Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Путем дифференцирования правой части (2.1.32) по х, мы получаем условную ФПВ р(х,~х,) в форме р(х,) (2.1.33) В качестве альтернативы мы можем выразить совместную ФПВ р(х„х,) через условную ФПВ р(х!)х,) или р(х,~х!) как р(х„х!)= р(х!~х,)р(хз) = р(хз/х!)р(х!). (2.1.34) Обобщение соотношений, данных выше, на многомерные случайные величины не вызывает затруднений. Начиная с совместной ФПВ случайных величин Х, г=1, 2,, и, можно написать 2.1.2. Функции от случайных величин Проблему, которая часто возникает в практических приложениях теории вероятности, можно сформулировать так. Дана случайная величина Х которая характеризуется своей ФПВ р(х), и надо найти ФПВ случайной величины У=у(Х), где Р(Х) — некоторая заданная функция от Х.
Если преобразование у от Х к У взаимно однозначное, определить р(у) относительно просто. Однако, если преобразование не является взаимно однозначным, как в случае, например, когда 1' = Х, мы должны быть более внимательны г в определении р(у) .. Пример 2,1.1. Рассмотрим случайную величину У, определенную как У=аХ+Ь, (2.1.39) где и и Ь вЂ” константы. Мы предположим, что а>0. Если а<0, подход тот же (см, задачу 2.3). Заметим, что это преобразование, иллюстрируемое рис.
2.1.4, (а), является линейным и монотонным. >о Рис. 2.1.4 Линейное преобразование случайной переменной и пример соответствующих ФПВдля Х и 1' Пусть г„.(х) и Г (у) определяют ИФР для Х и У соответственно~. Тогда хОг=р(т уг=рЬх+ььу)=г(х у )=1" р,огь=г,(~ 1. ~гз 4Е сг,l а Г Дифференцируя (2.1.40) по у, получаем зависимость между соответствующими ФПВ Р,Ы= — Р.~~ (2.1.41) Таким образом, (2.1.40) и (2.1.41) определяют ИФР и ФПВ случайной величины 1' через ИФР и ФПВ случайной величины Х для линейного преобразования (2.1.39).
Чтобы проиллюстрировать это преобразование для определенной ФПВ р(х), рассмотрим пример распределения на рис. 2.1.4,(Ь). Полученная ФПВ для преобразования (2.1 39) показана на рнс. 2.1.4,(с). Пример 2.1.2. Рассмотриььслучайную величину 1', определенную как У=аХ'+Ь,а>0. (2.1.42) Как в примере (2.1.1), преобразование Хв Увзаимно однозначное, следовательно, Чтобы избежать ошибки прн замене переменных, использованы индексы длк соответствующих ФПВ и ИФР. 3~ 35 Ф Ф Ф Ф Ф Ь цз ),ьз Р ( у ) - Р ( У у ) — Р ~ й У е Ь «) — Р Х е ( — ) — Р ( (2.1.43) Дифференцирование (2.1.43) по у дает соотношение между двумя ФПВ 1 За1(у — Ь)/ а] ю"1 (2.1.44) Пример 2.1.3.
Случайная величина 1У определена как х' = аХ' + Ь, а > О . (2.1 45) В отличие от примеров (2.1.1) и (2,1.2), связь между Х и 1У, иллюстрируемая рис. 2,1.5, теперь не взаимно однозначная, Чтобы найти ИФР для т', заметим, что ЕУ(у) =Р(у<у)=Р(аХ2+Ь<у)=Р ~Х~~, у а Следовательно, Р (у)-Р (2.1.46) 2+Ь Рис. 2.1.5.
Киапратичиое преобразование случайной перенениойХ Дифференцируя (2.1.4б) по у, мы получим ФВП 1У через ФВП Х в виде Р.ЬУ)- (2.1.47) 2 Ьу-Ь)) 2 Ьу — Ь)Ь )Ье р ер Ь2,2,2) е~м~юм ур е е рм)= 'еь-у ~ е е вещественных решения: и что ру(у) содержит два слагаемых, соответствующих зтим двум решениям: РХЫ= (2.1.48) где я'(х) означает первую производную от 8(х) по х. В общем случае предположим, что х„хз, ..., хм являются вещественными корнями уравнения я(х) = у.
Тогда ФПВ для случайной величины У = я(Х) можно выразить так (2.1.49) ,=, ~К'(х,)! ' где корни хь 1=1, 2, „., н являются функциями оту. Зб х, = у,.'(у„у„,„.,у„) ге у! ', г =1„2,...,и. получаем Ц ~Р (У,у,,у.) у У У. (2.1.53) Д~ ...,..~ЬУ, У,„ гг,. где 7 — якобиан преобразования, равный определителю ад,-' ад„-' Ь! Ь! бу! в~,-' ад„-' бу„ду„бу„ (2.1.54) Следовательно, искомое соотношение для СФПВ всех г'„г=1, 2, ..., и, р,(у„у„,...,у„) =рх(х, =у!',х, =у,г,...,х„=у,,')И. (2.1.55) Пример 2.1.4. Важное функциональное соотношение между двумя рядами и-мерных случайных величин, которое часто встречается на практике, — линейное преобразование л У,. = ~, а,.
Х,, г = 1,2,..., и, >га где (а„) — постоянные. Можно воспользоваться матричной формой преобразования Ъ'=АХ, (2. 1. 57) где Х и 1г' являются и-мерными векторами, а А — матрица размером и х и . Предположим, что матрица А — невырожденная. Тогда матрица А обратима, и Х= А 'Ъ'. (2.1.58) Эквивалентная скалярная запись (2.1.56) Теперь рассмотрим функции от многомерных случайных величин. Предположим, что г=1,2, ..., и, являются случайными величинами с СФПВ рз(х>, х>, ..., х„) и что 1'„ 2,, и — другой ряд случайных величин, связанных с Х функциями К =д,(Х„Х„...,Х„), г'=1,2,...,и.
(2.1.50) Считаем, что д(Хг, Хъ ..., Х„), г=1, 2, ..., и, являются однозначными обратимыми кциями с непрерывными частными производными. Под «обратимыми» мы понимаем что Х, г'=1, 2, ..., и, можно выразить как функции от)гь г=1, 2, ..., гг, в форме Х, =д,. '(у>,у„...,у„), г = 1,2,...,и, (2.1.51) чем обратные функции также считаются однозначными с непрерывными частными изводными.
Задача сводится к определению СФПВ Уь г=1, 2, ..., и, т.е. Рг(уг,ув...,у„), ~ через заданную СФПВР!(хг, хз, ..., х„). Чтобы найти нужное соотношение, положим, что Л! означает область в гг — мерном пространстве случайных переменных Хь г=1, 2, ..., и, и что Лг является областью взаимно- однозначного отображения в Лх, определенной функциями 1;= я(Х„Х>, ..., Х„). Очевидно, что и".1рг(У! У. ". У»)'ггуФУ>" ~У.
=~~" ')Р>-(х! х......х„)ггхгг1хз...дх„. (2.1.52) гг, ггд. Путем замены переменных в многомерном интеграле в правой части (2.1 52) по формулам г И Х, ='ЕЬ,У,,!'=1,2,...,п, (2.1.59) ~'ы где (Ьа) — элементы обратной матрицы А'. Якобиан этого преобразования 1= 1Яе1А. Следовательно, Л Л О 1 РгЬ~Уг~ ° "тУл) = Рх х> = Х1>>>У>~ «г =х~~' 6г>У>, ° ", «л = ~„1>„У> . (2.1,60) Е0') = ЕЬ(Х)3=) .й(х)р(«)5 (2.1.63) В часгности, если 1' =(Х-т„), где тх — математическое ожидание Х, то Е(У) = Е[(Х вЂ” т,)" ~= ~ (х — т,)" р(х)с1х.
(2.1 64) Это математическое ожидание названо и-м центральным моментом случайной величины Х, так как это момент, взятый относительно среднего. Если >г = 2, центральный момент называется дисперсией случайной величины и обозначается о' . Таким образом, о„=~ (х-т ) р(х)ах. (2.1.65) Этот параметр является мерой рассеяния случайной величины Х. Раскрывая выражение (- .) г х — т ) в интеграле (2.1,65) и учитывая, что математическое ожидание от константы равно константе, получим выражение, которое определяет дисперсию через первый и второй моменты; а' = Е(Х')- [Е(Х))г = Е(Х') — т' (2.1.66) Для случая двух случайных величин Х> и Хг с СФПВ р(Хь Хг) мы определяем совместный момент как Е(Х, Х,)-~ ) х,хгр(х„хг)а~хфх„.
(2.1.67) и совместный центральный момент как 2,1.3. Статистическое усреднение случайных величин Усреднение играет важную роль для характеристики результатов эксперимента и случайных величин, определенных на выборочном пространстве эксперимента. В частности, представляют интерес первый и второй моменты одной случайной величины и совместные моменты, такие как корреляция и ковариация между парой случайных величин в многомерном ряде случайных величин. Также большой интерес представляет характеристическая функция случайной величины и совместные характеристические функции для многомерного ряда случайных величин. Этот раздел посвящается определению этих важных статистических средних.
Сначала мы рассмотрим случайную величину Х, характеризуемую ФПВ р(х). Математическое ожидание от Х определяется как Е(Х) га т„= ~ хр(х)аЫ, (2.1.61) где Е() означает математическое ожидание (статистическое усреднение). Это первый момент случайной величины Х. В общем, и-й момент определяется как Е(Х")= ~ х"р(х)Ых. (2.1.62) Теперь предположим, что мы определяем случайную величину 1' = я(Х), где д(Х)— некоторая произвольная функция от случайной величины Х. Математическое ожидание У определяется как Е[(Х, -т,) (Х, — тз)" 1= (х~ — т~) (хз — тз) р(хо х„)ах~ ах,, (2.1.68) 1!я гнЕ[(Х,— т,)(Х)-ту)~=) ~ (х,— т,)(х,— ту)р(х,,х,)дхах, = (2.1.70) х,х р(х„х ) ях,.сй — т,.т, = Е(Х,Х,) — т,т Матрица размера пхп с элементами )з;, называется коварисщионной матрит)ей случайных величин Х, 1=1, 2, ..., п. Мы встретимся с ковариационной матрицей при обсуждении совместных гауссовских случайных величин в разделе 2.1.4.
Две случайные величины называют некоррелировапными, если Е(Х, Х, ) = =Е(Х,)Е(Ху)=т,.т, В этом случае их ковариация )ь„=О. Заметим, что если Х и Х статистически независимы, они также не коррелированы. Однако, если Х, и Х, иекоррелированы, они не обязательно статистически независимы. Говорят, что две случайные величины ортогональны, если Е(Х,Х,.)= О. Заметим, что зто условие имеет место, когда Х и Хуне коррелированы и либо одна, либо обе случайные величины имеют нулевое среднее. Характеристические функции. Характеристическая групп!)ия случайной величины Х определяется как статистическое среднее Е(е' ) гн тр(р~) = ~ епвр(хфх, (2.1.
71) где переменная и вещественная, )=з/-1. Заметим, что !р(р) можно определить как преобразование Фурье" от ФПВ р(х). Тогда обратное преобразование Фурье дает р(х) = — ) !р(р)е '""сЬ. (2.1.72) Очень полезное свойство характеристической функции — ее связь с моментами случайной величины, Заметим, что первая производная от (2.1.71) по и () ),)1-„..в (х) Вычисляя производную при ь-О, получаем для первого момента (среднего) "Обычно преобразование Фурье от функции п1и) определяется как 0(а)=) е(и)е '"с/л, которое )тли ыетсл от (2.!.71) отрицательным знаком в экспоненте. Но это тривиальное отличие, н мы называем ~атеграл в 12.1.71) преобразованием Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
