Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Случайные величины, распределение вероятностей и плотности вероятностей Для данного эксперимента, имеющего выборочное пространство Я с элементами .у е Ь', мы определяем функцию Х(в), область определения которой 5; а областью значений является набор чисел на вещественной оси. Функцию Х(л) называют случанпой величиной Например, если мы бросаем монету, возможными результатами являются орел (Н) и решка (Т), так что пространство 5' содержит 2 точки, маркированные как Н и Т. Предположим, что мы определяем функцию Х(в) так, что Х(в) = г~ ( 1 (з =,гг'), ( — 1 (в= "г'). (2.1.18) Таким образом, мы отображаем два возмо>кных результата бросания монеты в виде двух точек (+1) на вещественной оси.
Другой эксперимент — бросание игральной кости с возможными исходами ~=(1, 2, 3, 4, 5, бг. Случайная переменная, определенная на этом выборочном пространстве, может быть Х(в)=в. В этом случае результаты эксперимента отображаются целыми числами (1, 2, 3, 4, 5, 6) Можно положить Х(х)=з', тогда возможные результаты отображаются целыми числами (1, 4, 9„16, 25, 36). Это примеры дггскретных случайных величин. Хотя мы использовали в качестве примеров эксперименты, которые имеют конечное множество возможных исходов, имеется много физических систем, эксперименты в которых дают непрерывные выходные результаты. Например, шумовое напряжение, создаваемое электронным усилителем, имеет непрерывную амплитуду.
Как следствие, выборочное пространство 5' амплитуд напряжения 1> Е Ь непрерывно и таким >ке является отображение Х(г>)=г>. В ~аком случае случайную величину' Х называют непрерывной случайной велггчгтой. Для случайной величины Х рассмотрим событие (Х < х1, где х— любое вещественное число в интервале ( — со;+со), Определим вероятность этого события как Р(Х < х) и обозначим ее как р(х), т.е. Р(х) = Р(Х < х) ( — оо < х < о>) (2.119) Функция Г(х) названа фунхтрег1 расггределегггг>г вераятнаспггг случайной величины Х. Ее также называют ггггтегралыгогй (кугиулятггвний) фгуггщггей рсгснределеггия (ИФР). Так как ! (х) — это вероятность, то ее значения ограничены интервалом О < Г(х) <1.
Фактически Г( — со) =. О и Р(оо) = 1, Например, дискретная случайная величина, полученная при бросании монеты и определенная (2.1 18), имеет ИФР, показанную на рис. 2.!.1(а). Здесь имеются два скачка Г(х): один при Х = -1 и другой при Х = 1. Точно так же случайная величина Х(в)=л, полученная при бросании игральной кости„имеет ИФР, показанную на рис 2.1.1 (Ь). В этом случае Г(х) имеет шесть скачков, в каждом из х =1,..., 6. ' Случайную величину Х(х) обычно обозначают просто Х. Г(х) г(х) 5/ 4/ 3/ 2/ 1/ О ! 2 3 4 5 б О 1 Рис. 2.1.1 Примеры интегральных функций распределения двух дискретных случайных величин Р'(к) Рис.
2,1.2 Пример интегральной функции распределения непрерывной случайной переменной ИФР непрерывной случайной величины обычно изменяется так, как показано на ис 2.1.2. Это гладкая, неубывающая функция. В некоторых практических задачах мы южем также сталкиваться со случайной величиной смешанного типа. ИФР такой лучайной величины является гладкой неубывающей функцией в отдельных частях ещественной оси и содержащей скачки в ряде дискретных значений х.
Пример такой ИФР ллюстрируется рис. 2.1.3. Производная от ИФР г(х), обозначаемая как р(х), называется функцией плотности ;роятноспт (ФПВ) случайной величины Х. Таким образом, имеем р(х) = — ( — со < х < со) „ Ж"(х) (2.1.20) с/х ли, что эквивалентно, /'(х)= ~ р(1/)г/// ( — со <х < со). (2 1 21) Так как Г(х) — неубывающая функция, то р(х) > 0 . Когда случайная величина искретная или смешанного типа, ФПВ содержит 6-импульсы в точках нарушения :прерывности Г(х). В таких случаях дискретная часть р(х) может быть выражена как р(х)=~ ~Р[Х =х,.)б(х — х,), (2.1.22) ~=! (е х„ /=1, 2,..., и являются возможными дискретными значениями случайной величины; (Х = х,), / =1,2, /т, являются вероятностями, а О(Х) обозначает О-функцию. 31 х 0 Рис.
2.1.3 Пример интегральной функции распределения случайной переменной смешанного типа Часто мы сталкиваемся с проблемой определения вероятности того, что случайная величина Х находится в интервале (х, х,), где х, > х,, Чтобы определить вероятность этого события, начнем с события (Х<х„). Это событие всегда можно выразить как объединение двух несовместных событий (Х < х,) и (х, < Х < хг). Следовательно, вероятность события (Х< х,) можно выразить как сумму вероятностей несовместных событий.
Таким образом, мы имеем Р(Х < х, ) = Р(Х < х, )+ Р(х, < Х < х, ), Г(х,)=Р'(х;)+Р(х, <Х < х,) или эквивалентное соотношение Р(х, < Х < х„) = Р(х„) — Р(хг) = ~ Р(х)гУх. (2.1.23) Другими словами, вероятность события (х, < Х < х,1 — зто площадь под ФПВ в пределах х, <Х < х,. Многомерные случайные величины, совместные распределения вероятностей и совместные плотности вероятностей.
Когда имеем дело с комбинированными экспериментами или повторениями одного эксперимента, мы сталкиваемся с многомерными случайными величинами и их ИФР и ФПВ Многомерные случайные величины — в основном многомерные функции — определены на выборочном пространстве при комбинированном эксперименте. Начнем с двух случайных величин Х,и Х„каждая из которых может бьггь непрерывной, дискретной или смешанной. Совместная интегральная функция распределения (СИФР) для двух случайных величин определяется так: Е(х„хг ) = Р(Х, < х„Хт < х,) = Ц Р(ггмгге) гУгг, ггиг, (2.1.24) где р(х„х„) — совместная функция плотности вероятности (СФПВ).
Последнюю можно также выразить в виде д' р(х,,х,)= г (х„х,). (2.1.25) дх,дх, Когда СФПВ р(х„х,) интегрируется по одной из переменных, мы получаем ФПВ по другой переменной, т.е. р (хм хг )гухг = р (хг) ~ Р (хм хг )Ж, — р (хг). (2.1.26) ФПВ р(х,) и р(х,), полученные путем интегрирования СФПВ по одной из 32 переменных, нузывают еобстееиньгр»4и (маргинальными) ФПВ. Далее, если р(х„х,) интегрировать по двум переменным, получим р~х„х,)а1х,гй, =Е(оэ,ос)=1.
(2.1.27) Заметим. также, что Г(-ос,— сю) = Г( — ас,хг) = Е(х, „— сс) = О. Обобщение вышеуказанных соотношений на многомерные случайные величины очевидно. Предположим, что Х, г'=1, 2,, гг, являются случайными величинами с СИФР Е(х„хг» .. л хл ) = Р(Х, ~ х„Х, < х„.. л Х < х ) = (2,1.28) дл Р(х,„х,...,хл)= Г(х„хг,...,х„), (2 1 29) дх1дхг "'дхл Любое число переменных в р(х„х„„.,хл) можно исключить путем интегрирования по зтим переменным. Например, интегрируя по хг и хг, получаем Р~Ы хг»хг хл)ихг г)хг =р(х,» хл» ' хл)' (2.1.30) Следует также, что Р(х„оо,оо,х„..„х„)= Г(х„х„х„...,х„), а Г(х„— ~, — ~, х„,х„)= О, Условные функции распределения вероятности.
Рассмотрим две случайные величины Х) н Хг с СФПВ р(х„х,) . Предположим, что мы желаем определить вероятность того, что случайная величина Х) < х) прн условии, что Х2 — Ьхг < Х2 х2, где Ьхг — некоторое положительное приращение. Таким образом, мы желаем определить вероятность события (Х, <х,~хг-Ьх, < Х, < хг), Используя соотношения, приведенные ранее для условной вероятности события, вероятность события (Х, < х,~хг — Ьхг < Х. < хг) можно определить как вероятность совместного события (Х, <х„х,— Ьх, <Х ьхг), деленную на вероятность события (Х, — ЬХ, < Х, з Х,). Таким образом, р(и„и,)сМи, Ыи, Р(Х) - х1К Ьхг < Хг — хг)- ~„4„Р(".
)"и. (2 1 31) Г(х„хг)- Ях„хг — Ьх,) Р(х,)-Р(х, -Ь 2) Предполагая, что ФПВ р(х„х,) и р(х,) являются непрерывными функциями на интервале (х, — Ьх„х,), мы можем делить числитель и знаменатель (2.1.31) на Жсз и взять предел при Ьхз -+ О . Таким образом, мы получим Р)Х(*,~Хг =*,) Р)(,)~,) — —— др» (х2 ~д 2 »11.1„Р~~„",)Л',~,~~~" 1" р) „л,)44 (2.1.32) л[1 р)~,)хл,) )ъ, р(х,) 33 Р(и„и„.. „ил) Ыи, 42)и, ... Ыи„, где р(х,, х„...,хл) — совместная ФПВ. Беря частные производные от Е(х„хг,...,хл), заданной (2.1.28), получаем Р(х„хг " х~)=Р(х! хг, ",хк!хь„,...,х„)Р(хы!,...,х„), (2,1.35) где А — любое целое число в пределах 1 с х с п, Совместная условная ИФР, соответствующая СФПВ р(х„х„...,х„~х„!,...,х„), равна гч р(н!,и„...„и х„„...х„)Ын! сйз ...с!!и, р(х„„...х„) Условные ИФР удовлетворяют соотношениям, ранее установленным для таких функций, таким как р((,хз ...,хе~хе~!,...,х )= р(хз,хэ,...,хе~хе !,...,х ), Р( — со,х„..., х„~хь„,, х„) = О.
Статистически независимые случайные величины. Мы уже определили статистическую независимость двух или больше событий из выборочного пространства 5. Понятие статистической независимости может быть распространено на случайные величины, определенные на выборочном пространстве и полученные при комбинированном эксперименте или при повторении единственного эксперимента. Если эксперименты приводят к несовместным исходам, вероятность результата в одном эксперименте не зависит от результата в любом другом эксперименте . Т.е.
совместная ! вероятность результатов определяется произведением вероятностей, соответствующих каждому результату. Следовательно, случайные величины, соответствующие результатам в экспериментах, независимы в том смысле, что их СФПВ (или СИФР) определяется произведением соответствующих ФПВ (или ИФР). Следовательно, многомерные случайные величины статистически независимы, если, и только если Г(х„х„...,х„)= р(х,)г'(х,)" р(х„), (2.1.37) или в качестве альтернативы р(х„, х,, .,х„)= р(х,)р(хз) "р(х„). (2.1.38) ' Правильнее было бы говорить о зависимых и независимых собьпиях безотносительно к способу проведения эксперимента (прп) что является условной ИФР случайной величины Х! при заданной величине Хь Заметим, что Р( — со~хе) = О и г'(со~х,) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
