Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Порог у,, равный (а, + а,Д, — это олтимальиый порог для минимизации вероятности принятия неверного решения при равновероятных сигналах и симметричных функциях правдоподобия. Правило принятия решения, приведенное в формуле (4. 19), указывает, что гипотеза Н, (решение, что переданный сигнал — это Л(г)) выбирается при гЩ>у,, а гипотеза Нг (решение, что переданный сигнал — это г,(г)) — при .(7) < уь Если г(Т) =ух решение может быль любым.
При равновероятных антиподных сигналах с равными энергиями, где г,(г) =-Н(г) и а, =-а„оптимальное правило принятия решения принимает следуюший вид: Следовательно, переданный сигнал ь,(г) можно выразить через функцию ьу,(г) и коэф фициенты ал(г): ь,(г) = а„ьу~(г), ь,(г) =а,Р)г,(ь) =сГЕьу,(г), гь(г) = амья,(г) = — ГЕьу,(г) . (4.23,а) (4.23,б) (4.23,в) г ЕЬЬ*,~=Е (Ггц,й)+ В)у,~)~]. О (4.24,а) т Е( Ь,/-Е )- ГЕу,р) Р)у,О)~~. о (4.24,6) т Е(т,)ь,) =Е ) — ь/асов озсг +в(г))~-соьасгцг =ч'Е г Г2 Т )'(Т о (4.25,а) г Е(а,)ь,) =Е (- — ьГЕсоь- гсвг+в(г)~ — соьюогЖ = — яГЕ. (425б) гг, Г2 Т ь(Т о Здесь Е( ) обозначает среднее по ансамблю, так называемое маглезгааияеское оьгсидание (ехресгеь) ча)це).
В уравнении (4.25) Е(в(г)) = О. На этапе принятия решения, путем определения местоположения переданного сигнала в сигнальном пространстве, необходимо определить значение данного сигнала. В приведенном примере, где в качестве базисной функции была взятаьу,(г)=,~2!Тсоьгвсг, значения Е(д(Т)) равны з ГЕ. Сигналы-прототипы (ь(г)) аналогичны опорным сигналам (ьу(г)), с точностью до нормируюшего множителя. На этапе принятия решения выбирается сигнал с большим значением ь,(7).
Следовательно, в приведенном выше примере принятый сигнал определен как ь,(г). Вероятность ошибки при подобном когерентном детектировании сигналов ВРБК рассмотрена в разделе 4.7.1. 4 4.2. Цифровой согласованный фильтр В разделе 3.2.2 рассматривалась основная особенность согласованного фильтра — то, что его импульсная характеристика представляет собой запаздываюшую версию зеркального отображения (поворота относительно оси г = 0) входного сигнала. Таким образом, если сигнал равен ь(г), его зеркальное отображение имеет вид ь(-г), а зеркальное отображение, запаздывающее на Т секунд, имеет вид ь(Т- г).
Следовательно, импульсная характеристика я(г), соответствующая сигналу ь(г), будет равна следующему: 211 4.4. Когеоентноепетектиоование ь ьчы ~ Предположим, что был передан сигнал ь,(г). Тогда математические ожидания на выхо- дах интеграторов произвелений, изображенных на рис.'4.7, б, при опорном сигнале ья,(г) имеют следующий вид: в(Т-г) 0<с< Т й(г) = 0 для други На рис. 4.7 и 4.8 представлена основная функция коррелятора — интегрирование произведения принятого зашумленного сигнала с каждым опорным сигналом и определение наилучшего соответствия. Схемы, показанные на этих рисунках, подразумевают использование аналоговой аппаратуры (умножителей и интеграторов) и непрерывных сигналов.
На них не отражена возможность реализации коррелятора или согласованного фильтра с использованием цифровых технологий и дискретных сигналов. Пример подобной реализации приведен на рис. 4.10, где показан согласованный фильтр, использующий цифровую аппаратуру. Входной сигнал г(г) состоит из сигнала-прототипа А(г) и шума л(г); ширина полосы сигнала И'= У2Т, где Т вЂ” длительность передачи символа.
Таким образом, минимальная частота дискретизации по Найквисту равна )',= 2)у= ПТ, а время взятия выборки (Т) должно быть не больше времени передачи символа. Другими словами, на символ должно приходиться не менее одной выборки. В реальных системах подобная дискретизация производится с частотой, в 4 или более раз превышающей минимальную частоту Найквиста. Платой за зто является не увеличение полосы передачи, а увеличение быстродействия процессора.
В моменты г= йТ, выборки (как показано на рис. 4.10, а) сдвигаются в регистре, так что более ранние из них располагаются правее. При дискретизации (взятии выборки) полученного сигнала непрерывное время г заменяется дискретным )сТ, или просто сс, что даст право использовать дискретную запись: г(Гс) =А()с)+ сс(Гс) с'= 1, 2 /с=О, 1, . Здесь индекс с определяет символ из М-арного набора (в нашем случае — двоичного), а й — дискретное время. На рис. 4.10 согласованный фильтр аппроксимируется регистром слвига с весовыми коэффициентами с,(л), где л = О, ..., Дс- 1 — временной индекс весовых коэффициентов и разрядов регистра.
В приведенном примере число разрядов регистра и количество выборок на символ равны 4. Итак, суммирование, показанное на рисунке, происходит в моменты времени от л =0 до и =3. Из расположения сумматора на схеме понятно, что решение относительно значения принятого сигнала принимается после заполнения регистра 4 выборками. Отметим, что дпя простоты в примере на рис. 4.10, б выборки А(л) могут принимать только три значения (О, +1).
В реальных системах каждая выборка (и весовой коэффициент) — это 6-10 бит. Множеству весовых коэффициентов фильтра (е,(л)) соответствует импульсная характеристика фильтра; согласование весовых коэффициентов с выборками сигнала производится согласно дискретному варианту уравнения (4.26): (4.27) с,(л) = г,[(М вЂ” 1) — л) = б(3 — л).
Использование дискретной формы интеграла свертки из уравнения (АА4,6) позволяет записать выражение с выхода коррелятора в момент времени, соответствующий сс-й выборке: гс(й) = ~) г(/с — л) с,(л) /с=О, 1, ..., помодулюст'. (4.28) л=в г(г) и-! г(К) = Е г(К-п)о(п) в в ! ( г] = сов ног вг(О = — сов иог Кпомодулю4 К по модулю 4 О ! 2 3 О ! О ! 2 3 О ! Содержимое регистра сдвига в момент К= 3(юумом пренебрегаем] а й ь ег(3 — п)о,(п) о (/г=з) =2 вг(3 — п)ог(п) а гг(/г - "3) - "-2 б) Рис.
4./О. Цифровой согласованный фильтр: а) дискретный согласованный фильтр; б) пример детектировании с истиьзованием дискретного согласованного фильтра (туман пренебрегаем) Здесь х по модулю у — это остаток деления х на у, индекс й соответствует времени принятия выборок и выхода фильтра, а и — фиктивная переменная времени. В формуле (4.28) выражение г(й — л) содержит и, которое можно рассматривать как "возраст" выборки (как давно она находится в фильтре). В выражении с(п) и удобно рассматривать как адрес весового коэффициента.
Предполагается, что система синхронизирована и упорядочение символов во времени известно. Также предполагается, что шум имеет нулевое среднее, так что математическое ожидание принятой выборки равно следуюшему: Е(г(й) ) = г,(й) г = 1, 2. аа Следовательно, при передаче б(г) математическое ожьшание выхода согласованного фильтра равно следующему: Е(г, (й) ) = ~~) г, (й — л) с, (л) й = О, 1, ..., по модулю д(. (4.29) п=о На рис. 4.10, б, где сигналы-прототипы изображены как функции времени, видим, что крайняя слева выборка (амплитуда, равная +1) графика г,(г) представляет выборку в момент времени й= О. Предполагая, что получен был сигнал г~(г) и для упрощения записи мы пренебрегли шумом, можем записать принятую выборку г(к) как г,(к). Выборки заполняют разряды согласованного фильтра, и в конце каждого периода передачи символа в крайнем правом разряде каждого регистра расположена выборка к = О.
Отметим, что в формулах (4.28) и (4.29) временные индексы л эталонных весовых коэффициентов расположены в порядке, обратном к временному индексу й — л выборок, что является ключевой особенностью интеграла свертки. То, что наиболес ранняя выборка теперь соответствует крайнему справа весовому коэффициенту„обеспечивает значащую корреляцию. Даже если действия согласованного фильтра мы математически опишем как свертку сигнала с импульсной характеристикой фильтра, конечный результат будет корреляцией сигнала с копией самого себя.
По этой причине коррелятор можно реализовать как согласованный фильтр. На рис. 4.10, б детектирование, происходящее после выхода сигнала с согласованного фильтра, осуществляется обычным образом. Для принятия двоичного решения выходы д(А) проверяются при каждом значении к= Ф-1, соответствующем концу символа. При условии передачи О(г) и пренебрежении шумом, уравнения (4,27)-(4.29) можно обьединить и записать выходы коррелятора в моменты времени к = )У- 1 = 3: з а1 (й = 3) = ) гз (3 - л) с, (л) = 2 (4.30,а) и=о з гз(й =3) = ) п(3 — л) сз(л) =-2.
(4.30,б) в=о Поскольку г,(4=3) больше аз(4=3), детектор принимает решение, что передан был символ г,(г). Может возникнуть вопрос: чем согласованный фильтр на рис. 4.10, б отличается от коррелятора на рис. 4.8. В случае согласованного фильтра в ответ на каждую новую выборку на входе появляется новое значение на выходе; следовательно, выход представляет собой временной ряд, такой как на рис. 3.7, б (последовательность возрастающих положительных и отрицательных корреляций с входной синусоидой).
Подобную последовательность на выходе согласованного фильтра можно получить при использовании нескольких корреляторов, работающих на разных начальных точках входного временного ряда. Отметим, 'по за время передачи символа на выходе коррелятора получаем максимальное значение сигнала в момент времени Т (см. рис.
3.7, б). Если синхронизировать согласованный фильтр и коррелятор, их выходы в конце периода передачи символа буозл Глл л Л Пллгн.лллн мллнлл~ ~ил и ллььллнллмия дуг идентичными. Важным отличием между согласованным фильтром и коррелятором является то, что поскольку на выходе коррелятора получаем одно значение на символ, он должен использовать дополнительную информацию, например, относительно моментов начала и завершения интегрирования произведения. При наличии ошибок синхронизации дискретный сигнал, подаваемый с коррелятора на детектор, может быть сильно искажен. С другой стороны, поскольку на выходе согласованного фильтра получаем временной ряд выходных значений (отражаюших смещенные во времени входные выборки, умноженные на фиксированныс весовые коэффициенты), использование дополнительной схемы позволяет определить моменты, наиболее подходящие для дискретизации выхода согласованного фильтра. Пример 4.1.
Цифровой согласованный фильтр Рассмотрим набор сигналов в,(г)=А/ 0<гб/гТ в,(г)а-А/ О<с</гТ, глек=0,1,2,3 Опишите, как цифровой согласованный фильтр (рис 4.!0) может использоваться для детектирования принятого сигнала, скажем г~(/), при отсутствии шума. Решение Вначале сигнал з,(г) преобразуется в набор выборок (л(/с)) Приемник цифрового согласованного фильтра, как показано на рис 4 !О, б, представляет собой две ветви. Верхняя ветвь состоит из регистра сдвига и коэффициентов, согласовываюшихся с точками дискретизации (в,(/с)! Подобным образом нижняя ветвь состоит из регистра слвига и коэффициентов, согласовываюшихся с точками дискретизации [гз(к)) В четырех равномерно расположенных точках выборки (/с = О, !, 2, 3) сигналы (в,(й)) имеют слелуюшие значения: в1(1аО)аО сч(йа1)аА/4 в~(1а2)аА/2 в,(/гаЗ)=ЗА/4 вз(х = О) = 0 вз(й = 1) = -А/4 вз(й = 2) = — А/2 гз(/г = 3) = — ЗА/4 Коэффициенты с,(л) представляют запаздывающий зеркальный поворот сигнала, с которым согласовывается фильтр Следовательно, с,(л) = в,(г/ — 1 — л), где л = О, ..., /!/- 1, так что можно записать с,(0) = в,(3), с,(1) = в,(2), с,(2) = в,(1), с,(З) = г,(0) Рассмотрим верхнюю ветвь рис 4 !О, б В момент времени в = 0 первая выборка в|(й = 0) = 0 поступает в краиний левый разряд кюхдого регистра В следуюший дискретный момент времени 1 = 1 вторая выборка в~(/г = 1) =А/4 поступает в крайний левый разряд каждого регистра, в то же время первая выборка сдвигается в ближайший справа разряд каждого регистра я та.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
