Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В заюпочение отметим, что /г-й момент от Я Е(Я )=(га ) е " ' з Д вЂ”,—; — ', /«~0, з «ж —,'шлл Г(з (л +/г)) (л+/«и (г.1.146) Гги ' '( 2 2 го«! з где ~Р1(о43;х) — вырожденная гипергеометрическая Функция, и«-распределение Накагами. И распределение Релея, и распределение Райса часто используется длР описания статистики флуктуаций сигнала на выходе многопутевого канала с замираниями. Эта модель канал рассматривается в гл. 14. Другое распределение, часто используемое для характеристики статистип сигналов, передаваемых через многопутевые каналы с замираниями — это т-распределение Накагами.
ФП1 для этого распределения дано Накатами (1960) (2.1.147) Г(т)1, 2 (2.! . 145) где «1 определяется как «1 = Е(Я ~), (2.1.143) а параметр т определяется как отношение моментов и назван параметром замираний: г 1 т= т> —. (2. 1. 149) Е (Яг «1)' Нормализованную версию для (2.1,147) можно получить путем введения другой случайной величию Х = Я/лБ (см. задачу 2.15). л-й момент от Я равен Г( +-,'л)ГГ1'1"' Е(Ял) 2 Г(ш) «л При т=1 можно видеть, что (2.1.147) приводит к распределению Релея. При значениях в удовлетворяющих условию 0,5ь«л<1, получаем ФПВ, которая имеет более протяженные хвосты, чем пй распределении Релея, При значениях «л>1 хвосты ФПВ распределения Накагамн убывают быстрее, чем дл распределения Релея.
Рисунок 2.1,10 иллюстрирует ФПВ для различных значений ш. 48 ФПВ для Я получается из (2.1.140) путем замены переменной (2. 1.! 41) Функция (2.1.141) называется распределением Райса. с Как будет показано в гл. 5, эта ФПВ характеризует статистику огибающей гармонического сигналаС подверженному воздействию узкополосного гауссовского шума. Она также используется для статистики сигнала, переданного через некоторые радиоканалы, ИФР для Я легко найти нз (2.1.124) для случая, когл« «л=1. Это даЕт Многомерное гауссовское распределение. Из многих многопараметрических нли многомерных распределений, которые могут быть определены, многопараметрическое распределение Гаусса наиболее важное и наиболее часто используется на практике.
Введем это распределение и рассмотрим его основнью свойства. Предположим, что Х„1=1, 2, ... и являются гауссовскими случайнымн величинами со средними ги„1=1, 2...и, дисперсиями аг, 1=1, 2, ... и и ковариациями ро, 1= 1=1, 2, ... и. Ясно, что р„=о,, !'=1, 2, ... и.
Пусть М— 2 это матрица ковариаций размерности ихи с элементами (р„). Пусть Х определяет их 1 вектор-столбец случайных величин и пусть иг„означает их1 вектор-столбец средних значений шь 1=1, 2, ... и. Совместная ФПВ гауссовских случайных величин Хь 1=1, 2 ... и, определяется так Р(Х1,Х„...,Х„) =, „ехр[ — (х-!п,.) М (х — !и„.)[ т (2п)"'2 (де! М)'" 2 (2.
1. 150) где М' — матрица, обратная М, и хт означает транспоннрованне х, Характеристическая функция, соответствующая этой и-мерной совместной ФПВ 112()ч) = Е(еи *), где У вЂ” и-мерный вектор с элементами чь 1=1, 2, ... и. Вычисление этого и-мерного преобразования Фурье даат результат г!!(р) =елр(!ш,.ч- —,' чтМч). т 1 т (2.1. 151) Вюкнейшнй частный случай (2.1.150) — это бипараыетрнческая или двухмерная гауссовская ФПВ. Вектор средних ш„и коварнационная матрица М для этого случая гиг ог р12 (2.1. 152) где совместный центральный момент р!2 определяется так: р12 = Е[(Х! гл1КХ2 и!2)[ Удобно ввести нормированный коэффициент ковариации ра 12, = —, !Ф/, о!о (2.1.153) М— (2.1.154) Обратная матрица 2 М 1= „1 ~2 ро1~2 о~с!„(1 — !2 ) [ — рог!о (2.1.
155) я де!М с1о2 !1 р ). Подставляя выражение М' в (2.1. 150), получаем для двухмерной ФПВ гауссовских случайных величин Р(х,,хз)=,— — -ехР— ' ' ., ',' ' ' ' - [ (2.1.15б) 1 [ а,(хг -иг) -2рсг!сг2(хг -иг,)(хз-и!2)+а!2(х2-!и,'! 2па1о22[1-рг 2о",122~(1-р ) Заметим, что если р=0, СФПВ р(хг,х2) в (2.1.156) превращается в произведение Р(х!)Р(хг), где Р(х,).
1=1. 1,-собственные ФПВ. Поскольку р является мерой корреляции мегкду Х! и Х2, то видим, что если гб! ссовские случайные величины не коррелированы, они также статистически независимы. хде ро УДовлетвоРяет условию 04!рО[ь1. В двухмерном случае обычно опускают индексы в 1212 Н рсь тОГда 'довариационная матрица выражается в виде 1,5 1,0 0,5 0 0 0,5 1,0 1,5 2,0 /с Рис. -..
. з.1.10. Графики ФПВ для лс-распределения при й=1. т - параметр замираний. (й/уайа/о и др., ) ., /978 Это важное своиство гауссовссоп случайных величин, которое, вооблк говоря, не выполняется для другв распределений. Оно распространяется ш л-мерные гауссовские случайньк величины непосредственно. Эта означает, что если р„=О при м1, те случайные величины Х„ /= /=1, 2, ... я являются некоррелнрованными и, следовательно, статистически независимыми. Теперь рассмотрим линейные преобразования л гауссовых случайныап.
величин Х„ /= /=1, 2,...л, с векгоромЦ средних ш„ и ковариационной матрицей М. Н Пусть г'=АХ, (2. 1. 157) где А — невырожденная матрица. Кас показано раньше, якобиан этоге преобразования ./ = 1/с]еС А. Подставъц Х=А'У в (2.1.150), получим СФПВ дги т' в виде О П (2 1 159) и ехр(- — (А у-ш„) М '(А 'у-ш,)]= (2я)"~~(с)еСМ) "з с)еСА 2 (2.1. 158) —,м ехр( — (у-сп ) О '(у-пс )], (2п)ыг(бег(1)нг 2 где вектор ш и матрица О определяются так ш =Аш„ 7 О= АМАТ. еобразоваиие ряда совместно гауссовских случайныи Т б азом, мы показали, что линеиное пре аким о р'' также совместно гауссовских величин. величин приведет к другому ряду об азований перейти к л статистическан мы хотим с помощью линейных пре разо Предположим, что мы хо Ау Из предьи0 щего обсуждения мн ичинам.
Как выбрать в этом случае матрицу, '. з независимым случайным величинам, р с мы, если они попарно не коррелированы, с. сайные величины статистически независимы, если он знаем, что гауссовские случаи т.е. если ковариационная матрица О является диагональнои.
ледователь (2.1.1бО) » й матрицьс А (Ат=А') ю~ышей ие (2.1.160) сводится к выбору ортогональной матр определенная. Одно решение ( .. ой матрицы М. Тогда 11 являетш ся собственными векторами ковариационной м столбцов, которые являются с ами, авными собственным векторам ковариационной диагоиальнои матриц " атрицей с диагональными элементами, равными со ств матрицы М. ФПВ с ковариационной матрицеи Р Пример ... ас ме 2.1.5. Рассмотрим двухмерную гауссовскую ПВ р ' 1 1/2 1/2 1 Оп делим преобразование А, котор р ое п иводнт к некоррелированным луча" с йным величинам.
Сначалс ре М, Ха шггеристическое уравнение, которое и о ред х и еляет, решим задачу о собственных значениях, р, и с]еС (М-Хй)=0, (1-Х)~-1/4=0, 5.=3/2, 1/2. " векто, имеем уравнение бсгв ных вектора. Если а означает собственныи вектор, и Далее мы определим два сооыаенных векго а. (М-й.й)а=О. При 2.,=3/2 и 2з=112 мы получаем собственные векторы /112 ' -.1П2 2' Следовательно, А= 1/2 Легко показать, что А =А и АМА =11, где диагональные элементы 11 равны 3/2 и 1/2. 2.1.5. Верхняя граница для вероятностей «хвостов» При определении характеристик систем цифровой связи часто необходимо определить площадь, ограниченную хвостами ФПВ. Мы назовем эту площадь вероятностью хвостов.
В этом разделе мы представим две верхние границы для вероятности хвостов. Первая, полученная из неравенства Чебышева, до некоторой степени грубая. Вторая„ называемая границей Чернова, более плотная. Неравенство Чебышева. Допустим, что Х- произвольная случайная величина с ограниченным средним значением т, и ограниченной дисперсией о;. Для произвольного положительного числа о о'„ Р(~Х- „~>б)< —;. (2. 1.
161) 62 Это соотношение называется неравенством Чебышева. Доказательство этой границы относительно простое. Имеем о„"- = [ (х-т,)'р(х)сКх > ) (х-т,) р(х)сКх >б ) р(х)сКх =ЬтР([Х вЂ” т~, >5). !х-а„яа и-пь вб Таким образом, справедливость неравенства установлена. Очевидно, что неравенство Чебышева непосредственно дает верхнюю границу площади, ограниченной хвостами ФПВ р(у), где У=Х вЂ” т„, т.е, для площади под Р(у) в интервале ( — со,— б) и (б,со). Следовательно, неравенство Чебышева можно выразить в виде 1-~Е,(б)-~;(-б)1- —: (2.1 162) б" или эквивалентным образом: ['х("'+о) Ех( .' о)1— и„ (2. 1. 163) б2 На границу Чебышева можно посмотреть с другой точки зрения. Используя случайную величину с нулевым средним У=Х-т,, для удобства определим функцию д(У) в виде '")=1 ([У~ б)' (1 ([У[ > б), (2. 1. 163) Поскольку функция я(У) равна О или 1 с вероятностью соответственно Р[ДИ<б) и Р[Щ>о), ее среднее значение ЕМУ))=Р([У[>б) (2.1.
165) Теперь предположим, что мы используем для дЯ верхнюю квадратичную границу, т.е. ГУ'~' ')-<~-1 б (2.1.166) График для фУ) и верхняя граница показаны на рис. 2.1.11. Из графиков следует, что Е~ДУ) ~ < Е'[ — / = ГУ'') Е~У') 62 бт ба 62 Так какЕ[у(У)~ является вероятностью хвоста, как это следует из (2.1.165), мы получили границу Чебышева. Рис. 2. 1,11. Квадратичная верхняя граница для я(У), используемая для получения вероятности хвсстсв (граница Чебышева) Граница Чернова. Чебышевская граница, данная выше, включает площадь, с ограниченную обоими хвостами ФПВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
