексная огибающая В формуле (4.57) 8(г) можно называть полосовым сообщением или данными в комплексной форме, а е'""" — несущей в комплексной форме. Произведение этих двух величин представляет операцию модулирования, а г(!), действительная часть произведения, — это переданный сигнал. Следовательно, используя формулы (4.4), (4.57) и (4.58), з(г) можно выразить следующим образом: В(1) = КЕ(б„вты ) = = Ке((хв+ 1ув)(соз говв + 1 з(п вовв) ) = =хлсозвцй ув51ппзв= = 0707А сов оЗу-0707А з!и ах= (4.63) = А сов( юо1+— 4/ Снова напомним, что квадратурный член несущей волны меняет знак в процессе модуляции.
Если в качестве опорного сигнала использовать 0,707А соз гоог, то переданный сигнал в(1) (уравнение (4.63)) опережает по фазе опорный на к14. Если же в качестве опорного сигнала применить — 0,707А з(пывв, то переданный сигнал х(в) в уравнении (4.63) опаздывает по фазе относительно опорного на я14. Графическая иллюстрация сказанного приведена на рис. 4.22. 0,707Л сов то~ вп) Рис 4.21.
Модулятор, роботоюолий оо хводротуриому ориичиоу 4.6.2. Пример модулятора 08РЗК На рис. 4.23 изображена квадратурная реализация модулятора дифференциальной восьмифазной манипуляции (01((егеп11а! 8-РБК вЂ” )38РБК). Поскольку модуляция является З-ричной, то кюкдой фазе Ьф, присваивается 3-битовое сообщение (хь уь х,). Поскольку модуляция является разностной, то для каждого х-го времени передачи мы получим вектор данных ф„, который можно записать как (4.64) фх тдфв+ фл- ь г л Птототооа мтлнотоля и пемоПНЛяцтя Из комплексной алгебры знаем, что 1= 1-1, но с практической точки зрения 1 можно рассматривать как "метку", напоминающую, что мы не можем использовать обычное сложение при группировке членов в формуле (4.62). Далее мы будем рассматривать синфазную и квадратурную модуляции, х„и у„как упорядоченную пару.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
